Группа экспертов

-группа Прюфера 2 с представлением ⟨ g _n : g _{n +1} ² знак равно г _п , г ₁ ² = e ⟩ , иллюстрируемый как подгруппа единичной окружности в комплексной плоскости

В математике, особенно в теории групп , Прюфера p -группа или p -квазициклическая группа или p ^∞ -группа, Z ( p ^∞ ), для простого числа p — это единственная p -группа , в которой каждый элемент имеет p различных корней p -й степени.

-группы Прюфера P — счетные абелевы группы , которые играют важную роль в классификации бесконечных абелевых групп: они (вместе с группой рациональных чисел ) образуют наименьшие строительные блоки всех делимых групп .

Группы названы в честь Хайнца Прюфера , немецкого математика начала 20 века.

Конструкции Z ( p ^∞ )

-группу Прюфера p можно отождествить с подгруппой группы кругов U(1), состоящей из всех p ^н Корни -й степени из единицы , когда n варьируется по всем неотрицательным целым числам:

$\mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid 0\leq m<p^{n},\,n\in \mathbf {Z} ^{+}\}=\{z\in \mathbf {C} \mid z^{(p^{n})}=1{\text{ for some }}n\in \mathbf {Z} ^{+}\}.\;$

Групповая операция здесь — умножение комплексных чисел .

Есть презентация

$\mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .$

Здесь групповая операция в Z ( p ^∞ ) записывается как умножение.

-группа Прюфера Альтернативно и эквивалентно, p может быть определена как силовская p -подгруппа факторгруппы , состоящая из тех элементов , Q / Z порядок которых является степенью p :

$\mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z}$

(где Z [1/ p ] обозначает группу всех рациональных чисел, знаменатель которых является степенью p , с использованием сложения рациональных чисел в качестве групповой операции).

Для каждого натурального числа n рассмотрим факторгруппу Z / p ^н Z и вложение Z / p ^н Z → Z / п ^{п +1} Z, индуцированный умножением на p . Прямым пределом этой системы является Z ( p ^∞ ):

$\mathbf {Z} (p^{\infty })=\varinjlim \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} .$

Если мы осуществим прямой предел в категории топологических групп, то нам нужно будет наложить топологию на каждую из $\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z}$и возьмем окончательную топологию на $\mathbf {Z} (p^{\infty })$. Если мы желаем $\mathbf {Z} (p^{\infty })$ чтобы быть Хаусдорфом , мы должны наложить дискретную топологию на каждую из $\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z}$, в результате чего $\mathbf {Z} (p^{\infty })$ иметь дискретную топологию.

Мы также можем написать

$\mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Q} _{p}/\mathbf {Z} _{p}$

где Q _p обозначает аддитивную группу p -адических чисел , а Z _p - подгруппу p -адических целых чисел.

Характеристики

Полный список подгрупп прюферовой p -группы Z ( p ^∞ ) = Z [1/ p ]/ Z это:

$0\subsetneq \left({1 \over p}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{2}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \left({1 \over p^{3}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq \mathbf {Z} (p^{\infty })$

Здесь каждый $\left({1 \over p^{n}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z}$ является циклической подгруппой группы Z ( p ^∞ ) с п ^н элементы; он содержит именно те элементы из Z ( p ^∞ которого ), порядок делит p ^н и соответствует множеству p ^н -ые корни единства.

-группы Прюфера P — единственные бесконечные группы, подгруппы которых полностью упорядочены по включению. Эта последовательность включений выражает p -группу Прюфера как прямой предел ее конечных подгрупп. не существует максимальной подгруппы -группе Прюфера Поскольку в p , это ее собственная подгруппа Фраттини .

Учитывая этот список подгрупп, ясно, что p -группы Прюфера неразложимы (не могут быть записаны в виде прямой суммы собственных подгрупп). Прюфера Верно и то, что р -группы подпрямо неприводимы . Абелева группа подпрямо неприводима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной циклической p -группе или группе Прюфера.

-группа Прюфера P — это единственная бесконечная p -группа , которая является локально циклической (каждый конечный набор элементов порождает циклическую группу). Как видно выше, все собственные подгруппы группы Z ( p ^∞ ) конечны. -группы Прюфера P — единственные бесконечные абелевы группы, обладающие этим свойством.

Прюфера P -группы делимы . Они играют важную роль в классификации делимых групп; наряду с рациональными числами они являются простейшими делимыми группами. Точнее: абелева группа делится тогда и только тогда, когда она представляет собой прямую сумму (возможно, бесконечного) числа копий Q и (возможно, бесконечного) числа копий Z ( p ^∞ ) для каждого простого числа p . ( Кардинальное ) число копий Q и Z ( p ^∞ ), которые используются в этой прямой сумме, определяют делимую группу с точностью до изоморфизма.

Как абелева группа (т. е. как Z -модуль ), Z ( p ^∞ ) артиново , но не нётерово . Таким образом, его можно использовать в качестве контрпримера против идеи о том, что каждый артинов модуль нётеров (тогда как каждое артиново кольцо нётерово).

эндоморфизмов Кольцо Z ​ ( p ^∞ ) изоморфно кольцу целых p -адических чисел Z _p .

В теории локально компактных топологических групп -группа Прюфера р (наделенная дискретной топологией ) является двойственной по Понтрягину компактной группе целых p -адических чисел , а группа целых p -адических чисел — двойственной по Понтрягину компактной группе p- адических чисел. -группа.

См. также

• p -адические целые числа , которые можно определить как обратный предел конечных подгрупп p -группы Прюфера.
• Двоично-рациональные , рациональные числа вида a /2 ^б . 2-группу Прюфера можно рассматривать как двоично-рациональные числа по модулю 1.
• Циклическая группа ( конечный аналог)
• Группа кругов ( несчетно бесконечный аналог)

Ссылки

• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7 .
• Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер. ISBN  978-0-387-71567-4 .
• Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
• Н. Н. Вильямс (2001) [1994], «Квазициклическая группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press