Локально циклическая группа

В математике локально циклическая группа — это группа ( G , *), в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической .

Некоторые факты

Каждая циклическая группа локально циклическая, а каждая локально циклическая группа абелева . ^[1]
Любая конечно порожденная локально циклическая группа является циклической.
Любая подгруппа и факторгруппа локально циклической группы локально циклична.
Всякий гомоморфный образ локально циклической группы локально цикличен.
Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда каждая пара элементов в группе порождает циклическую группу.
Группа локально циклична тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп дистрибутивна Оре , ( 1938 ).
Ранг без кручения локально циклической группы равен 0 или 1.
локально Кольцо эндоморфизмов циклической группы коммутативно . ^{[ нужна ссылка ]}

Аддитивная группа рациональных чисел ( Q , +) является локально циклической – любая пара рациональных чисел a / b и c / d содержится в циклической подгруппе, порожденной 1/( bd ). ^[2]
Аддитивная группа двоично-рациональных чисел , рациональные числа вида a /2 ^б, также является локально циклическим – любая пара двоично-рациональных чисел a /2 ^б и с /2 ^д содержится в циклической подгруппе, порожденной 1/2 ^{Макс( б , г )}.
Пусть p — любое простое число и пусть µ _{p ^∞} обозначаем множество всех p- й степени корней из единицы в C , т.е.
$\mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}$
Тогда µ _{p ^∞} является локально циклическим, но не циклическим. Это Прюфера p -группа . 2-группа Прюфера тесно связана с двоичными рациональными числами (ее можно рассматривать как двоичные рациональные числа по модулю 1).

Аддитивная группа действительных чисел ( R , +); подгруппа, порожденная 1 и $π$ (содержащая все числа вида a + b $π$ ), изоморфна прямой сумме Z + Z , которая не является циклической.

Холл, Маршалл младший (1999), «19.2 Локально циклические группы и распределительные решетки», Теория групп , Американское математическое общество, стр. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8 .

Роуз, Джон С. (2012) [полная и неизмененная переиздание работы, впервые опубликованной издательством Кембриджского университета, Кембридж, Англия, в 1978 году]. Курс теории групп . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-68194-8 .