Конечно сгенерированная группа

Группа диэдра 8-го порядка требует двух образующих, как показано на этой диаграмме цикла .

В алгебре — конечно порожденная группа это группа G , которая имеет некоторое конечное порождающее множество S, так что каждый элемент G можно записать как комбинацию (при групповой операции) конечного числа элементов S и обратных к таким элементам.

По определению, каждая конечная группа конечно порождена, поскольку S можно считать G. самой Каждая бесконечная конечно порожденная группа должна быть счетной , но счетные группы не обязательно должны быть конечно порожденными. Аддитивная группа рациональных чисел Q является примером счетной группы, которая не является конечно порожденной.

Примеры

• Каждый фактор конечно порожденной группы G конечно порожден; факторгруппа порождается образами образующих группы G при канонической проекции .
• Группа, порожденная одним элементом, называется циклической . Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z .
  • — Локально циклическая группа это группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической.
• на Свободная группа конечном множестве конечно порождается элементами этого множества ( §Примеры ).
• Тем более каждая конечно определенная группа ( §Примеры ) конечно порождена.

Конечно порожденные абелевы группы

Шесть комплексных корней шестой степени из единицы при умножении образуют циклическую группу .

Основная статья: Конечно порожденная абелева группа

Каждую абелеву группу можно рассматривать как модуль над кольцом целых чисел Z , и в конечно порожденной абелевой группе с генераторами x ₁ , ..., x _n каждый элемент группы x можно записать как линейную комбинацию этих генераторов,

Икс знак равно α ₁ ⋅ х ₁ + α ₂ ⋅ х ₂ + ... + α _п ⋅ х _п

с целыми числами α ₁ , ..., α _n .

Подгруппы конечно порожденной абелевой группы сами по себе конечно порождены.

Фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах утверждает, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой конечного свободной абелевой группы ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых уникальна с точностью до изоморфизма.

Подгруппы

Подгруппа конечно порожденной группы не обязательно должна быть конечно порожденной. Коммутатор группы свободной $F_{2}$ о двух образующих является примером подгруппы конечно порожденной группы, которая не является конечно порожденной.

С другой стороны, все подгруппы конечно порожденной абелевой группы конечно порождены.

Подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе всегда конечно порождена, и формула индекса Шрайера дает оценку количества требуемых генераторов.

В 1954 году Альберт Г. Хаусон показал, что пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы снова конечно порождено. Кроме того, если $m$ и $n$ являются числами образующих двух конечно порожденных подгрупп, то их пересечение порождается не более чем $2mn-m-n+1$ генераторы. Эта верхняя граница была затем значительно улучшена Ханной Нойманн до $2(m-1)(n-1)+1$; см . гипотезу Ханны Нейман .

Решетка подгрупп группы удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда все подгруппы группы конечно порождены. Группа, все ее подгруппы конечно порождены, называется нетеровой .

Группа, у которой каждая конечно порожденная подгруппа конечна, называется локально конечной . Любая локально конечная группа периодична , т. е. каждый элемент имеет конечный порядок . Обратно , каждая периодическая абелева группа локально конечна.

Приложения

Геометрическая теория групп изучает связи между алгебраическими свойствами конечно порожденных групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств , на которых действуют эти группы .

Связанные понятия

Проблема слов для конечно порожденной группы — это проблема решения того, представляют ли два слова в генераторах группы один и тот же элемент. Проблема слов для данной конечно порожденной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа вкладывается в любую алгебраически замкнутую группу .

Ранг группы часто определяется как наименьшая мощность порождающего набора для группы. По определению ранг конечно порожденной группы конечен.

См. также

• Конечно сгенерированный модуль
• Презентация группы

Ссылки

• Роуз, Джон С. (2012) [полная и неизмененная переиздание работы, впервые опубликованной издательством Кембриджского университета, Кембридж, Англия, в 1978 году]. Курс теории групп . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-68194-8 .