Алгебраически замкнутая группа

В теории группа групп $A\$ , алгебраически замкнуто если любое конечное множество уравнений и неравенств, применимых к $A\$ есть решение в $A\$ без необходимости расширения группы . Это понятие будет уточнено позже в статье, в § Формальное определение .

Неформальное обсуждение

Предположим, мы хотим найти элемент $x\$ группы $G\$ удовлетворяющие условиям (уравнениям и неравенствам):

x^{2}=1\

x^{3}=1\

x\neq 1\

Тогда легко видеть, что это невозможно, поскольку из первых двух уравнений следует $x=1\$ . В этом случае мы говорим, что набор условий несовместим с $G\$ . (На самом деле этот набор условий несовместим ни с какой группой.)

Теперь предположим $G\$ это группа с таблицей умножения справа.

Тогда условия:

x^{2}=1\

x\neq 1\

есть решение в $G\$ , а именно $x=a\$ .

Однако условия:

x^{4}=1\

x^{2}a^{-1}=1\

Не иметь решения в $G\$ , что легко проверить.

Однако если мы расширим группу $G\$ в группу $H\$ с соседней таблицей умножения:

Тогда условия имеют два решения, а именно $x=b\$ и $x=c\$ .

Таким образом, есть три возможности относительно таких условий:

Они могут не соответствовать $G\$ и не имеют решения ни в каком расширении $G\$ .
У них может быть решение в $G\$ .
Они могут не иметь решения в $G\$ но, тем не менее, есть решение в некотором расширении $H\$ из $G\$ .

Разумно задаться вопросом, существуют ли какие-либо группы $A\$ так что всякий раз, когда набор подобных условий вообще имеет решение, они имеют решение в $A\$ сам? Ответ оказывается «да», и мы называем такие группы алгебраически замкнутыми группами.

Формальное определение

Сначала нам нужны некоторые предварительные идеи.

Если $G\$ это группа и $F\$ — свободная группа от счетного числа образующих, то конечным набором уравнений и неравенств с коэффициентами из $G\$ мы имеем в виду пару подмножеств $E\$ и $I\$ из $F\star G$ бесплатный продукт $F\$ и $G\$ .

Это формализует понятие системы уравнений и неравенств, состоящих из переменных $x_{i}\$ и элементы $g_{j}\$ из $G\$ . Набор $E\$ представляет собой такие уравнения, как:

x_{1}^{2}g_{1}^{4}x_{3}=1

x_{3}^{2}g_{2}x_{4}g_{1}=1

\dots \

Набор $I\$ представляет собой неравенства типа

g_{5}^{-1}x_{3}\neq 1

\dots \

По решению в $G\$ этому конечному набору уравнений и неравенств мы называем гомоморфизм $f:F\rightarrow G$ , такой, что ${\tilde {f}}(e)=1\$ для всех $e\in E$ и ${\tilde {f}}(i)\neq 1\$ для всех $i\in I$ , где ${\tilde {f}}$ – единственный гомоморфизм ${\tilde {f}}:F\star G\rightarrow G$ это равно $f\$ на $F\$ и является личностью на $G\$ .

Это формализует идею замены элементов $G\$ чтобы переменные получили истинные тождества и идентичности. В примере замены $x_{1}\mapsto g_{6},x_{3}\mapsto g_{7}$ и $x_{4}\mapsto g_{8}$ урожай:

g_{6}^{2}g_{1}^{4}g_{7}=1

g_{7}^{2}g_{2}g_{8}g_{1}=1

\dots \

g_{5}^{-1}g_{7}\neq 1

\dots \

Мы говорим, что конечный набор уравнений и неравенств согласуется с $G\$ если мы сможем решить их в «большой» группе $H\$ . Более формально:

Уравнения и неравенства согласуются с $G\$ если есть группа $H\$ и вложение $h:G\rightarrow H$ такие, что конечное множество уравнений и неравенств ${\tilde {h}}(E)$ и ${\tilde {h}}(I)$ имеет решение в $H\$ , где ${\tilde {h}}$ – единственный гомоморфизм ${\tilde {h}}:F\star G\rightarrow F\star H$ это равно $h\$ на $G\$ и является личностью на $F\$ .

Теперь формально определим группу $A\$ , алгебраически замкнутой если всякая конечная совокупность уравнений и неравенств, имеющая коэффициенты из $A\$ и соответствует $A\$ имеет решение в $A\$ .

Известные результаты

Трудно привести конкретные примеры алгебраически замкнутых групп, о чем свидетельствуют следующие результаты:

Любую счетную группу можно вложить в счетную алгебраически замкнутую группу.
Любая алгебраически замкнутая группа проста .
Ни одна алгебраически замкнутая группа не является конечно порожденной .
Алгебраически замкнутая группа не может быть рекурсивно представлена .
Конечно порожденная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда ее можно вложить в любую алгебраически замкнутую группу.

Доказательства этих результатов вообще очень сложны. Однако набросок доказательства того, что счетная группа $C\$ можно вложить в алгебраически замкнутую группу.

Сначала встраиваем $C\$ в счетной группе $C_{1}\$ с тем свойством, что каждая конечная система уравнений с коэффициентами из $C\$ это соответствует $C_{1}\$ имеет решение в $C_{1}\$ следующее:

Существует лишь счетное число конечных наборов уравнений и неравенств с коэффициентами из $C\$ . Исправление перечисления $S_{0},S_{1},S_{2},\dots \$ из них. Определить группы $D_{0},D_{1},D_{2},\dots \$ индуктивно:

D_{0}=C\

D_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}D_{i}\ &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{is not consistent with}}\ D_{i}\\\langle D_{i},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\rangle &{\mbox{if}}\ S_{i}\ {\mbox{has a solution in}}\ H\supseteq D_{i}\ {\mbox{with}}\ x_{j}\mapsto h_{j}\ 1\leq j\leq n\end{matrix}}\right.

Теперь позвольте:

C_{1}=\cup _{i=0}^{\infty }D_{i}

Теперь повторим эту конструкцию, чтобы получить последовательность групп $C=C_{0},C_{1},C_{2},\dots \$ и пусть:

A=\cup _{i=0}^{\infty }C_{i}

Затем $A\$ является счетной группой, содержащей $C\$ . Он алгебраически замкнут, поскольку любой конечный набор уравнений и неравенств, согласованный с $A\$ должны иметь коэффициенты в некоторых $C_{i}\$ и поэтому должно иметь решение в $C_{i+1}\$ .

См. также

Алгебраическое замыкание
- Алгебраически замкнутое поле

Ссылки

А. Макинтайр: Об алгебраически замкнутых группах, Ann. математики, 96, 53–97 (1972)
Б. Х. Нейман: Замечание об алгебраически замкнутых группах. Дж. Лондон Математика. Соц. 27, 227–242 (1952)
Б. Х. Нейман: Проблема изоморфизма алгебраически замкнутых групп. В: Проблемы со словами, стр. 553–562. Амстердам: Северная Голландия, 1973 г.
У.Р. Скотт: Алгебраически замкнутые группы. Учеб. амер. Математика. Соц. 2, 118–121 (1951)