А-группа

В математике , в области абстрактной алгебры , известной как теория групп , A-группа — это тип группы, похожий на абелевы группы . Группы были впервые изучены в 1940-х годах Филипом Холлом и изучаются до сих пор. Об их строении известно немало.

Определение

A -группа — это конечная группа что все ее силовские подгруппы абелевы , обладающая тем свойством , .

История

Термин А-группа, вероятно, впервые был использован в ( Hall 1940 , Sec. 9), где внимание было ограничено растворимыми А-группами. Изложение Холла было довольно кратким без доказательств, но его замечания вскоре были дополнены доказательствами в ( Tunt 1949 ). Теория представлений А-групп изучалась в ( Ито, 1952 ). Затем Картер опубликовал важные взаимоотношения между подгруппами Картера и работой Холла ( Carter 1962 ). Работа Холла, Таунта и Картера была представлена в виде учебника ( Huppert 1967 ). Фокус на разрешимых A-группах расширился с классификацией конечных простых A-групп в ( Walter 1969 ), которая позволила обобщить работу Таунта на конечные группы в ( Broshi 1971 ). Интерес к А-группам также расширился в связи с важным родством с разновидностями групп, обсуждавшимися в ( Ольшанский 1969 ). Современный интерес к A-группам возобновился, когда новые методы нумерации позволили установить точные асимптотические границы числа различных классов изоморфизма A-групп в ( Venkataraman 1997 ).

Характеристики

Об А-группах можно сказать следующее:

Каждая подгруппа , факторгруппа и прямое произведение A-групп являются A-группами.
Каждая конечная абелева группа является A-группой.
Конечная нильпотентная группа является A-группой тогда и только тогда, когда она абелева.
Симметричная группа в трех точках — это A-группа, которая не является абелевой.
Любая группа бескубного порядка является A-группой.
Производная длина A-группы может быть сколь угодно большой, но не больше числа различных простых делителей порядка, указанного в ( Hall 1940 ) и представленного в форме учебника как ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.16). ).
Нижний нильпотентный ряд совпадает с производным рядом ( Холл, 1940 ).
Разрешимая А-группа имеет единственную максимальную абелеву нормальную подгруппу ( Холл, 1940 ).
Подгруппа Фиттинга разрешимой Hall A-группы равна прямому произведению центров членов полученного ряда , впервые сформулированному в ( 1940 ), затем доказанному в ( Taunt 1949 ) и представленному в виде учебника в ( Huppert 1967 , Глава VI, Сац 14.8).
Неабелева конечная простая группа является A-группой тогда и только тогда, когда она изоморфна первой группе Янко или PSL(2, q ), где q > 3 и либо q = 2 ^н или q ≡ 3,5 по модулю 8, как показано в ( Walter 1969 ).
Все группы в многообразии, порожденном конечной группой, конечно аппроксимируемы тогда и только тогда, когда эта группа является А-группой, как показано в ( Ольшанский, 1969 ).
Как и Z-группы , силовские подгруппы которых являются циклическими, A-группы легче изучать, чем общие конечные группы, из-за ограничений на локальную структуру. Например, более точное перечисление разрешимых A-групп было найдено после перечисления разрешимых групп с фиксированными, но произвольными силовскими подгруппами ( Венкатараман, 1997 ). Более неторопливое изложение дано в ( Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007 , Ch. 12).

Ссылки

Блэкберн, Саймон Р.; Нойманн, Питер М.; Венкатараман, Гита (2007), Перечисление конечных групп , Кембриджские трактаты по математике № 173 (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0 , OCLC 154682311
Броши, Авиад М. (1971), «Конечные группы, силовские подгруппы которых абелевы», Journal of Algebra , 17 : 74–82, doi : 10.1016/0021-8693(71)90044-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0269741
Картер, Роджер В. (1962), «Нильпотентные самонормализующиеся подгруппы и нормализаторы систем», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 12 : 535–563, doi : 10.1112/plms/s3-12.1.535 , MR 0140570
Холл, Филип (1940), «Построение разрешимых групп», Журнал чистой и прикладной математики , 182 : 206–214, doi : 10.1515/crll.1940.182.206 , ISSN 0075-4102 , MR 0002877 , S2CID 118354698
Хупперт, Б. (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050 , особенно кап. VI, §14, с.751–760.
Ито, Нобору (1952), группах» , Nagoya Mathematical Journal 4 : , : 10.1017 /S0027763000023023 ; , - doi 79–81 «Заметки об A
Ol'šanskiĭ, A. Ju. (1969), "Varieties of finitely approximable groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (in Russian), 33 (4): 915–927, Bibcode : 1969IzMat...3..867O , doi : 10.1070/IM1969v003n04ABEH000807 , ISSN 0373-2436 , MR 0258927
Таунт, Д. Р. (1949), «Об А-группах», Proc. Кембриджская философия. Соц. , 45 (1): 24–42, Bibcode : 1949PCPS...45...24T , doi : 10.1017/S0305004100000414 , MR 0027759 , S2CID 120131175
Венкатараман, Гита (1997), «Перечисление конечных разрешимых групп с абелевыми силовскими подгруппами», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 48 (189): 107–125, doi : 10.1093/qmath/48.1.107 , MR 1439702
Уолтер, Джон Х. (1969), «Характеристика конечных групп с абелевыми силовскими 2-подгруппами», Annals of Mathematics , Second Series, 89 (3): 405–514, doi : 10.2307/1970648 , JSTOR 1970648 , MR 0249504