Подходящая длина

В математике , в частности в области алгебры , известной как теория группы , длина подгонки (или нильпотентная длина ) измеряет, насколько решаемая группа от того, чтобы быть нильпотентной . Концепция названа в честь Ганса Фиттинг из -за его расследований нильпотентных нормальных подгрупп .

Определение

( Подходящая цепь или серия подгонки или Nilpotent Series ) для группы - это субнормальная серия с нильпотентными коэффициентами . Другими словами, конечная последовательность подгрупп, включая как всю группу, так и тривиальную группу, так что каждая из них является нормальной подгруппой предыдущей, и таким, что коэффициентами последовательных терминов являются нильпотентные группы.

Длина подгонки или нильпотентная длина группы . определяется как наименьшая возможная длина подходящей цепи, если он существует

Серия верхней и нижней подгонки

Подобно тому, как верхняя центральная серия и Нижняя центральная серия являются экстремальными среди центральных серий , среди нильпотентных серий есть аналогичные серии.

Для конечной группы h подготовительная подгруппа подгонка ( H ) является максимальной нормальной нильпотентной подгруппой, в то время как минимальная нормальная подгруппа такая, что его коэффициент является нильпотентным, γ _∞ ( h ), пересечение (конечной) нижней центральной серии , который называется нильпотентным остатком . Они соответствуют центру и подгруппе коммутатора (для верхней и нижней центральной серии соответственно). Они не следуют для бесконечных групп, поэтому для продолжения предположим, что все группы конечными.

Верхняя серия фитинга конечной группы - это последовательность характерных подгрупп, подходящих ^не( G ) Определено подходящим ⁰( G ) = 1, и подходит ^{n +1}( G )/ подходить ^не( G ) = FIT (G/ FIT ^не( G )). Это восходящая нильпотентная серия, на каждом шаге максимально возможную подгруппу.

Нижняя серия фитинга конечной группы G представляет собой последовательность характерных подгрупп f _n ( g ), определенную F ₀ ( g ) = G и F _{n +1} ( g ) = γ _∞ ( f _n ( g )). Это нисходящая нильпотентная серия, на каждом этапе, принимая минимальные возможные подгруппы.

Примеры

Нетривиальная группа имеет подходящую длину 1 тогда и только тогда, когда она нильпотента.
Симметричная группа на трех точках имеет долю 2.
Симметричная группа на четырех точках имеет долю 3.
Симметричная группа на пять или более точках не имеет вообще нет цепочки, а не решаемой.
Итерапированный венок из N копий симметричной группы на трех точках имеет подходящую длину 2 н .

Характеристики

Группа имеет подходящую цепь, если и только тогда, когда она разрешается .
Нижняя серия фитинг является подходящей цепью, если и только тогда, когда она в конечном итоге достигает тривиальной подгруппы, тогда и только тогда, когда G можно решить.
Верхняя серия фитинг является подходящей цепочкой, если и только тогда, когда она в конечном итоге достигает всей группы, G , тогда и только тогда, когда G разрешается.
Серия нижней фитинга больше всего спускается среди всех фитингов, и серия верхней фитинга больше всего поднимается среди всех подходящих цепочек. Явно: для каждой фитинговой цепи, 1 = H ₀ ⊲ H ₁ ⊲… ⊲ H _n = g , один имеет этот h _i ≤ fit ^я( G ) и f _i ( g ) ≤ h _{n - i} .
Для решаемой группы длина серии нижней фитинга равна длине верхней серии фитинг, и эта общая длина является длина подгонки группы.

Дополнительную информацию можно найти в ( Huppert 1967 , Kap. III, §4).

Связь между центральной серией и серией подгонки

То, что центральная серия делает для нильпотентных групп, серии подгонки делают для решаемых групп. Группа имеет центральную серию, если и только тогда, когда она нильпотента, и примерка, если и только тогда, когда она разрешается.

Учитывая решаемую группу, серия «Нижняя подгонка» представляет собой разделение «более грубое», чем серия Нижней Центральной: Нижняя серия фитинг дает серию для всей группы, в то время как нижняя центральная серия спускается только от всей группы к первому члену Серия подгонки.

Серия нижней фитинги продолжается:

G = f ₀ ⊵ f ₁ ⊵ ⋯ ⊵ 1,

в то время как нижняя центральная серия подразделяет первый шаг,

G = g ₁ ⊵ g ₂ ⊵ ⋯ ⊵ f ₁ ,

и является лифтом нижней центральной серии для первого коэффициента f ₀ / f ₁ , который является нильпотентным.

Продолжение таким образом (поднятие нижней центральной серии для каждого коэффициента серии подгонки) дает субнормальную серию:

G = g ₁ ⊵ g ₂ ⊵ ⋯ ⊵ f ₁ = f _1,1 ⊵ f _1,2 ⊵ ⊵ f ₂ = f _2,1 ⊵ ⊵ f _n = 1,

Как грубые и прекрасные подразделения на линейке .

Последовательные коэффициенты являются авелевскими, демонстрируя эквивалентность между решаемой и наличием подгонки.

Смотрите также

Ссылки

Huppert, B. (1967), конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050
Turull, Alexandre (2001) [1994], «Длина подгонки» , Энциклопедия математики , Ems Press
Turull, Alexandre (2001) [1994], «Подходящая цепь» , Энциклопедия математики , Ems Press