3-ступенчатая группа
В математике трехшаговая группа — это особый вид группы с длиной Фиттинга не более 3, который используется в классификации CN-групп и в теореме Фейта – Томпсона . Определение трехшаговой группы в этих двух случаях немного отличается.
группы CN
[ редактировать ]В теории CN групп трехступенчатая группа (для некоторого простого числа p ) — это такая группа, что:
- грамм знак равно О п , п ' , п ( грамм )
- Op ) , p ′ ( G ) группа Фробениуса с O p ( G ядром
- G /O p ( G ) — группа Фробениуса с ядром O p , p ′ ( G )/O p ( G )
Любая 3-ступенчатая группа является разрешимой CN-группой, и наоборот, любая разрешимая CN-группа либо нильпотентна, либо группа Фробениуса, либо 3-ступенчатая группа.
Пример: симметрическая группа S 4 является трехступенчатой группой для простого числа p = 2 .
Группы нечетного порядка
[ редактировать ]Фейт и Томпсон (1963 , стр.780) определили трехступенчатую группу как группу G, удовлетворяющую следующим условиям:
- Производная группа группы G является холловской подгруппой с циклическим Q. дополнением
- Если H — максимальная нормальная нильпотентная холлова подгруппа группы G , то G ′ ′ ⊆ HC а G ( H )⊆ G ′ и HC G нециклична нильпотентна, H .
- Для q ∈ Q нетривиального C G ( q ) является циклическим, нетривиальным и независимым от q .
Ссылки
[ редактировать ]- Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г. (1963), «Разрешимость групп нечетного порядка» , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029, doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , MR 0166261
- Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г .; Холл, Маршалл-младший (1960), «Конечные группы, в которых централизатор любого неединичного элемента нильпотентен», Mathematische Zeitschrift , 74 : 1–17, doi : 10.1007/BF01180468 , ISSN 0025-5874 , MR 0114856
- Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6 , МР 0569209