Бикватернионная алгебра
В математике алгебра бикватернионов — это соединение алгебр кватернионов над полем.
Бикватернионы расщепленные Уильяма Роуэна Гамильтона (1844 г.) и связанные с ними бикватернионы и двойственные кватернионы не образуют бикватернионные алгебры в этом смысле.
Определение [ править ]
Пусть F — поле характеристики, не равной 2. Алгебра бикватернионов над F — это тензорное произведение двух алгебр кватернионов . [1] [2]
Алгебра бикватернионов — это центральная простая алгебра размерности 16 и степени 4 над основным полем: она имеет показатель (порядок своего класса Брауэра в Брауэра группе F ) [3] равен 1 или 2.
Теорема Альберта [ править ]
Пусть A ( a1 алгебры кватернионов , a2 ) и B = ( b1 , b2 = ) над F. —
Форма Альберта для A , B равна
Его можно рассматривать как различие в кольце Витта троичных форм, присоединенных к мнимым A и B. подпространствам [4] Алгебры кватернионов связаны тогда и только тогда, когда форма Альберта изотропна , в противном случае они не связаны . [5]
Теорема Альберта утверждает, что следующие утверждения эквивалентны:
- A ⊗ B — алгебра с делением ;
- Форма Альберта анизотропна ;
- A , B являются телами и не имеют общего квадратичного поля разложения. [6] [7]
В случае связанных алгебр мы можем дополнительно классифицировать другие возможные структуры тензорного произведения в терминах формы Альберта. Если форма гиперболическая , то алгебра бикватернионов изоморфна алгебре M 4 ( F ) матриц 4×4 над F : в противном случае она изоморфна произведению M 2 ( F ) ⊗ D , где D — алгебра с делением кватернионов. над Ф. [2] Индекс Шура бикватернионной алгебры равен 4, 2 или 1 в зависимости от того, как индекс Витта формы Альберта равен 0, 1 или 3. [8] [9]
Характеристика [ править ]
Теорема Альберта утверждает, что каждая центральная простая алгебра степени 4 и показателя 2 является алгеброй бикватернионов. [8] [10]
Цитаты [ править ]
- ^ Лам 2005 , с. 60.
- ^ Перейти обратно: а б Шимичек 1997 , стр. 452.
- ^ Кон 2003 , с. 208.
- ^ Кнус и др. 1998 , с. 192.
- ^ Лам 2005 , с. 70.
- ^ Альберт 1972 , стр. 65–66.
- ^ Джейкобсон 1996 , с. 77.
- ^ Перейти обратно: а б Лам 2005 , с. 437.
- ^ Кнус и др. 1998 , с. 236.
- ^ Кнус и др. 1998 , с. 233.
Ссылки [ править ]
- Альберт, А. Адриан (1932). «Нормальные алгебры с делением четвертой степени над алгебраическим полем» . Пер. Являюсь. Математика. Соц . 34 (2): 363–372. дои : 10.2307/1989546 . JSTOR 1989546 . Збл 0004.10002 .
- Альберт, А.А. (1972). «Тензорные произведения алгебр кватернионов» . Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 35 . дои : 10.1090/s0002-9939-1972-0297803-6 . Збл 0263.16012 .
- Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Спрингер-Верлаг . ISBN 1852336676 .
- Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2 . Збл 0874.16002 .
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. Том. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0 . Збл 0955.16001 .
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
- Шимичек, Казимеж (1997). Билинейная алгебра. Введение в алгебраическую теорию квадратичных форм . Алгебра, логика и приложения. Том. 7. Лангхорн, Пенсильвания: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 9056990764 . Збл 0890.11011 .