Связанное поле

В математике связанное поле — это поле , для которого квадратичные формы, присоединенные к алгебрам кватернионов, обладают общим свойством.

алгебры

Пусть F — поле характеристики , не равной 2. Пусть = ( a ₁ , a ₂ ) и B = ( b ₁ , b ₂ ) — алгебры кватернионов над F. A Алгебры A и B являются сцепленными алгебрами кватернионов над F, существует x если в F такой , что A эквивалентно ( x , y ), а B эквивалентно ( x , z ).

Форма Альберта для A , B равна

$q=\left\langle {-a_{1},-a_{2},a_{1}a_{2},b_{1},b_{2},-b_{1}b_{2}}\right\rangle \ .$

Его можно рассматривать как различие в кольце Витта троичных форм, присоединенных к мнимым A и B. подпространствам Алгебры кватернионов зацеплены тогда и только тогда, когда форма Альберта изотропна .

Связанные поля

Поле F связно , если любые две алгебры кватернионов над F связаны. Каждое глобальное и локальное поле связаны, поскольку все квадратичные формы степени 6 над такими полями изотропны.

Следующие свойства F эквивалентны:

• F связан.
• Любые две алгебры кватернионов над F зацеплены.
• Каждая форма Альберта (форма дискриминанта −1 шестого измерения) изотропна.
• Алгебры кватернионов образуют подгруппу Брауэра группы F .
• Каждая пятимерная форма над F является соседом Пфистера .
• Никакая бикватернионная алгебра над F не является алгеброй с делением .

Нереальное связанное поле имеет u-инвариант, равный 1,2,4 или 8.

Ссылки

• Джентиле, Энцо Р. (1989). «О связанных полях» (PDF) . Журнал Аргентинского математического союза . 35 : 67–81. ISSN   0041-6932 . Збл   0823.11010 .