Форма Пфистера

В математике форма Пфистера — это особый вид квадратичной формы , введенный Альбрехтом Пфистером в 1965 году. Далее квадратичные формы рассматриваются над полем F характеристики, отличной от 2. Для натурального числа n -кратная форма n Пфистера над F является квадратичной формой размерности 2 ^н которое можно записать как тензорное произведение квадратичных форм

\langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,

некоторых ненулевых элементов a ₁ , ..., n _F из для . ^{[ 1 ]} (Некоторые авторы опускают знаки в этом определении; здесь обозначение упрощает отношение к K-теории Милнора , обсуждаемой ниже.) n -кратная форма Пфистера также может быть построена индуктивно из ( n −1)-кратной формы Пфистера q и ненулевой элемент a из F , как $q\oplus (-a)q$ .

Таким образом, 1-кратная и 2-кратная формы Пфистера выглядят так:

\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}

.

\langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2}+abw^{2}.

При n ⩽ 3 n -кратные формы Пфистера являются нормальными формами композиционных алгебр . ^{[ 2 ]} В этом случае две n -кратные формы Пфистера изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие композиционные алгебры изоморфны. В частности, это дает классификацию алгебр октонионов .

n n -кратные формы Пфистера аддитивно порождают -ю степень I ^н фундаментального идеала кольца Витта группы F . ^{[ 2 ]}

Характеристики

Квадратичная форма q над полем F является мультипликативной , если для векторов неопределенных x и y мы можем написать q ( x ). q ( y ) = q ( z для некоторого вектора z рациональных функций от x и y над F. ) Изотропные квадратичные формы мультипликативны. ^{[ 3 ]} Для анизотропных квадратичных форм формы Пфистера мультипликативны, и наоборот. ^{[ 4 ]}

Для n -кратных форм Пфистера с n ≤ 3 это было известно еще с XIX века; в этом случае z можно считать билинейным по x и y в силу свойств композиционных алгебр. Пфистером было замечательное открытие: n -кратные формы Пфистера для всех n мультипликативны в более общем смысле, включающем рациональные функции. Например, он пришел к выводу, что для любого поля F и любого натурального числа n множество сумм 2 ^н квадратов в F замыкается относительно умножения, используя это квадратичная форма $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$ является n -кратной формой Пфистера (а именно, $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$ ). ^{[ 5 ]}

Еще одна поразительная особенность форм Пфистера состоит в том, что каждая изотропная форма Пфистера на самом деле является гиперболической, то есть изоморфной прямой сумме копий гиперболической плоскости. $\langle 1,-1\rangle$ . Это свойство также характеризует формы Пфистера следующим образом: если q — анизотропная квадратичная форма над полем F , и если q становится гиперболической над каждым полем расширения E таким, что q становится изотропным над E , то q изоморфна φ для некоторого ненулевого поля. a в F и некоторая форма Пфистера φ над F . ^{[ 6 ]}

Связь с К -теорией

Пусть k _n ( F ) — n -я Милнора K -группа 2. Существует гомоморфизм k n ₍ F по модулю ) в фактор I ^н/ я ^{п +1} в кольце Витта F , заданном формулой

\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,

где образ представляет собой n -кратную пфистеровскую форму. ^{[ 7 ]} Гомоморфизм сюръективен , так как формы Пфистера аддитивно порождают I ^н. Одна часть гипотезы Милнора , доказанная Орловым, Вишиком и Воеводским , утверждает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом k _n ( F ) ≅ I ^н/ я ^{п +1}. ^{[ 8 ]} Это дает явное описание абелевой группы I ^н/ я ^{п +1} по генераторам и отношениям . Другая часть гипотезы Милнора, доказанная Воеводским, гласит, что k _n ( F ) (и, следовательно, I ^н/ я ^{п +1}) изоморфно отображается в когомологий Галуа группу H ^н( Ф , Ф ₂ ).

Соседи Пфистера

— Сосед Пфистера это анизотропная форма σ, изоморфная подформе φ для некоторого ненулевого a в F и некоторой формы Пфистера φ с dim φ < 2 dim σ. ^{[ 9 ]} Соответствующая форма Пфистера φ определяется с точностью до изоморфизма формой σ. Каждая анизотропная форма размерности 3 является соседом Пфистера; анизотропная форма размерности 4 является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда ее дискриминант в F ^*/( Ф ^*) ² тривиально. ^{[ 10 ]} Поле F обладает тем свойством, что каждая 5-мерная анизотропная форма над F является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда это связанное поле . ^{[ 11 ]}

Примечания

^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), section 9.B.
^ Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 316
^ Лам (2005) с. 324
^ Лам (2005) с. 325
^ Лам (2005) с. 319
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Corollary 23.4.
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), section 5.
^ Орлов, Вишик, Воеводский (2007).
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Definition 23.10.
^ Лам (2005) с. 341
^ Лам (2005) с. 342

Ссылки

Элман, Ричард ; Карпенко Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4329-1 , МР 2427530
Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1095-2 , МР 2104929 , Збл 1068.11023 , гл. 10
Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), “Точная последовательность для K _*^М/2 с приложениями к квадратичным формам», Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165.1 , MR 2276765

[1] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), section 9.B.

[Lam316-2] Jump up to: ^а ^б Лам (2005) с. 316

[Lam324-3] Лам (2005) с. 324

[Lam325-4] Лам (2005) с. 325

[Lam319-5] Лам (2005) с. 319

[6] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Corollary 23.4.

[7] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), section 5.

[8] Орлов, Вишик, Воеводский (2007).

[9] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Definition 23.10.

[Lam341-10] Лам (2005) с. 341

[Lam342-11] Лам (2005) с. 342

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]