Суперэллиптическая кривая

В математике суперэллиптическая кривая — это алгебраическая кривая, определяемая уравнением вида

y^{m}=f(x),

где $m\geq 2$ — целое число, а f — полином степени $d\geq 3$ с коэффициентами в поле $k$ ; точнее, это гладкая проективная кривая которой , функциональное поле определяется этим уравнением.Дело $m=2$ и $d=3$ является эллиптической кривой , случай $m=2$ и $d\geq 5$ — гиперэллиптическая кривая , и случай $m=3$ и $d\geq 4$ является примером тригональной кривой .

Некоторые авторы накладывают дополнительные ограничения, например, что целое число $m$ не должно делиться характеристику на $k$ , что полином $f$ не должно быть квадратов , целые числа m и d должны быть взаимно простыми или иметь некоторую их комбинацию. ^[1]

Диофантова задача поиска целых точек на суперэллиптической кривой может быть решена методом, аналогичным тому, который используется для решения гиперэллиптических уравнений: тождество Зигеля используется для сведения к уравнению Туэ .

Определение

В более общем смысле суперэллиптическая кривая — это циклическое разветвленное накрытие.

C\to \mathbb {P} ^{1}

проективной линии степени $m\geq 2$ взаимно прост с характеристикой поля определения. Степень $m$ карты покрытия также называется степенью кривой. Под циклическим накрытием мы подразумеваем, что группа Галуа накрытия (т. е. соответствующее расширение функционального поля ) является циклической .

Основная теорема теории Куммера предполагает ^{[ нужна ссылка ]} что суперэллиптическая кривая степени $m$ определено над полем $k$ имеет аффинную модель, заданную уравнением

y^{m}=f(x)

для некоторого полинома $f\in k[x]$ степени $m$ где каждый корень имеет порядок $<m$ , при условии, что $C$ имеет точку, определенную над $k$ , то есть если множество $C(k)$ из $k$ -рациональные точки зрения $C$ не пусто. Например, так всегда бывает, когда $k$ замкнуто алгебраически . В частности, расширение функционального поля $k(C)/k(x)$ является расширением Куммера .

Разветвление

Позволять $C:y^{m}=f(x)$ — суперэллиптическая кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем $k$ , и $B'\subset k$ обозначим множество корней $f$ в $k$ . Определить набор $B={\begin{cases}B'&{\text{ if }}m{\text{ divides }}\deg(f),\\B'\cup \{\infty \}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$ Затем $B\subset \mathbb {P} ^{1}(k)$ – множество точек ветвления покрывающего отображения $C\to \mathbb {P} ^{1}$ предоставлено $x$ .

Для аффинной точки ветвления $\alpha \in B$ , позволять $r_{\alpha }$ обозначают порядок $\alpha$ как корень $f$ . Как и раньше, мы предполагаем, что $1\leq r_{\alpha }<m$ . Затем $e_{\alpha }={\frac {m}{(m,r_{\alpha })}}$ индекс ветвления $e(P_{\alpha ,i})$ на каждом из $(m,r_{\alpha })$ точки разветвления $P_{\alpha ,i}$ кривой, лежащей над $\alpha \in \mathbb {A} ^{1}(k)\subset \mathbb {P} ^{1}(k)$ (это справедливо для любого $\alpha \in k$ ).

Для точки на бесконечности определите целое число $0\leq r_{\infty }<m$ следующее. Если $s=\min\{t\in \mathbb {Z} \mid mt\geq \deg(f)\},$ затем $r_{\infty }=ms-\deg(f)$ . Обратите внимание, что $(m,r_{\infty })=(m,\deg(f))$ . Тогда аналогично остальным точкам ветвления $e_{\infty }={\frac {m}{(m,r_{\infty })}}$ индекс ветвления $e(P_{\infty ,i})$ в $(m,r_{\infty })$ очки $P_{\infty ,i}$ что лежит над $\infty$ . В частности, кривая неразветвлена на бесконечности тогда и только тогда, когда ее степень $m$ делит $\deg(f)$ .

Изгиб $C$ определенное выше, связано именно тогда, когда $m$ и $r_{\alpha }$ относительно просты (не обязательно попарно), что и предполагается.

Род

По формуле Римана-Гурвица род суперэллиптической кривой определяется выражением

g={\frac {1}{2}}\left(m(|B|-2)-\sum _{\alpha \in B}(m,r_{\alpha })\right)+1.

См. также

Ссылки

^ Гэлбрейт, Южная Дакота; Паулхус, С.М.; Смарт, НП (2002). «Арифметика на суперэллиптических кривых» . Математика вычислений . 71 : 394–405. дои : 10.1090/S0025-5718-00-01297-7 . МР 1863009 .

Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. Шпрингер-Верлаг . п. 361. ИСБН 0-387-98981-1 . Збл 0948.11023 .
Ку, Джа Гён (1991). «О голоморфных дифференциалах некоторого поля алгебраических функций одной переменной над $\mathbb {C}$ ". Bull. Austral. Math. Soc . 43 (3): 399–405. doi : 10.1017/S0004972700029245 .
Ланг, Серж (1978). Эллиптические кривые: диофантовый анализ . Основные принципы математических наук. Том 231. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-08489-4 .
Шори, Теннесси; Тайдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Кембриджские трактаты по математике. Том. 87. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-26826-5 . Збл 0606.10011 .
Смарт, НП (1998). Алгоритмическое разрешение диофантовых уравнений . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 41. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-64633-2 .

[1] Гэлбрейт, Южная Дакота; Паулхус, С.М.; Смарт, НП (2002). «Арифметика на суперэллиптических кривых» . Математика вычислений . 71 : 394–405. дои : 10.1090/S0025-5718-00-01297-7 . МР 1863009 .

[1]