Кривая Артина – Шрайера

В математике кривая Артина – Шрайера — это плоская кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем характеристики $p$ по уравнению

y^{p}-y=f(x)

для некоторой рациональной функции $f$ над этим полем.

Одним из наиболее важных примеров таких кривых являются гиперэллиптические кривые характеристики 2, якобианы которых предложены для использования в криптографии . ^{[ 1 ]} Обычно эти кривые записывают в виде

y^{2}+h(x)y=f(x)

для некоторых полиномов $f$ и $h$ .

Определение

В более общем смысле, кривая Артина-Шрайера, определенная над алгебраически замкнутым полем характеристики $p$ представляет собой разветвленное покрытие

C\to \mathbb {P} ^{1}

проективной линии степени $p$ . Такое накрытие обязательно циклическое , т. е. группа Галуа соответствующего расширения поля алгебраических функций является циклической группой $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . Другими словами, $k(C)/k(x)$ является расширением Артина–Шрайера .

Фундаментальная теорема теории Артина – Шрайера подразумевает, что такая кривая, определенная над полем $k$ имеет аффинную модель

y^{p}-y=f(x),

для некоторой рациональной функции $f\in k(x)$ это не равно для $z^{p}-z$ для любой другой рациональной функции $z$ . Другими словами, если мы определим полином $g(z)=z^{p}-z$ , то мы требуем, чтобы $f\in k(x)\backslash g(k(x))$ .

Разветвление

Позволять $C:y^{p}-y=f(x)$ быть кривой Артина–Шрейера. Рациональная функция $f$ над алгебраически замкнутым полем $k$ имеет частичное дробное разложение

f(x)=f_{\infty }(x)+\sum _{\alpha \in B'}f_{\alpha }\left({\frac {1}{x-\alpha }}\right)

для некоторого конечного множества $B'$ элементов $k$ и соответствующие непостоянные полиномы $f_{\alpha }$ определено более $k$ и (возможно, постоянный) полином $f_{\infty }$ . После смены координат $f$ можно выбрать так, чтобы указанные выше многочлены имели степени, взаимно простые с $p$ , и то же самое справедливо и для $f_{\infty }$ или оно равно нулю. Если это так, мы определяем

B={\begin{cases}B'&{\text{ if }}f_{\infty }=0,\\B'\cup \{\infty \}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}

Тогда набор $B\subset \mathbb {P} ^{1}(k)$ есть в точности множество точек ветвления накрытия $C\to \mathbb {P} ^{1}$ .

Например, кривая Артина – Шрайера $y^{p}-y=f(x)$ , где $f$ является многочленом, разветвленным в одной точке на проективной прямой.

Поскольку степень покрытия — простое число, над каждой точкой ветвления $\alpha \in B$ лежит единственная точка ветвления $P_{\alpha }$ с соответствующими разными (не путать с индексом ветвления), равными

e(P_{\alpha })=(p-1){\big (}\deg(f_{\alpha })+1{\big )}+1.

Род

С $p$ не делит $\deg(f_{\alpha })$ , индексы ветвления $e(P_{\alpha })$ не делятся на $p$ или. Следовательно, теорему Римана–Роха можно использовать для вычисления того, что род кривой Артина–Шрайера определяется выражением

g={\frac {p-1}{2}}\left(\sum _{\alpha \in B}{\big (}\deg(f_{\alpha })+1{\big )}-2\right).

Например, для гиперэллиптической кривой, определенной над полем характеристики $p=2$ по уравнению $y^{2}-y=f(x)$ с $f$ разлагается, как указано выше,

g=\sum _{\alpha \in B}{\frac {\deg(f_{\alpha })+1}{2}}-1.

Обобщения

Кривые Артина–Шрайера представляют собой частный случай плоских кривых, определенных над алгебраически замкнутым полем. $k$ характеристики $p$ по уравнению

g(y^{p})=f(x)

для некоторого сепарабельного многочлена $g\in k[x]$ и рациональная функция $f\in k(x)\backslash g(k(x))$ . Картирование $(x,y)\mapsto x$ дает карту покрытия кривой $C$ к проективной линии $\mathbb {P} ^{1}$ . Отделимость определяющего полинома $g$ обеспечивает отделимость соответствующего расширения функционального поля $k(C)/k(x)$ . Если $g(y^{p})=a_{m}y^{p^{m}}+a_{m-1}y^{p^{m-1}}+\cdots +a_{1}y^{p}+a_{0}$ , можно найти замену переменных такую, что $a_{m}=a_{1}=1$ и $a_{0}=0$ . Было показано ^{[ 2 ]} что такие кривые можно построить с помощью последовательности расширений Артина-Шрайера, т. е. существует последовательность циклических покрытий кривых

C\to C_{m-1}\to \cdots \to C_{0}=\mathbb {P} ^{1},

каждый степени $p$ , начиная с проективной прямой.

См. также

Ссылки

^ Коблиц, Нил (1989). «Гиперэллиптические криптосистемы». Журнал криптологии . 1 (3): 139–150. дои : 10.1007/BF02252872 .
^ Салливан, Фрэнсис Дж. (1975). «p-Кручение в группе классов кривых со слишком большим количеством автоморфизмов». Архив математики . 26 (1): 253–261. дои : 10.1007/BF01229737 .

Фарнелл, Шон; Прис, Рэйчел (2014). «Семейства кривых Артина-Шрайера с матрицей Картье-Манена постоянного ранга». Линейная алгебра и ее приложения . 439 (7): 2158–2166. arXiv : 1202.4183 . дои : 10.1016/j.laa.2013.06.012 .

[1] Коблиц, Нил (1989). «Гиперэллиптические криптосистемы». Журнал криптологии . 1 (3): 139–150. дои : 10.1007/BF02252872 .

[2] Салливан, Фрэнсис Дж. (1975). «p-Кручение в группе классов кривых со слишком большим количеством автоморфизмов». Архив математики . 26 (1): 253–261. дои : 10.1007/BF01229737 .

[ 1 ]

[ 2 ]