Формула следа Гротендика

В алгебраической геометрии формула следа Гротендика выражает число точек многообразия над конечным полем через след на эндоморфизма Фробениуса группах его когомологий . Существует несколько обобщений: эндоморфизм Фробениуса можно заменить более общим эндоморфизмом, и в этом случае точки над конечным полем заменяются его неподвижными точками, а также существует более общая версия для пучка над многообразием, где группы когомологий заменяются когомологиями с коэффициентами в пучке.

Формула следа Гротендика является аналогом в алгебраической геометрии теоремы Лефшеца о неподвижной точке в алгебраической топологии .

Одним из применений формулы следа Гротендика является выражение дзета-функции многообразия над конечным полем или, в более общем смысле , L-серии пучка как суммы по следам Фробениуса на группах когомологий. Это один из шагов, используемых при доказательстве гипотезы Вейля .

Формула следа Беренда обобщает формулу на алгебраические стеки .

Формальное утверждение для L -функций

Пусть k — конечное поле, l — обратимое простое число, в k , X — k гладкая - схема размерности n и ${\mathcal {F}}$ имеет сборный $\mathbb {Q} _{l}$-пучок на X . Тогда следующее когомологическое выражение L -функции для ${\mathcal {F}}$ держит:

$L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}$

где F — всюду геометрическое действие Фробениуса на l -адических когомологиях с компактными носителями пучка ${\mathcal {F}}$. Взятие логарифмических производных обоих формальных степенных рядов дает утверждение о суммах следов для каждого конечного расширения поля E базового поля k :

$\sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))$

Для постоянной связки $\mathbb {Q} _{l}$ (рассматривается как $(\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q}$ чтобы квалифицироваться как l -адический пучок) левая часть этой формулы — это количество E -точек X .

Ссылки

• Делинь, Пьер (1977). Семинар Мари Вуд по алгебраической геометрии — Эталь когомологии — (SGA 4½) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 569. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0091516 . ISBN  978-3-540-08066-4 .
• Гротендик, Александр (1977). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1965-66 - L-адические когомологии и L-функции - (SGA 5) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 589. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0096802 . ISBN  3-540-08248-4 .
• Пятница, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 13, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-12175-6 , МР   0926276