Математическая задача
Математическая проблема — это проблема, которую можно представить методов , проанализировать и, возможно, решить с помощью математических . Это может быть проблема реального мира, такая как вычисление орбит планет Солнечной системы, или проблема более абстрактного характера, такая как проблемы Гильберта . Это также может быть проблемой, связанной с природой самой математики , например, с парадоксом Рассела .
Реальные проблемы [ править ]
Неформальные математические задачи «реального мира» — это вопросы, связанные с конкретными условиями, например: «У Адама есть пять яблок, а он дает Джону три. Сколько у него осталось?». Такие вопросы обычно решить сложнее, чем обычные математические упражнения , такие как «5–3», даже если человек знает математику, необходимую для решения задачи. Известные как словесные задачи , они используются в математическом образовании , чтобы научить учащихся связывать реальные ситуации с абстрактным языком математики.
В общем, чтобы использовать математику для решения реальной проблемы, первым шагом является построение математической модели проблемы. Это предполагает абстрагирование от деталей проблемы, и разработчик модели должен быть осторожен, чтобы не потерять существенные аспекты при переводе исходной проблемы в математическую форму. После того, как проблема была решена в мире математики, решение должно быть переведено обратно в контекст исходной проблемы.
Абстрактные задачи [ править ]
Абстрактные математические проблемы возникают во всех областях математики. Хотя математики обычно изучают их ради самих себя, тем самым можно получить результаты, которые найдут применение за пределами математики. Теоретическая физика исторически была богатым источником вдохновения .
Строго доказано, что некоторые абстрактные проблемы неразрешимы, например, квадратура круга и трисекция угла с использованием только конструкций циркуля и линейки классической геометрии, а также алгебраическое решение общего уравнения пятой степени . Также доказуемо неразрешимы так называемые неразрешимые проблемы , такие как проблема остановки машин Тьюринга .
Некоторые известные сложные абстрактные проблемы, которые были решены сравнительно недавно, — это теорема о четырех красках , Великая теорема Ферма и гипотеза Пуанкаре .
Компьютерам не обязательно понимать мотивацию математиков, чтобы делать то, что они делают. [1] Формальные определения и проверяемые компьютером выводы занимают центральное место в математической науке .
Деградация задач до упражнений [ править ]
У преподавателей математики, использующих решение задач для оценки, есть проблема, сформулированная Аланом Х. Шенфельдом :
- Как можно сравнивать результаты тестов из года в год, когда используются очень разные задачи? (Если подобные задачи используются из года в год, учителя и ученики узнают, что это такое, ученики будут практиковать их: задачи становятся упражнениями , и тест больше не оценивает решение задач). [2]
С той же проблемой столкнулся Сильвестр Лакруа почти двумя столетиями ранее:
- ...необходимо варьировать вопросы, которые студенты могут задать друг другу. Хотя они могут провалить экзамен, они могут сдать его позже. Таким образом, распределение вопросов, разнообразие тем или ответов рискуют потерять возможность точного сравнения кандидатов друг с другом. [3]
Такое превращение задач в упражнения характерно для исторической математики. Например, описывая подготовку к Кембриджскому математическому семинару в XIX веке, Эндрю Уорвик писал:
- ... многие семейства тогдашних стандартных задач изначально требовали способностей величайших математиков 18 века. [4]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ ( Newby & Newby 2008 ): «Второй тест заключается в том, что, хотя такие машины могут выполнять многие вещи с таким же или, возможно, большим совершенством, чем любой из нас, они, без сомнения, потерпят неудачу в некоторых других, из чего можно было бы обнаружить, что они действовали не по знанию , а исключительно по расположению своих органов: ибо, хотя разум есть всеобщий инструмент, одинаково доступный во всяком случае, эти органы, напротив, нуждаются в особом расположении для каждого частного действия, откуда он должен; морально невозможно, чтобы в какой-либо машине существовало разнообразие органов, достаточное для того, чтобы она могла действовать во всех случаях жизни так, как наш разум позволяет нам действовать». переведено с
( Декарт 1637 ), стр. = 57 , «А второе состоит в том, что, хотя они делали некоторые вещи также хорошо или, возможно, лучше, чем любой из нас, им неизбежно не хватало бы некоторых других, из-за чего мы бы обнаружили, что они не будут действовать не по познанию, а только по расположению своих органов. Ибо вместо того, чтобы разум быть универсальным орудием, которым можно пользоваться во всех видах встреч, эти органы нуждаются в некоторой особой предрасположенности, ибо каждое отдельное действие происходит от того, что он есть; морально невозможно, чтобы в машине было достаточно различителей, чтобы заставить ее действовать во всех случаях жизни точно так же, как наш разум заставляет нас действовать. - ^ Алан Х. Шенфельд (редактор) (2007) Оценка математических знаний , страницы предисловия x, xi, Научно-исследовательский институт математических наук, Издательство Кембриджского университета ISBN 978-0-521-87492-2
- ^ С. Ф. Лакруа (1816) Очерки преподавания в целом и математики в частности , стр. 201
- ^ Эндрю Уорвик (2003) Магистр теории: Кембридж и развитие математической физики , стр. 145, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7
- Ньюби, Илана; Ньюби, Грег (1 июля 2008 г.). «Рассуждение Рене Декарта о методе правильного проведения разума и поиска истины в науках» . Проект Гутенберг . Проверено 13 февраля 2019 г. , в переводе с
