основа Маркушевича

В функциональном анализе базис Маркушевича (иногда М-базис ) представляет собой биортогональную систему, которая является одновременно полной и тотальной .

Определение

Позволять $X$ быть банаховым пространством . Биортогональная система ​ $\{x_{\alpha };f_{\alpha }\}_{x\in \alpha }$ в $X$ является базисом Маркушевича, если

$${\overline {\text{span}}}\{x_{\alpha }\}=X$$

и

$$\{f_{\alpha }\}_{x\in \alpha }$$

точки разделяет $X$.

В сепарабельном пространстве биортогональность не является существенным препятствием для базиса Маркушевича; любое связующее множество и разделяющие функционалы можно сделать биортогональными. Однако остается открытым вопрос, допускает ли каждое сепарабельное банахово пространство базис Маркушевича с $\|x_{\alpha }\|=\|f_{\alpha }\|=1$ для всех $\alpha$.

Примеры

Любой базис Шаудера банахового пространства является также базисом Маркушевича; обратное, вообще говоря, неверно. Примером базиса Маркушевича, не являющегося базисом Шаудера, является последовательность

$$\{e^{2i\pi nt}\}_{n\in \mathbb {Z} }\quad \quad \quad ({\text{ordered }}n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$

в подпространстве ${\tilde {C}}[0,1]$ из непрерывных функций $[0,1]$ к комплексным числам , имеющим равные значения на границе, при супремумной норме. Вычисление коэффициента Фурье является непрерывным, а интервал измерения плотным. ${\tilde {C}}[0,1]$; таким образом, для любого $f\in {\tilde {C}}[0,1]$, существует последовательность

$$\sum _{|n|<N}{\alpha _{N,n}e^{2\pi int}}\to f{\text{.}}$$

Но если $f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\alpha _{n}e^{2\pi nit}}$, то для фиксированного $n$ коэффициенты $\{\alpha _{N,n}\}_{N}$ должны сходиться, и есть функции, для которых они не сходятся.

Пространство последовательности $l^{\infty }$ не допускает базиса Маркушевича, потому что он одновременно Гротендиков и иррефлексивен . Но любое сепарабельное пространство (например, $l^{1}$) имеет двойное (соответственно. $l^{\infty }$) дополняемые в пространстве, допускающем базис Маркушевича.