Ограниченное среднее колебание

В гармоническом анализе в математике функция ограниченного среднего колебания , также известная как функция BMO , представляет собой действительнозначную функцию , среднее колебание которой ограничено (конечно). Пространство функций ограниченного среднего колебания ( BMO ) — это функциональное пространство , которое в некотором точном смысле играет ту же роль в теории пространств Харди H ^п что пространство L ^∞ существенно ограниченных функций играет в теории L ^п -пространства : его также называют пространством Джона – Ниренберга , в честь Фрица Джона и Луи Ниренберга, которые впервые представили и изучили его.

Историческая справка

По словам Ниренберга (1985 , стр. 703 и стр. 707), пространство функций ограниченного среднего колебания было введено Джоном (1961 , стр. 410–411) в связи с его исследованиями отображений из ограниченного множества Ω, принадлежащего R ^н в Р ^н и соответствующие проблемы, возникающие из теории упругости , а именно из концепции упругой деформации : основные обозначения были введены в следующей статье Джона и Ниренберга (1961) : где были доказаны некоторые свойства этого функционального пространства. Следующим важным шагом в развитии теории стало доказательство Чарльза Феффермана. двойственности H между BMO и Харди пространством ¹ , в отмеченной статье Fefferman & Stein 1972 : конструктивное доказательство этого результата, вводящее новые методы и начиная дальнейшее развитие теории, было дано Акихито Утиямой .

Определение

Определение 1. Среднее колебание функции локально интегрируемой u над гиперкубом Q в R ^н определяется как значение следующего интеграла : $${\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u(y)-u_{Q}|\,\mathrm {d} y$$где

• | вопрос | – объем Q , т.е. его мера Лебега
• u _Q — среднее значение u на кубе Q , т.е. $$u_{Q}={\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}u(y)\,\mathrm {d} y.$$

Определение 2. Функция BMO — это локально интегрируемая функция u , средняя верхняя грань колебаний которой взята по множеству всех кубов Q, содержащихся в R. ^н , конечно.

Примечание 1 . Верхняя грань среднего колебания называется нормой u BMO - . и обозначается || ты || _BMO (а в некоторых случаях его также обозначают || u || _∗ ).

Примечание 2 . Использование кубиков Q в R ^н поскольку интегрирования области , в которых среднее колебание вычисляется , не являются обязательными: вместо этого Вигеринк (2001) использует шары и, как заметил Штейн (1993 , стр. 140), при этом совершенно эквивалентное определение функций ограниченного среднего колебания. возникает.

Обозначения

• Универсально принятое обозначение, используемое для набора функций BMO в данной области Ω, — это BMO ( Ω ): когда Ω = R ^н , БМО ( Р ^н ) обозначается просто как BMO .
• Норма BMO данной функции BMO u обозначается || ты || _BMO : в некоторых случаях также обозначается как || ты || _* .

Основные свойства

Функции BMO локально p -интегрируемы.

Функции BMO локально L ^п если 0 < p < ∞, но не обязательно локально ограничен. Фактически, используя неравенство Джона-Ниренберга, мы можем доказать, что

$\|u\|_{\text{BMO}}\simeq \sup _{Q}\left({\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|u-u_{Q}|^{p}dx\right)^{1/p}.$

BMO — банахово пространство.

Постоянные функции имеют нулевое среднее колебание, поэтому функции, различающиеся для константы c > 0, могут иметь одно и то же значение нормы BMO, даже если их разница почти везде не равна нулю . Следовательно, функция || ты || _{Собственно BMO} является нормой в факторпространстве функций BMO по модулю пространства постоянных функций в рассматриваемой области.

Средние значения соседних кубов сопоставимы

Как следует из названия, среднее или среднее значение функции в BMO не сильно колеблется при ее вычислении по кубам, близким друг к другу по положению и масштабу. А именно, если Q и R — двоичные кубы , границы которых соприкасаются, а длина стороны Q не меньше половины длины стороны R (и наоборот), то

$|f_{R}-f_{Q}|\leq C\|f\|_{\text{BMO}}$

где C > 0 — некоторая универсальная константа. Это свойство фактически эквивалентно нахождению f в BMO, то есть если f — локально интегрируемая функция такая, что | ж _р - ж _Q | ≤ C для всех двоичных кубов Q и R, смежных в описанном выше смысле, и f находится в двоичном BMO (где верхняя грань берется только над двоичными кубами Q ), тогда f находится в BMO.

BMO — двойственное векторное пространство H ¹

Фефферман (1971) показал, что пространство BMO двойственно H ¹ , пространство Харди с p = 1. Спаривание между f ∈ H ¹ и g ∈ BMO определяется выражением

$(f,g)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

хотя при определении этого интеграла необходима некоторая осторожность, поскольку он, как правило, не сходится абсолютно.

Неравенство Джона – Ниренберга

Неравенство Джона – Ниренберга — это оценка, которая определяет, насколько функция ограниченного среднего колебания может отклоняться от своего среднего значения на определенную величину.

Заявление

Для каждого $f\in \operatorname {BMO} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)$, есть константы $c_{1},c_{2}>0$ (независимо от f), такой, что для любого куба $Q$ в $\mathbb {R} ^{n}$, $$\left|\left\{x\in Q:|f-f_{Q}|>\lambda \right\}\right|\leq c_{1}\exp \left(-c_{2}{\frac {\lambda }{\|f\|_{\text{BMO}}}}\right)|Q|.$$

Обратно, если это неравенство справедливо для всех кубов с некоторой константой C вместо || ж || _BMO , то f не превышающей константу, умноженную на C. находится в BMO с нормой ,

Следствие: расстояние в БМО до L ^∞

Неравенство Джона-Ниренберга на самом деле может дать больше информации, чем просто норма функции BMO. Для локально интегрируемой функции f пусть A ( f ) будет нижней точкой A > 0, для которой

$\sup _{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}e^{\left|f-f_{Q}\right|/A}\mathrm {d} x<\infty .$

Из неравенства Джона–Ниренберга следует, что A ( f ) ≤ C|| ж || _BMO для некоторой универсальной C. константы Для L ^∞ функции, однако приведенное выше неравенство будет выполняться для всех A > 0. Другими словами, A ( f ) = 0, если f находится в L ^∞ . Следовательно, константа A ( f ) дает нам способ измерения того, насколько далеко функция в BMO находится от подпространства L. ^∞ . Это утверждение можно уточнить: существует константа C , зависящая только от размерности n , такая, что для любой функции f ∈ BMO( R ^н ) имеет место следующее двустороннее неравенство

${\frac {1}{C}}A(f)\leq \inf _{g\in L^{\infty }}\|f-g\|_{\text{BMO}}\leq CA(f).$

Обобщения и расширения

Пространства BMOH и BMOA

Когда размерность окружающего пространства равна 1, пространство BMO можно рассматривать как линейное подпространство гармонических функций на единичном круге и играет важную роль в теории пространств Харди : используя определение 2 , можно определить Пространство BMO( T ) на единичной окружности как пространство функций f : T → R таких, что

${\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty$

т.е. такое, что его среднее колебание по каждой дуге I единичной окружности ограничен. Здесь, как и раньше, f _I — среднее значение f по дуге I.

Определение 3. Говорят, что аналитическая функция на единичном круге принадлежит гармоническому BMO или пространству BMOH тогда и только тогда, когда она является интегралом Пуассона от функции BMO( T ). Следовательно, BMOH — это пространство всех функций u вида:

$u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{\left|a-e^{i\theta }\right|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta$

оборудован по норме:

$\|u\|_{\text{BMOH}}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}\left|f(e^{i\theta })-u(a)\right|\mathrm {d} \theta \right\}$

Подпространство аналитических функций, принадлежащих BMOH, называется аналитическим пространством BMO или пространством BMOA .

BMOA как двойственное пространство H ¹ ( Д )

Чарльз Фефферман в своей оригинальной работе доказал, что реальное пространство BMO двойственно действительнозначному гармоническому пространству Харди в верхнем полупространстве R. ^н × (0, ∞]. В теории комплексного и гармонического анализа на единичном круге его результат формулируется следующим образом. Пусть Н ^п ( D ) — аналитическое пространство Харди на единичном диске . Для p = 1 определяем ( H ¹ )* с BMOA путем спаривания f ∈ H ¹ ( D ) и g ∈ BMOA с использованием антилинейного преобразования T _g

$T_{g}(f)=\lim _{r\to 1}\int _{-\pi }^{\pi }{\bar {g}}(e^{i\theta })f(re^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta$

Обратите внимание: хотя предел всегда существует для H ¹ функция f и T _g — элемент двойственного пространства ( H ¹ )*, поскольку преобразование антилинейное , у нас нет изометрического изоморфизма между ( H ¹ )* и БМОА. Однако можно получить изометрию, если рассмотреть своего рода пространство сопряженных функций BMOA .

Космический ВМО

Пространство VMO функций исчезающего среднего колебания является замыканием в BMO непрерывных функций, исчезающих на бесконечности. Его также можно определить как пространство функций, «средние колебания» которых на кубах Q не только ограничены, но и равномерно стремятся к нулю при стремлении радиуса куба Q к 0 или ∞. Пространство VMO является своего рода аналогом пространства Харди пространства непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, и, в частности, действительнозначного гармонического пространства Харди H. ¹ является двойником VMO.

Связь с преобразованием Гильберта

Локально интегрируемая функция f на R является BMO тогда и только тогда, когда ее можно записать как

$f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha$

где f _i ∈ L ^∞ , α — константа, а H — преобразование Гильберта .

Тогда норма BMO эквивалентна нижней грани $\|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }$ над всеми такими представлениями.

Аналогично f является VMO тогда и только тогда, когда его можно представить в приведенной выше форме с f _i ограниченными равномерно непрерывными функциями на R .

Диадическое пространство БМО

Обозначим через ∆ множество двоичных кубов в R ^н . пространство Диадическое BMO , записанное BMO _d, представляет собой пространство функций, удовлетворяющих тому же неравенству, что и для функций BMO, с той лишь разницей, что верхняя грань приходится на все диадические кубы. Эту верхнюю грань иногда обозначают ||•|| _{БМО д} .

Это пространство правильно содержит BMO. В частности, функция log( x ) χ _[0,∞) — это функция, которая находится в двоичном BMO, но не находится в BMO. Однако если функция f такова, что || ж (•- x )|| _{BMO d} ≤ C для всех x в R ^н для некоторого C > 0, то по уловке одной трети f также находится в BMO. В случае с БМО на Т ^н вместо Р ^н , функция f такова, что || ж (•- x )|| _{BMO d} ≤ C для n+1, правильно выбранного x , тогда f также находится в BMO. Это означает BMO( T ^н ) является пересечением n+1 трансляции диадического BMO. По двойственности H ¹ ( Т ^н ) представляет собой сумму n +1 трансляции двоичных H ¹ .

Хотя диадический BMO - гораздо более узкий класс, чем BMO, многие теоремы, верные для BMO, гораздо проще доказать для диадического BMO, и в некоторых случаях можно восстановить исходные теоремы BMO, доказав их сначала в специальном диадическом случае.

Примеры

Примеры функций BMO включают следующее:

• Все ограниченные (измеримые) функции. Если f находится в L ^∞ , то || ж || _БМО ≤ 2||f|| _∞ : однако обратное неверно, как показывает следующий пример.
• Функция log(| P |) для любого полинома P , не равного тождественному нулю: в частности, это верно и для | п ( Икс )| = | х |.
• Если w — A _∞ вес , то log( w ) — это BMO. И наоборот, если f — BMO, то e ^δf является весом A _∞ при достаточно малом δ>0: этот факт является следствием неравенства Джона–Ниренберга .

Ссылки

Исторические справки

• Антман, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185- 6 , МР   0714990 , Збл   0533.73001 . Историческая статья о плодотворном взаимодействии теории упругости и математического анализа .
• Леннарт, Карлесон (1981), «BMO - 10 лет развития», в Баслеве, Эрик (редактор), 18-й Скандинавский конгресс математиков. Труды, 1980 , Прогресс в математике, вып. 11, Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag , стр. 3–21, ISBN.  3-7643-3040-6 , МР   0633348 , Збл   0495.46021 .
• Ниренберг, Луи (1985), «Комментарий к [различным статьям]», в книге Мозер, Юрген (редактор), Фриц Джон: Сборник статей, том 2 , Современные математики, Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag , стр. 703–710. , ISBN  0-8176-3265-4 , Збл   0584.01025

Научные ссылки

• Фефферман, К. (1971), «Характеристики ограниченного среднего колебания» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 587–588, doi : 10.1090/S0002-9904-1971-12763-5 , MR   0280994 , Збл   0229.46051 .
• Фефферман, К .; Штейн, Э.М. (1972), "H ^п пространства нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 : 137–193, doi : 10.1007/BF02392215 , MR   0447953 , Zbl   0257.46078 .
• Фолланд, Великобритания (2001) [1994], «Пространства Харди» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Гарнетт, Джон Б. (2007) [1981], Ограниченные аналитические функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 236 (пересмотренное 1-е изд.), Springer, стр. xiv+459, ISBN  978-0-387-33621-3 , МР   2261424 , Збл   1106.30001 .
• Гарнетт, Джон. Б ; Джонс, Питер В. (сентябрь 1978 г.), «Расстояние от BMO до L». ^∞ ", Анналы математики , вторая серия, 108 (2): 373–393, doi : 10.2307/1971171 , JSTOR   1971171 , MR   0506992 , Zbl   0358.26010 .
• Гарнетт, Джон. Б ; Джонс, Питер В. (1982), «BMO от диадического BMO» , Pacific Journal of Mathematics , 99 (2): 351–371, doi : 10.2140/pjm.1982.99.351 , MR   0658065 , Zbl   0516.46021 .
• Гирела, Дэниел (2001), «Аналитические функции ограниченного среднего колебания», в Ауласкари, Рауно (ред.), Пространства комплексных функций, Материалы летней школы, Мекриярви, Финляндия, 30 августа - 3 сентября 1999 г. , Univ. Йоэнсуу Кафедра математики. Сер. респ., т. 1, с. 4, Йоэнсуу : Университет Йоэнсуу, факультет математики, стр. 61–170, MR   1820090 , Zbl   0981.30026 .
• Джон, Ф. (1961), «Вращение и деформация», «Сообщения по чистой и прикладной математике» , 14 (3): 391–413, doi : 10.1002/cpa.3160140316 , MR   0138225 , Zbl   0102.17404 .
• Джон, Ф .; Ниренберг, Л. (1961), «О функциях ограниченного среднего колебания», Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 415–426, doi : 10.1002/cpa.3160140317 , hdl : 10338.dmlcz/128274 , MR   0131498 , Збл   0102.04302 .
• Стейн, Элиас М. (1993), Гармонический анализ: методы действительных переменных, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton Mathematical Series, vol. 43, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. xiv+695, ISBN  0-691-03216-5 , МР   1232192 , OCLC   27108521 , Збл   0821.42001 .
• Утияма, Акихито (1982), «Конструктивное доказательство разложения Феффермана-Стейна BMO ( R ^н )", Acta Mathematica , 148 : 215–241, doi : 10.1007/BF02392729 , MR   0666111 , Zbl   0514.46018 .
• Вигеринк, Дж. (2001) [1994], «Пространство BMO» , Математическая энциклопедия , EMS Press .