Диадические кубы

В математике диадические кубы представляют собой набор кубов в R. ^н разных размеров или масштабов, так что набор кубов каждого масштабного раздела R ^н и каждый куб одного масштаба можно записать как объединение кубов меньшего масштаба. Они часто используются в математике (особенно в гармоническом анализе ) как способ дискретизации объектов, чтобы упростить вычисления или анализ. Например, чтобы изучить произвольное подмножество A евклидова пространства , можно вместо этого заменить его объединением диадических кубов определенного размера, покрывающих это множество. получается более четкое изображение набора A. Этот набор можно рассматривать как пикселизированную версию исходного набора, и по мере использования кубиков меньшего размера Наиболее заметные проявления диадических кубов включают теорему о расширении Уитни и лемму Кальдерона-Зигмунда .

Диадические кубы в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве двоичные кубы могут быть построены следующим образом: для каждого целого числа k пусть Δ _k будет множеством кубов в R ^н длины стороны 2 ^{- к} и уголки в комплекте

$2^{-k}\mathbf {Z} ^{n}=\left\{2^{-k}(v_{1},\dots ,v_{n}):v_{j}\in \mathbf {Z} \right\}$

и пусть ∆ — объединение всех _∆k .

Наиболее важными особенностями этих кубиков являются следующие:

1. Для каждого целого числа k , Δ _k разделов R ^н .
2. Все кубы из Δ _k имеют одинаковую длину стороны, а именно 2 ^{- к} .
3. Если внутренности двух кубов Q и R из ∆ имеют непустое пересечение, то либо Q содержится в R , либо R содержится в Q .
4. Каждый Q из Δ _k можно записать как объединение 2 ^н кубы из Δk _{+ 1} с непересекающимися внутренностями.

Мы используем слово «разделение» несколько свободно: поскольку, хотя их объединение представляет собой все R ^н , кубы из Δ _k могут перекрываться на своих границах. Однако эти перекрытия имеют нулевую меру Лебега , и поэтому в большинстве приложений эта несколько более слабая форма разбиения не является помехой.

Также может показаться странным, что больший k соответствует меньшим кубикам. Можно думать о k как о степени увеличения. Однако на практике, если Δ _k — это набор кубов со стороной 2 ^к или 2 ^{- к} Это вопрос предпочтений или удобства.

Трюк на одну треть

Одним из недостатков диадических кубов в евклидовом пространстве является то, что они слишком сильно зависят от конкретного положения кубов. Например, для описанных выше диадических кубов Δ невозможно содержать произвольный шар внутри некоторого Q из Δ (рассмотрим, например, единичный шар с центром в нуле). Как вариант, может быть такой куб, содержащий шарик, но размеры шара и кубика сильно различаются. Из-за этого предостережения иногда полезно работать с двумя или более коллекциями диадических кубов одновременно.

Определение

Следующий трюк известен как трюк одной трети :

Пусть ∆k _— двоичные кубы масштаба k, как указано выше. Определять

$\Delta _{k}^{\alpha }=\{Q+\alpha :Q\in \Delta _{k}\}.$

Это набор двоичных кубов в Δ _k, переведенный вектором α. Для каждого такого α пусть ∆ ^а — объединение ∆ _k ^а более К. ​

• Существует универсальная константа C > 0 такая, что для любого шара B радиуса r < 1/3 существует α в {0,1/3}. ^н и куб Q в ∆ ^а содержащий B , диаметр которого не превышает Cr .
• В более общем смысле, если B — шар любого радиуса r > 0, существует α в {0, 1/3, 4/3, 4. ² /3, ...} ^н и куб Q в ∆ ^а содержащий B , диаметр которого не превышает Cr .

Пример приложения

Привлекательность трюка с одной третьей заключается в том, что можно сначала доказать двоичные версии теоремы, а затем вывести из них «недиадические» теоремы. Например, вспомним функцию максимума Харди-Литтлвуда.

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dy$

где f — локально интегрируемая функция и | Б ( Икс , р )| обозначает меру шара B ( x , r ). Максимальное неравенство Харди –Литтлвуда утверждает, что для интегрируемой функции f ,

$\left|\{x\in \mathbf {R} ^{n}:Mf(x)>\lambda \}\right|\leq {\frac {C_{n}}{\lambda }}\|f\|_{1}$

для λ > 0, где C _n — некоторая константа, зависящая только от размерности.

Эта теорема обычно доказывается с использованием леммы о покрытии Витали . Однако можно избежать использования этой леммы, доказав сначала указанное неравенство для диадических максимальных функций

$M_{\Delta ^{\alpha }}f(x)=\sup _{x\in Q\in \Delta ^{\alpha }}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)|dx.$

Доказательство аналогично доказательству исходной теоремы, однако свойства двоичных кубов избавляют нас от необходимости использовать лемму о накрытии Витали. Затем мы можем вывести исходное неравенство, используя трюк одной трети.

Диадические кубы в метрических пространствах

Аналоги диадических кубов можно построить в некоторых метрических пространствах . В частности, пусть X — метрическое пространство с метрикой d , поддерживающее удвояющую меру µ, то есть такую ​​меру, что для x ∈ X и r > 0 выполняется:

$\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))$

где C > 0 — универсальная константа, не зависящая от выбора x и r .

Если X поддерживает такую ​​меру, то существуют наборы множеств ∆k _такие , что они (и их объединение ∆) удовлетворяют следующему:

• Для каждого целого числа k Δ _k разбивает X в том смысле, что

$\mu \left(X\backslash \bigcup \nolimits _{Q\in \Delta _{k}}Q\right)=0.$

• Все множества Q в Δ _k имеют примерно одинаковый размер. Более конкретно, каждый такой Q имеет центр z _Q такой, что

$B(z_{Q},c_{1}\delta ^{k})\subseteq Q\subseteq B(z_{Q},c_{2}\delta ^{k})$

где c ₁ , c ₂ и δ — положительные константы, зависящие только от константы удвоения C меры µ и не зависящие от Q .

• Каждый Q из ∆k _{содержится} в единственном множестве R в _{∆k −1} .
• Существуют константы C ₃ , η > 0, зависящие только от µ, такие, что для всех k и t > 0

$\mu \left(\left\{x\in Q:d(x,X\backslash Q)\leq t\delta ^{k}\right\}\right)\leq C_{3}t^{\eta }\mu (Q).$

Эти условия очень похожи на свойства обычных евклидовых кубов, описанные ранее. Последнее условие гласит, что площадь вблизи границы «куба» Q в Δ мала, что является свойством, которое считается само собой разумеющимся в евклидовом случае, хотя и очень важно для распространения результатов гармонического анализа на условия метрического пространства.

См. также

• Четырехдерево
• Вейвлет-преобразование