Лемма Кальдерона–Зигмунда.
В математике лемма Кальдерона -Зигмунда является фундаментальным результатом анализа Фурье , гармонического анализа и сингулярных интегралов . Он назван в честь математиков Альберто Кальдерона и Антони Зигмунда .
Учитывая интегрируемую функцию f : R д → C , где R д обозначает евклидово пространство , а C обозначает комплексные числа , лемма дает точный способ разделения R д на два набора : один, где f существенно мало; другой - счетный набор кубов, где f существенно велико, но сохраняется некоторый контроль над функцией.
соответствующему разложению Кальдерона-Зигмунда f f , где Это приводит к записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций с использованием вышеуказанных наборов.
Лемма о покрытии
[ редактировать ]Пусть f : R д → C интегрируема и α — положительная константа. Тогда существует открытое множество Ω такое, что:
- (1) Ω — непересекающееся объединение открытых кубов, Ω = ∪ k Q k , такое, что для каждого Q k ,
- (2) | ж ( Икс )| ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω .
Здесь, обозначает меру множества .
Разложение Кальдерона – Зигмунда
[ редактировать ]Учитывая f , как указано выше, мы можем записать f как сумму «хорошей» функции g и «плохой» функции b , f = g + b . Для этого определим
и пусть знак равно ж - г. б Следовательно, мы имеем, что
для каждого куба Q j .
Таким образом, функция b поддерживается на наборе кубов, где f может быть «большим», но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю в каждом из этих кубов. Между тем, | г ( Икс )| ≤ α для почти каждого равно среднему значению f по этому x в F и на каждом кубе в Ω g кубу , которое при выбранном покрытии не превышает 2 д а .
См. также
[ редактировать ]- Сингулярные интегральные операторы типа свертки для доказательства и применения леммы в одном измерении.
- Лемма о восходящем солнце
Ссылки
[ редактировать ]- Кальдерон А.П., Зигмунд А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math , 88 : 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , S2CID 121580197
{{citation}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-Х
- Штейн, Элиас (1970). «Главы I – II». Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691080796 .