Лемма Кальдерона–Зигмунда.

В математике лемма Кальдерона -Зигмунда является фундаментальным результатом анализа Фурье , гармонического анализа и сингулярных интегралов . Он назван в честь математиков Альберто Кальдерона и Антони Зигмунда .

Учитывая интегрируемую функцию   f : R ^д → C , где R ^д обозначает евклидово пространство , а C обозначает комплексные числа , лемма дает точный способ разделения R ^д на два набора : один, где   f   существенно мало; другой - счетный набор кубов, где   f   существенно велико, но сохраняется некоторый контроль над функцией.

соответствующему разложению Кальдерона-Зигмунда f   f   , где  Это приводит к   записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций с использованием вышеуказанных наборов.

Лемма о покрытии

Пусть   f : R ^д → C интегрируема и α — положительная константа. Тогда существует открытое множество Ω такое, что:

(1) Ω — непересекающееся объединение открытых кубов, Ω = ∪ _k Q _k , такое, что для каждого Q _k ,

$\alpha \leq {\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}|f(x)|\,dx\leq 2^{d}\alpha .$

(2) | ж ( Икс )| ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω .

Здесь, $m(Q_{k})$ обозначает меру множества $Q_{k}$.

Разложение Кальдерона – Зигмунда

Учитывая   f   , как указано выше, мы можем записать   f   как сумму «хорошей» функции g и «плохой» функции b ,   f = g + b . Для этого определим

$g(x)={\begin{cases}f(x),&x\in F,\\{\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}f(t)\,dt,&x\in Q_{j},\end{cases}}$

и пусть знак равно ж - г. б Следовательно, мы имеем, что

$b(x)=0,\ x\in F$

${\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}b(x)\,dx=0$

для каждого куба Q _j .

Таким образом, функция b поддерживается на наборе кубов, где   f   может быть «большим», но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю в каждом из этих кубов. Между тем, | г ( Икс )| ≤ α для почти каждого равно среднему значению f по этому x в F и на каждом кубе в Ω g кубу   ,   которое при выбранном покрытии не превышает 2 ^д а .

См. также

• Сингулярные интегральные операторы типа свертки для доказательства и применения леммы в одном измерении.
• Лемма о восходящем солнце

Ссылки

• Кальдерон А.П., Зигмунд А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math , 88 : 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , S2CID   121580197 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-Х
• Штейн, Элиас (1970). «Главы I – II». Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691080796 .