Теорема Мейерса – Серрена

В функциональном анализе теорема Мейерса -Серрина , названная в честь Джеймса Серрина и Нормана Джорджа Мейерса , утверждает, что гладкие функции плотны в пространстве Соболева. $W^{k,p}(\Omega )$ для произвольных доменов $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Историческая значимость

Первоначально было два помещения: $W^{k,p}(\Omega )$ определяется как набор всех функций, имеющих слабые производные порядка до k, все из которых находятся в $L^{p}$ и $H^{k,p}(\Omega )$ определяется как замыкание гладких функций относительно соответствующей соболевской нормы (полученной суммированием по $L^{p}$ нормы функций и всех производных). Теорема устанавливает эквивалентность $W^{k,p}(\Omega )=H^{k,p}(\Omega )$ обоих определений. Весьма удивительно, что, в отличие от многих других теорем плотности, этот результат не требует какой-либо гладкости области $\Omega$. Согласно стандартной ссылке Адамса и Фурнье на пространства Соболева (стр. 60): «Этот результат, опубликованный в 1964 году Мейерсом и Серреном, положил конец большой путанице по поводу взаимоотношений этих пространств, существовавшей в литературе до этого времени. Удивительно, что этот элементарный результат так долго оставался неоткрытым».

Ссылки

• Адамс, Роберт А.; Фурнье, Джон Дж. Ф. (2003), Пространства Соболева , Elsevier .
• Норман Дж., Мейерс; Серрин, Джеймс (1964), « H = W », Proceedings of the National Academy of Sciences , 51 (6): 1055–1056, Bibcode : 1964PNAS...51.1055M , doi : 10.1073/pnas.51.6.1055 , PMC   300210 , ПМИД   16578565 .