Спорадическая группа Маклафлина
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Маклафлина McL представляет собой спорадическую простую группу порядка .
- 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000
- ≈ 9 × 10 8 .
История и свойства
[ редактировать ]McL является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джеком Маклафлином ( 1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Он фиксирует треугольник 2-2-3 в решетке Лича и, таким образом, является подгруппой групп Конвея. , , и . Ее мультипликатор Шура имеет порядок 3, а ее внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL:2 является максимальной подгруппой группы Лайона .
McL имеет один класс сопряженности инволюции (элемент порядка 2), централизатором которого является максимальная подгруппа типа 2.A 8 . Он имеет центр порядка 2; фактор по модулю центра изоморфен знакопеременной группе A 8 .
Представительства
[ редактировать ]В группе Конвея Co 3 McL имеет нормализатор McL:2, максимальный в Co 3 .
McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M 22 . Внешний автоморфизм меняет местами два класса групп M22 . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа Co 3 .
Удобное представление М 22 состоит в матрицах перестановок последних 22 координат; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и типа 2 точками x = (−3, 1 23 ) и y = (−4,-4,0 22 ) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 22 ) относится к типу 3 ; он фиксируется Co 3 . Эта M22 является мономом и максимальной подгруппой представления McL.
Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL четко определена. Предположим, что в решетке Лича точка v типа 3 фиксируется экземпляром . типа 2 Подсчитайте точки w такие, что скалярное произведение v · w = 3 (и, следовательно, v - w относится к типу 2). Он показывает, что их число 552 = 2. 3 ⋅3⋅23 и что этот Co 3 транзитивен на этих w .
|Макл| = |Co3|/552 = 898 128 000.
McL — единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . У него есть два таких представления: одно размерности 3520 и одно размерности 4752.
Максимальные подгруппы
[ редактировать ]Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп McL следующим образом:
- U 4 (3) порядка 3 265 920 индекс 275 – точечный стабилизатор своего действия на графе Маклафлина
- М 22 порядка 443 520, индекс 2 025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
- У 3 (5) порядок 126 000 индекс 7 128
- 3 1+4 :2.S 5 порядок 58 320 индекс 15 400
- 3 4 : М 10 порядок 58 320 индекс 15 400
- L 3 (4):2 2 порядок 40 320 индекс 22 275
- 2.А 8 порядок 40320 индекс 22275 – централизатор инволюции
- 2 4 :A 7 порядка 40 320, индекс 22 275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
- М 11 заказ 7920 индекс 113400
- 5 + 1+2 :3:8 порядок 3000 индекс 299376
Классы сопряженности
[ редактировать ]Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. [1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]
Показаны циклические структуры в перестановочном представлении ранга 3 степени 275 группы McL. [3]
Сорт | Централизуйте порядок | Количество элементов | След | Тип цикла | |
---|---|---|---|---|---|
1А | 898,128,000 | 1 | 24 | ||
2А | 40,320 | 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 11 | 8 | 1 35 , 2 120 | |
3А | 29,160 | 2 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | -3 | 1 5 , 3 90 | |
3Б | 972 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 6 | 1 14 , 3 87 | |
4А | 96 | 2 2 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 4 | 1 7 , 2 14 , 4 60 | |
5А | 750 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11 | -1 | 5 55 | |
5Б | 25 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 | 4 | 1 5 , 5 54 | |
6А | 360 | 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 5 | 1 5 , 3 10 , 6 40 | |
6Б | 36 | 2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 1 2 , 2 6 , 3 11 , 6 38 | |
7А | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 7 39 | эквивалент мощности |
7Б | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 7 39 | |
8А | 8 | 2 4 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 1, 2 3 , 4 7 , 8 30 | |
9А | 27 | 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 3, 9 30 | эквивалент мощности |
9Б | 27 | 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 3, 9 30 | |
10А | 10 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 5 7 , 10 24 | |
11А | 11 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 | 2 | 11 25 | эквивалент мощности |
11Б | 11 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 | 2 | 11 25 | |
12А | 12 | 2 5 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 1 | 1, 2 2 , 3 2 , 6 4 , 12 20 | |
14А | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 1 | 2, 7 5 , 14 17 | эквивалент мощности |
14Б | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 1 | 2, 7 5 , 14 17 | |
15А | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 5, 15 18 | эквивалент мощности |
15Б | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 5, 15 18 | |
30А | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 0 | 5, 15 2 , 30 8 | эквивалент мощности |
30Б | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 0 | 5, 15 2 , 30 8 |
Обобщенный чудовищный самогон
[ редактировать ]Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона имеет вид и .
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
- Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C 3 и группы Маклафлина», Journal of Algebra , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN 0021-8693 , МР 0346046
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
- Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», у Брауэра, Р .; Сах, Чих-хан (ред.), Теория конечных групп (симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968) , Бенджамин, Нью-Йорк, стр. 109–111, MR 0242941
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012