Jump to content

Спорадическая группа Маклафлина

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Маклафлина McL представляет собой спорадическую простую группу порядка .

   2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000
≈ 9 × 10 8 .

История и свойства

[ редактировать ]

McL является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джеком Маклафлином ( 1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Он фиксирует треугольник 2-2-3 в решетке Лича и, таким образом, является подгруппой групп Конвея. , , и . Ее мультипликатор Шура имеет порядок 3, а ее внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL:2 является максимальной подгруппой группы Лайона .

McL имеет один класс сопряженности инволюции (элемент порядка 2), централизатором которого является максимальная подгруппа типа 2.A 8 . Он имеет центр порядка 2; фактор по модулю центра изоморфен знакопеременной группе A 8 .

Представительства

[ редактировать ]

В группе Конвея Co 3 McL имеет нормализатор McL:2, максимальный в Co 3 .

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M 22 . Внешний автоморфизм меняет местами два класса групп M22 . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа Co 3 .

Удобное представление М 22 состоит в матрицах перестановок последних 22 координат; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и типа 2 точками x = (−3, 1 23 ) и y = (−4,-4,0 22 ) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 22 ) относится к типу 3 ; он фиксируется Co 3 . Эта M22 является мономом и максимальной подгруппой представления McL.

Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL четко определена. Предположим, что в решетке Лича точка v типа 3 фиксируется экземпляром . типа 2 Подсчитайте точки w такие, что скалярное произведение v · w = 3 (и, следовательно, v - w относится к типу 2). Он показывает, что их число 552 = 2. 3 ⋅3⋅23 и что этот Co 3 транзитивен на этих w .

|Макл| = |Co3|/552 = 898 128 000.

McL — единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . У него есть два таких представления: одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Максимальные подгруппы

[ редактировать ]

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп McL следующим образом:

  • U 4 (3) порядка 3 265 920 индекс 275 – точечный стабилизатор своего действия на графе Маклафлина
  • М 22 порядка 443 520, индекс 2 025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
  • У 3 (5) порядок 126 000 индекс 7 128
  • 3 1+4 :2.S 5 порядок 58 320 индекс 15 400
  • 3 4 : М 10 порядок 58 320 индекс 15 400
  • L 3 (4):2 2 порядок 40 320 индекс 22 275
  • 2.А 8 порядок 40320 индекс 22275 – централизатор инволюции
  • 2 4 :A 7 порядка 40 320, индекс 22 275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
  • М 11 заказ 7920 индекс 113400
  • 5 + 1+2 :3:8 порядок 3000 индекс 299376

Классы сопряженности

[ редактировать ]

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. [1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]

Показаны циклические структуры в перестановочном представлении ранга 3 степени 275 группы McL. [3]

Сорт Централизуйте порядок Количество элементов След Тип цикла
898,128,000 1 24
40,320 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 11 8 1 35 , 2 120
29,160 2 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 -3 1 5 , 3 90
972 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 6 1 14 , 3 87
96 2 2 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 4 1 7 , 2 14 , 4 60
750 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11 -1 5 55
25 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 4 1 5 , 5 54
360 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 5 1 5 , 3 10 , 6 40
36 2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 2 1 2 , 2 6 , 3 11 , 6 38
14 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 3 1 2 , 7 39 эквивалент мощности
14 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 3 1 2 , 7 39
8 2 4 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 2 1, 2 3 , 4 7 , 8 30
27 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 3 1 2 , 3, 9 30 эквивалент мощности
27 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 3 1 2 , 3, 9 30
10А 10 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 3 5 7 , 10 24
11А 11 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 11 25 эквивалент мощности
11Б 11 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 11 25
12А 12 2 5 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 1 1, 2 2 , 3 2 , 6 4 , 12 20
14А 14 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 1 2, 7 5 , 14 17 эквивалент мощности
14Б 14 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 1 2, 7 5 , 14 17
15А 30 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 2 5, 15 18 эквивалент мощности
15Б 30 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 2 5, 15 18
30А 30 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 0 5, 15 2 , 30 8 эквивалент мощности
30Б 30 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 0 5, 15 2 , 30 8

Обобщенный чудовищный самогон

[ редактировать ]

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона имеет вид и .

  1. ^ Конвей и др. (1985)
  2. ^ «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .
  3. ^ «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7094c965e84c93282655c19c84a70965__1715770740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/70/65/7094c965e84c93282655c19c84a70965.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
McLaughlin sporadic group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)