Группа Матье М ₂₃

В области современной алгебры , известной как теория групп , группа Матье M ₂₃ представляет собой спорадическую простую порядка группу

2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960

≈ 1 × 10 ⁷.

История и свойства

М ₂₃ — одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это 4-кратная транзитивная группа перестановок для 23 объектов. Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа

Милгрэм (2000) вычислил целые когомологии и показал, в частности, что M ₂₃ обладает необычным свойством: все первые четыре целые группы гомологий исчезают.

Обратная задача Галуа кажется нерешенной _{для M 23} . Другими словами, ни одного полинома из Z[ x по-видимому, не известно _{], который имел бы M 23} в качестве группы Галуа . Обратная задача Галуа решена для всех остальных спорадических простых групп.

Построение с использованием конечных полей

Пусть $F 211$ — конечное поле с 2 ¹¹ элементы. Его группа единиц имеет порядок $2. 11$ − 1 = 2047 = 23 · 89, поэтому она имеет циклическую подгруппу $C$ порядка 23.

Группу Матье M ₂₃ группой $F 2$ - линейных автоморфизмов F $можно отождествить с 211$ стабилизируют $C.$ которые Точнее, действие этой группы автоморфизмов на $C$ можно отождествить с 4-кратным транзитивным действием M ₂₃ на 23 объекта.

Представительства

M ₂₃ является точечным стабилизатором действия группы Матье M24 на 24 точках, что дает ей 4-транзитивное перестановочное представление на 23 точках с точечным стабилизатором группы Матье M22 .

М ₂₃ имеет 2 разных действия 3-го ранга по 253 очкам. Один — это действие на неупорядоченные пары с размерами орбит 1+42+210 и точечным стабилизатором M _21,2 , а другой — действие на гептады с размерами орбит 1+112+140 и точечным стабилизатором 2. ⁴.A ₇.

Интегральное представление, соответствующее действию перестановки в 23 точках, распадается на тривиальное представление и 22-мерное представление. 22-мерное представление неприводимо в любом поле характеристики , кроме 2 или 23.

Над полем порядка 2 оно имеет два 11-мерных представления — ограничения соответствующих представлений группы Матье M24 .

Максимальные подгруппы

Существует 7 классов сопряженности максимальных подгрупп M ₂₃ :

М ₂₂ , заказ 443520
PSL(3,4):2, порядок 40320, орбиты 21 и 2
2 ⁴:A ₇ , порядок 40320, орбиты 7 и 16.

Стабилизатор _{W 23} блока

А ₈ , порядок 20160, орбиты 8 и 15.
М ₁₁ , порядок 7920, орбиты 11 и 12
(2 ⁴:A ₅ ):S ₃ или M ₂₀ :S ₃ , порядка 5760, орбиты 3 и 20 (5 блоков по 4)

Одноточечный стабилизатор секстетной группы

23:11, порядок 253, просто переходный

Классы сопряженности

Заказ	Количество элементов	Структура цикла
1 = 1	1	1 ²³
2 = 2	3795 = 3 · 5 · 11 · 23	1 ⁷2 ⁸
3 = 3	56672 = 2 ⁵ · 7 · 11 · 23	1 ⁵3 ⁶
4 = 2 ²	318780 = 2 ² · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1 ³2 ²4 ⁴
5 = 5	680064 = 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	1 ³5 ⁴
6 = 2 · 3	850080 = 2 ⁵ · 3 · 5 · 7 · 11 · 23	1·2 ²3 ²6 ²
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ²7 ³	эквивалент мощности
7 = 7	728640 = 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ²7 ³	эквивалент мощности
8 = 2 ³	1275120 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1·2·4·8 ²
11 = 11	927360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	эквивалент мощности
11 = 11	927360= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 23	1·11 ²	эквивалент мощности
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	эквивалент мощности
14 = 2 · 7	728640= 2 ⁶ · 3 ² · 5 · 11 · 23	2·7·14	эквивалент мощности
15 = 3 · 5	680064= 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	эквивалент мощности
15 = 3 · 5	680064= 2 ⁷ · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	эквивалент мощности
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	эквивалент мощности
23 = 23	443520= 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11	23	эквивалент мощности

Ссылки

Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-65378-7
Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , МР 0075938
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрия (PDF)
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN. 978-0-387-94599-6 , МР 1409812
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Матье, Эмиль (1861), «Мемуары об изучении функций нескольких величин, о способах их формирования и о заменах, которые оставляют их неизменными» , Журнал чистой и прикладной математики , 6 : 241–323
Матье, Эмиль (1873), «О пятикратно транзитивной функции 24 величин» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01
Милгрэм, Р. Джеймс (2000), «Когомологии группы Матье M₂₃», Journal of Group Theory , 3 (1): 7–26, doi : 10.1515/jgth.2000.008 , ISSN 1433-5883 , MR 1736514
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Витт, Эрнст (1938a), «О системах Штейнера», статьи Математического семинара Гамбургского университета , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Витт, Эрнст (1938b), «5-кратные транзитивные группы Матье», статьи математического семинара Гамбургского университета , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Внешние ссылки