Группа Матье М ₂₄

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Матье M ₂₄ представляет собой спорадическую простую порядка группу

2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244823040

≈ 2 × 10 ⁸.

История и свойства

М ₂₄ — одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это 5-транзитивная группа перестановок из 24 объектов. Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа

Группы Матье могут быть построены различными способами. Первоначально Матье и другие построили их как группы перестановок . Трудно было увидеть, что М ₂₄ действительно существует, что ее генераторы не просто порождают знакопеременную группу А ₂₄ . Дело прояснилось, когда Эрнст Витт построил M ₂₄ как группу автоморфизмов (симметрий) S(5,8,24) -системы Штейнера W ₂₄ ( план Витта ). M ₂₄ — это группа перестановок, которые отображают каждый блок в этом проекте на какой-либо другой блок. Тогда подгруппы M ₂₃ и M ₂₂ легко определяются как стабилизаторы одной точки и пары точек соответственно.

Конструкция как группа перестановок

M ₂₄ — это подгруппа S ₂₄ , которая порождается тремя перестановками: ^[1]

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23)$
$(3,17,10,7,9)(4,13,14,19,5)(8,18,11,12,23)(15,20,22,21,16)$ и
$(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)(13,22)(15,19)$ .

M ₂₄ также может быть сгенерирован двумя перестановками: ^[2]

$(1,16,8,23,13,14,5)(2,7,11,19,20,24,12)(3,4,17,9,22,21,15)$ и
$(1,24)(2,21)(3,10)(4,22)(5,9)(6,23)(7,8)(11,18)(12,20)(13,14)(15,19)(16,17).$

М ₂₄ из ПСЛ(3,4)

M ₂₄ можно построить, исходя из PSL(3,4), проективной специальной линейной группы трехмерного пространства над конечным полем с 4 элементами ( Диксон и Мортимер 1996 , стр. 192–205). Эта группа, иногда называемая M ₂₁ , действует на проективной плоскости над полем F ₄ , системой S(2,5,21), называемой W ₂₁ . Его 21 блок называется линиями . Любые 2 прямые пересекаются в одной точке.

M ₂₁ имеет 168 простых подгрупп порядка 360 и 360 простых подгрупп порядка 168. В большей проективной общей линейной группе PGL(3,4) оба набора подгрупп образуют отдельные классы сопряженности, но в M ₂₁ оба множества распадаются на 3 класса сопряженности. . Подгруппы соответственно имеют орбиты из 6, называемые гиперовалами , и орбиты из 7, называемые подплоскостями Фано . Эти наборы позволяют создавать новые блоки для более крупных систем Steiner. M ₂₁ нормально в PGL(3,4) индекса 3. PGL(3,4) имеет внешний автоморфизм, индуцированный транспонированием сопряженных элементов в F ₄ (автоморфизм поля). Поэтому PGL(3,4) можно расширить до группы PΓL(3,4) проективных полулинейных преобразований , которая является расщепляемым расширением M ₂₁ с помощью симметрической группы S ₃ . PΓL(3,4) имеет вложение как максимальная подгруппа в M _24. ( Грисс 1998 , стр. 55)

У гиперовала нет трех точек, лежащих на одной прямой. Подплоскость Фано также удовлетворяет подходящим условиям единственности.

К W ₂₁ добавьте 3 новые точки и пусть автоморфизмы в PΓL(3,4), но не в M _21, переставляют эти новые точки. Система S(3,6,22) W ₂₂ формируется путем добавления всего одной новой точки к каждой из 21 прямой, а новые блоки представляют собой 56 гиперовалов, сопряженных относительно M ₂₁ .

Система S(5,8,24) будет иметь 759 блоков или октад . Добавьте все 3 новые точки к каждой линии W ₂₁ , другую новую точку к подплоскостям Фано в каждом из наборов из 120 и добавьте соответствующие пары новых точек ко всем гиперовалам. Это составляет все октады, кроме 210. Остальные октады являются подмножествами W ₂₁ и представляют собой симметричные разности пар линий. Существует много возможных способов расширить группу PΓL(3,4) до M ₂₄ .

Группа автоморфизмов кода Голея

Группа M24 _также перестановочных является группой автоморфизмов двоичного кода Голея W , т. е. группой перестановок координат, отображающих W в себя. Кодовые слова естественным образом соответствуют подмножествам набора из 24 объектов. (В теории кодирования термин «двоичный код Голея» часто относится к более короткому родственному коду длиной 23, а используемый здесь код длиной 24 называется «расширенным двоичным кодом Голея».) Эти подмножества, соответствующие кодовым словам с 8 или 12 координатами, равны до 1 называются октадами или додекадами соответственно. Октады представляют собой блоки системы Штейнера S(5,8,24), а двоичный код Голея представляет собой векторное пространство над полем F _{2 ,} охватываемое октадами системы Штейнера.

Простые подгруппы M ₂₃ , M ₂₂ , M ₁₂ и M ₁₁ могут быть определены как подгруппы M ₂₄ , стабилизаторы соответственно одной координаты, упорядоченной пары координат, додекады и додекады вместе с одной координатой.

Существует естественная связь между группами Матье и более крупными группами Конвея , поскольку двоичный код Голея и решетка Лича лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстра . Роберт Грисс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в Монстре, счастливой семьей , а группы Матье - первым поколением .

Полиэдральные симметрии

M ₂₄ можно построить, исходя из симметрии квартики Клейна (симметрии мозаики поверхности рода три), которая есть PSL(2,7), которую можно дополнить дополнительной перестановкой. Эту перестановку можно описать, начиная с разбиения квартики Клейна на 56 треугольников (с 24 вершинами – 24 точками, на которые действует группа), затем формируя квадраты из некоторых из двух треугольников и восьмиугольники из 6 треугольников. с добавленной перестановкой «поменять местами две конечные точки тех ребер исходной треугольной мозаики, которые делят пополам квадраты и восьмиугольники». ^[2] Это можно визуализировать, раскрасив треугольники – соответствующая мозаика топологически, но не геометрически является мозаикой t _0,1 {4, 3, 3} и может быть (многогранно) погружена в евклидово 3-пространство как маленький кубооктаэдр (который также имеет 24 вершины). ^[2]

Приложения

Теория теневого самогона представляет собой частично предположительную связь между поверхностями К3 и М ₂₄ .

Группа Конвея Co1 , группа Фишера Fi24 и группа Янко J4 каждая имеют максимальные подгруппы, которые являются расширением группы Матье M24 _с помощью группы 2 ¹¹. (Эти расширения не все одинаковы.) ^{[ нужна ссылка ]}

Представительства

Фробениус (1904) рассчитал таблицу комплексных признаков М ₂₄ .

Группа Матье M ₂₄ имеет 5-кратное транзитивное представление перестановок в 24 точках. Соответствующее линейное представление над комплексными числами представляет собой сумму тривиального представления и 23-мерного неприводимого представления. ^{[ нужна ссылка ]}

M ₂₄ имеет два представления перестановок ранга 3 : одно на 276 = 1+44+231 парах точек (или дуад) со стабилизатором M ₂₂ .2 и одно на 1288 = 1+495+792 дуадах со стабилизатором M _12. .2. ^{[ нужна ссылка ]}

Фактор 24-мерного линейного представления представления перестановки по его 1-мерному фиксированному подпространству дает 23-мерное представление, которое неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 3, и дает наименьшее точное представление над такими полями. ^{[ нужна ссылка ]}

Сокращение 24-мерного представления по модулю 2 дает действие на F ²⁴
₂ . Оно имеет инвариантные подпространства размерности 1, 12 (код Голея) и 23. Подфакторы дают два неприводимых представления размерности 11 над полем с двумя элементами. ^{[ нужна ссылка ]}

Максимальные подгруппы

Чой (1972b) нашел 9 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M ₂₄ . Кертис (1977) дал краткое доказательство результата, описав 9 классов с точки зрения комбинаторных данных о 24 точках: подгруппы фиксируют точку, дуаду, октаду, дуум, секстет, триаду, трио, проективную линию или октерну. как описано ниже. Тодд (1966) привел таблицы характеров М ₂₄ (первоначально рассчитанные Фробениусом (1904) ) и 8 максимальных подгрупп, которые были известны в то время.

M ₂₄ содержит неабелевы простые подгруппы 13 типов изоморфизма: пять классов A ₅ , четыре класса PSL(3,2), два класса A ₆ , два класса PSL(2,11), по одному классу A ₇ , PSL(2,23), M11 _, PSL(3,4), _A8 , _M12 , _M22 , _M23 и _M24 . ^{[ нужна ссылка ]} Цифра ₆ также отмечена ниже как подчастное в подгруппе секстета.

Группа Матье действует на 2048 = 1+759+1288 точек кода Голея по модулю фиксированного пространства с 3 орбитами и на 4096 = 1+24+276+2024+1771 точках кодода с 5 орбитами, а подгруппы, фиксирующие нетривиальную точку кода или кокода, дают 6 из 9 классов максимальных подгрупп.

Девять классов максимальных подгрупп следующие:

Подгруппа точек

Подгруппа, фиксирующая точку, — М ₂₃ , номер 10200960.

Подгруппа Дуада

Дуада – это пара очков. Подгруппа, фиксирующая дуаду, - это М ₂₂ :2, порядок 887040, с орбитами 2 и 22.

Подгруппа октадов

Подгруппа, фиксирующая одну из 759 (= 3·11·23) октад кода Голея или системы Штейнера, представляет собой группу октад. 2 ⁴:A ₈ порядка 322560, с орбитами размера 8 и 16. Линейная группа GL(4,2) обладает исключительным изоморфизмом знакопеременной группы A ₈ . Поточечный стабилизатор O октады представляет собой абелеву группу порядка 16, показатель степени 2, каждая из инволюций которой перемещает все 16 точек за пределы октады. Стабилизатор октады представляет собой расщепленное расширение О посредством _А8 . ( Томпсон 1983 , стр. 197–208)

Две подгруппы

Дуум — это пара дополнительных додекад (наборов из 12 точек) в коде Голея. Подгруппа, фиксирующая дуаду, - это М ₁₂ :2, порядок 190080, переходный и импримитивный. Эта подгруппа была открыта Фробениусом. Подгруппа M ₁₂ действует по-разному на 2 наборах из 12, отражая внешний автоморфизм M ₁₂ .

Секстетная подгруппа

2 ⁶:(3.S ₆ ), порядок 138240: секстетная группа

Рассмотрим тетраду , любой набор из 4 точек в системе Штейнера W ₂₄ . Октада определяется выбором пятой точки из оставшихся 20. Всего возможно 5 октад. Следовательно, любая тетрада определяет разбиение на 6 тетрад, называемых секстетом , стабилизатор которого в М ₂₄ называется секстетной группой .

Общее количество тетрад 24*23*22*21/4! = 23*22*21. Разделив это на 6, получим количество секстетов: 23*11*7 = 1771. Более того, группа секстетов является подгруппой сплетения порядка 6!*(4!) ⁶, у которого единственные простые делители равны 2, 3 и 5. ^{[ нужна ссылка ]} Теперь мы знаем простые делители числа |M ₂₄ |. Дальнейший анализ позволит определить порядок группы секстета и, следовательно, |M ₂₄ |.

Удобно расположить 24 точки в массиве 6х4:

ЭИМКУ

БФЖНРВ

ЦГКОСВ

ДХЛПТХ

удобно использовать элементы поля F _{4 : 0, 1, u, u}При этом для нумерации строк ².

Секстетная группа имеет нормальную абелеву подгруппу H порядка 64, изоморфную гексакоду , векторное пространство длины 6 и размерности 3 над F ₄ . Ненулевой элемент в H выполняет двойное транспонирование в пределах 4 или 6 столбцов. Его действие можно представить как добавление координат вектора к номерам строк.

Группа секстета представляет собой расщепленное расширение H группой 3.S ₆ ( расширение основы ). ^{[ нужна ссылка ]} Вот пример внутри групп Матье, где простая группа (A ₆ ) является подфактором , а не подгруппой. 3.S ₆ — нормализатор в M ₂₄ подгруппы, порожденной r =(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX), который можно рассматривать как умножение номеров строк на u ². Подгруппа ₆ является централизатором ⟨r⟩ . 3.A Генераторы 3.А ₆ :

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (чередование первых трех столбцов)

(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW)

(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (произведение двух предыдущих)

(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (поворот последних 3 столбцов).

Нечетная перестановка столбцов, скажем (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), затем порождает 3.S ₆ .

Группа 3.A6 _{изоморфна} подгруппе группы SL(3,4), образ которой в PSL(3,4) отмечен. ^{[ кем? ]} выше как гиперовальная группа.

В апплете Moggie есть функция, отображающая секстеты в цвете.

Подгруппа триады

Триада – это набор из 3 точек. Подгруппа, фиксирующая триаду, – это PSL(3,4):S ₃ , порядка 120960, с орбитами размера 3 и 21.

Подгруппа трио

Трио — это набор из трёх непересекающихся октад кода Голея. Подгруппа, фиксирующая трио, — это группа трио.2 ⁶:(PSL(2,7) x S ₃ ), порядок 64512, транзитивный и импримитивный.

Подгруппа проективных линий

Подгруппа, фиксирующая проективную линейную структуру по 24 точкам, равнаPSL(2,23), порядок 6072, действие которого дважды транзитивно. Эту подгруппу наблюдал Матье.

Октернская подгруппа

Октерна — это определенное разбиение 24 точек на 8 блоков по 3. Подгруппа, фиксирующая октерну, — это группа октеров, изоморфная PSL(2,7), порядка 168, простая, транзитивная и импримитивная.Это была последняя _{максимальная подгруппа M 24} найденная .

Классы сопряженности

Существует 26 классов сопряженности. Все формы циклов сбалансированы в том смысле, что они остаются инвариантными при изменении длины k циклов на длину N / k циклов для некоторого целого числа N, зависящего ^{[ как? ]} по классу сопряженности.

Заказ	Количество элементов	Структура цикла
1 = 1	1	1 ²⁴
2 = 2	11385 = 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ⁸2 ⁸
2 = 2	31878 = 2 · 3 ² · 7 · 11 · 23	2 ¹²
3 = 3	226688 = 2 ⁷ · 7 · 11 · 23	1 ⁶3 ⁶
3 = 3	485760 = 2 ⁷ · 3 · 5 · 11 · 23	3 ⁸
4 = 2 ²	637560 = 2 ³ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	2 ⁴4 ⁴
	1912680 = 2 ³ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23	1 ⁴2 ²4 ⁴
	2550240 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	4 ⁶
5 = 5	4080384 = 2 ⁸ · 3 ³ · 7 · 11 · 23	1 ⁴5 ⁴
6 = 2 · 3	10200960 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	1 ²2 ²3 ²6 ²
6 = 2 · 3	10200960 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	6 ⁴
7 = 7	5829120 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ³7 ³	эквивалент мощности
7 = 7	5829120 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 · 11 · 23	1 ³7 ³	эквивалент мощности
8 = 2 ³	15301440 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 · 23	1 ²2·4·8 ²
10 = 2 · 5	12241152 = 2 ⁸ · 3 ³ · 7 · 11 · 23	2 ²10 ²
11 = 11	22256640 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 23	1 ²11 ²
12 = 2 ² · 3	20401920 = 2 ⁸ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	2 ·4·6·12
12 = 2 ² · 3	20401920 = 2 ⁸ · 3 ² · 5 · 7 · 11 · 23	12 ²
14 = 2 · 7	17487360 = 2 ⁹ · 3 ³ · 5 · 11 · 23	1·2·7·14	эквивалент мощности
14 = 2 · 7	17487360 = 2 ⁹ · 3 ³ · 5 · 11 · 23	1·2·7·14	эквивалент мощности
15 = 3 · 5	16321536 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 7 · 11 · 23	1·3·5·15	эквивалент мощности
15 = 3 · 5	16321536 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 7 · 11 · 23	1·3·5·15	эквивалент мощности
21 = 3 · 7	11658240 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 5 · 11 · 23	3·21	эквивалент мощности
21 = 3 · 7	11658240 = 2 ¹⁰ · 3 ² · 5 · 11 · 23	3·21	эквивалент мощности
23 = 23	10644480 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11	1·23	эквивалент мощности
23 = 23	10644480 = 2 ¹⁰ · 3 ³ · 5 · 7 · 11	1·23	эквивалент мощности

Ссылки

^ M24 в Groupprops
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Рихтер, Дэвид. «Как сделать группу Матье М ₂₄ » . Дэвид А. Рихтер, доцент, политополог .

Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-65378-7
Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], «Введение в теорию групп конечного порядка» , Nature , 78 (2028), Нью-Йорк: Dover Publications : 442–443, Bibcode : 1908Natur..78..442G , doi : 10.1038/078442a0 , ISBN 978-0-486-60300-1 , МР 0075938
Чой, К. (май 1972а), «О подгруппах M _24. I: стабилизаторы подмножеств», Transactions of the American Mathematical Society , 167 : 1–27, doi : 10.2307/1996123 , JSTOR 1996123
Чой, К. (май 1972b). «О подгруппах М ₂₄ . II: Максимальные подгруппы М ₂₄ ». Труды Американского математического общества . 167 : 29–47. дои : 10.2307/1996124 . JSTOR 1996124 .
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), «Упаковки сфер, решетки и группы» , Журнал кристаллографии , Basic Teachings of Mathematical Sciences, 290 (3–4) (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag : 286, Бибкод : 1990ZK....191..286F , doi : 10.1524/zkri.1990.191.3-4.286 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Кертис, Роберт Т. (1976), «Новый комбинаторный подход к M ₂₄ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (1): 25–42, Бибкод : 1976MPCPS..79...25C , doi : 10.1017 /S0305004100052075 , ISSN 0305-0041 , MR 0399247 , S2CID 122860631
Кертис, Роберт Т. (1977), «Максимальные подгруппы M ₂₄ », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 81 (2): 185–192, Bibcode : 1977MPCPS..81..185C , doi : 10.1017/S0305004100053251 , ISSN 0305-0041 , MR 0439926 , S2CID 121021430
Кертис, Роберт Т. (2007), Симметричное поколение групп , Энциклопедия математики, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-85721-5
Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрия (PDF)
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN. 978-0-387-94599-6 , МР 1409812
Фробениус, Фердинанд Георг (1904), «О характерах кратных транзитивных групп», Труды Королевской прусской академии наук (на немецком языке), 16 , Королевская академия наук, Берлин: 558–571, перепечатано в томе III из его собрания сочинений.
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Матье, Эмиль (1861), «Мемуары об изучении функций нескольких величин, о способах их формирования и о заменах, которые оставляют их неизменными» , Журнал чистой и прикладной математики , 6 : 241–323
Матье, Эмиль (1873), «О пятикратно транзитивной функции 24 величин» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01
Миллер, Г. А. (1898), «О предполагаемой пятикратной транзитивной функции из 24 элементов и 19!/48 значений» , Вестник математики , 27 : 187–190.
Миллер, Джорджия (1900), «О нескольких простых группах» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 28 : 266–267, doi : 10.24033/bsmf.635
Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Оксфорд, ISBN 978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионала, описывающее группы Матье в историческом контексте)
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Тодд, Дж. А. (1966), «Представление группы Матье M ₂₄ как группы коллинеации», Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 71 : 199–238, doi : 10.1007/BF02413742 , ISSN 0003-4622 , MR 0202854 , S2CID 119392616
Витт, Эрнст (1938a), «О системах Штейнера», статьи Математического семинара Гамбургского университета , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Витт, Эрнст (1938b), «5-кратные транзитивные группы Матье», статьи математического семинара Гамбургского университета , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Внешние ссылки

MathWorld: группы Матье
Атлас представлений конечных групп: M ₂₄
Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M ₂₄ , получено 15 апреля 2010 г.

[1] M24 в Groupprops

[richter-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Рихтер, Дэвид. «Как сделать группу Матье М ₂₄ » . Дэвид А. Рихтер, доцент, политополог .

[1]

[2]