Группа Конвея Ко ₁

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Конвея Co ₁ представляет собой спорадическую простую порядка группу

4,157,776,806,543,360,000

= 2 ²¹ · 3 ⁹ · 5 ⁴ · 7 ² · 11 · 13 · 23

≈ 4 × 10 ¹⁸.

История и свойства

Co ₁ — одна из 26 спорадических групп, открытая Джоном Хортоном Конвеем в 1968 году. Это самая большая из трех спорадических групп Конвея, и ее можно получить как фактор Co ₀ ( группы автоморфизмов решетки Лича Λ, фиксирующих начало координат) по его центру , состоящему из скалярных матриц ±1. Он также появляется на вершине группы автоморфизмов четной 26-мерной унимодулярной решетки II _25,1 . Некоторые довольно загадочные комментарии в собрании сочинений Витта предполагают, что он нашел решетку Лича и, возможно, порядок ее группы автоморфизмов в неопубликованной работе в 1940 году.

Внешняя группа автоморфизмов тривиальна, а мультипликатор Шура имеет порядок 2.

Инволюции

Со ₀ имеет 4 класса сопряженности инволюций; они коллапсируют до 2 в Co ₁ есть 4-элементы _{, но в Co 0} , которые соответствуют третьему классу инволюций в Co ₁ .

Образ додекады имеет централизатор 2-го типа. ¹¹:M ₁₂ :2, содержащийся в максимальной подгруппе типа 2 ¹¹:М ₂₄ .

Образ октады или 16-множества имеет централизатор вида 2. ¹⁺⁸.THE ⁺
₈ (2) — максимальная подгруппа.

Представительства

Наименьшее точное перестановочное представление Co ₁ находится на 98280 парах { v , – v } векторов нормы 4.

Над полем имеется матричное представление размерности 24. $\mathbb {F} _{2}$ .

Централизатор инволюции типа 2Б в группе монстров имеет вид 2 ¹⁺²⁴Ко ₁ .

Диаграмма Дынкина четной лоренцевой унимодулярной решетки II _1,25 изометрична (аффинной) решетке Лича Λ, поэтому группа автоморфизмов диаграммы является расщепляемым расширением Λ,Co ₀ аффинных изометрий решетки Лича.

Максимальные подгруппы

Уилсон (1983) нашел 22 класса сопряженности максимальных подгрупп Co ₁ , хотя в этом списке были некоторые ошибки, исправленные Уилсоном (1988) .

Максимальные подгруппы *Co ₁*
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	Со ₂	42,305,421,312,000 = 2 ¹⁸·3 ⁶·5 ³·7·11·23
2	3. Сьюз :2	2,690,072,985,600 = 2 ¹⁴·3 ⁸·5 ²·7·11·13	подъем до Aut(Λ) = Co ₀ фиксирует комплексную структуру или превращает ее в комплексно-сопряженную структуру; также вершина цепи Suzuki
3	2 ¹¹: М ₂₄	501,397,585,920 = 2 ²¹·3 ³·5·7·11·23	образ мономиальной подгруппы из Aut(Λ), этой подгруппы, стабилизирующей стандартный репер из 48 векторов вида (±8,0 ²³)
4	Co_Со3	495,766,656,000 = 2 ¹⁰·3 ⁷·5 ³·7·11·23
5	2 ¹⁺⁸.THE ⁺ ₈(2)	89,181,388,800 = 2 ²¹·3 ⁵·5 ²·7	централизатор инволюции класса 2А (образ октады из Aut(Λ))
6	Fi ₂₁ :S ₃ ≈ U ₆ (2):S ₃	55,180,984,320 = 2 ¹⁶·3 ⁷·5·7·11	подъем на Aut(Λ) — это группа симметрии компланарного шестиугольника из 6 типа 2 точек
7	(А ₄ × Г ₂ (4)):2	6,038,323,200 = 2 ¹⁵·3 ⁴·5 ²·7·13	в сети Сузуки
8	2 ²⁺¹²:(А ₈ х S ₃ )	1,981,808,640 = 2 ²¹·3 ³·5·7
9	2 ⁴⁺¹².(S ₃ × 3.S ₆ )	849,346,560 = 2 ²¹·3 ⁴·5
10	3 ².У ₄ (3).Д ₈	235,146,240 = 2 ¹⁰·3 ⁸·5·7
11	3 ⁶:2. М ₁₂	138,568,320 = 2 ⁷·3 ⁹·5·11	голоморф троичного кода Голея
12	(А ₅ × J ₂ ):2	72,576,000 = 2 ¹⁰·3 ⁴·5 ³·7	в сети Сузуки
13	3 ¹⁺⁴:2.S ₄ (3).2	25,194,240 = 2 ⁸·3 ⁹·5
14	(А ₆ х U ₃ (3)).2	4,354,560 = 2 ⁹·3 ⁵·5·7	в сети Сузуки
15	3 ³⁺⁴:2.( _S4 × _S4 )	2,519,424 = 2 ⁷·3 ⁹
16	А ₉ х С ₃	1,088,640 = 2 ⁷·3 ⁵·5·7	в сети Сузуки
17	(А ₇ х Д ₂ (7)):2	846,720 = 2 ⁷·3 ³·5·7 ²	в сети Сузуки
18	(Д ₁₀ х (А ₅ х А ₅ ).2).2	144,000 = 2 ⁷·3 ²·5 ³
19	5 ¹⁺²:ГЛ ₂ (5)	60,000 = 2 ⁵·3·5 ⁴
20	5 ³:(4 х А ₅ ).2	60,000 = 2 ⁵·3·5 ⁴
21	7 ²:(3 × 2.S ₄ )	3,528 = 2 ³·3 ²·7 ²
22	5 ²:2А ₅	3,000 = 2 ³·3·5 ³

Ссылки

Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
Брауэр, Р .; Сах, Чи-хан, ред. (1969), Теория конечных групп: симпозиум , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, MR 0240186
Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8 315 553 613 086 720 000», Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Уилсон, Роберт А. (1983), «Максимальные подгруппы группы Конвея Co₁», Journal of Algebra , 85 (1): 144–165, doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 , ISSN 0021-8693 , МР 0723071
Уилсон, Роберт А. (1988), «О 3-локальных подгруппах группы Конвея Co₁», Journal of Algebra , 113 (1): 261–262, doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 , ISSN 0021-8693 , МР 0928064
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012

Внешние ссылки

MathWorld: группы Конвея
Атлас представлений конечных групп: Co ₁ , версия 2
Атлас представлений конечных групп: Co ₁ , версия 3