Группа Конвея Ко ₃

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Конвея $\mathrm {Co} _{3}$ представляет собой спорадическую простую порядка группу

495,766,656,000

= 2 ¹⁰ · 3 ⁷ · 5 ³ · 7 · 11 · 23

≈ 5 × 10 ¹¹.

История и свойства

$\mathrm {Co} _{3}$ является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джоном Хортоном Конвеем ( 1968 , 1969 ) как группа автоморфизмов . решетки Лича $\Lambda$ фиксируя вектор решетки типа 3, таким образом, длина √ 6 . Таким образом, это подгруппа $\mathrm {Co} _{0}$ . Она изоморфна подгруппе $\mathrm {Co} _{1}$ . Прямой продукт $2\times \mathrm {Co} _{3}$ является максимальным в $\mathrm {Co} _{0}$ .

Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа

Представительства

Co ₃ действует на единственной 23-мерной четной решетке определителя 4 без корней, заданной ортогональным дополнением вектора нормы 4 решетки Лича. Это дает 23-мерное представление любого поля; над полями характеристики 2 или 3 это можно свести к 22-мерному точному представлению.

Co ₃ имеет дважды транзитивное представление перестановок в 276 точках.

Уолтер Фейт ( 1974 ) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится либо в $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{2}$ или $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{3}$ .

Максимальные подгруппы

Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают двумерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяются треугольниками hkl : треугольниками, включающими начало координат в качестве вершины, а ребра (разности вершин) являются векторами типов h , k и l .

Ларри Финкельштейн ( 1973 ) нашел 14 классов сопряженности максимальных подгрупп группы. $\mathrm {Co} _{3}$ следующее:

Максимальные подгруппы *Co ₃*
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	МакЛ :2	1,796,256,000 = 2 ⁸·3 ⁶·5 ³·7·11	McL фиксирует треугольник 2-2-3. В максимальную подгруппу входят также отражения треугольника. $\mathrm {Co} _{3}$ имеет дважды транзитивное представление перестановки на 276 треугольниках типа 2-2-3, имеющих в качестве ребра вектор типа 3, фиксированный $\mathrm {Co} _{3}$ .
2	HS	44,352,000 = 2 ⁹·3 ²·5 ³·7·11	исправляет треугольник 2-3-3
3	У ₄ (3).2 ²	13,063,680 = 2 ⁹·3 ⁶·5·7
4	М ₂₃	10,200,960 = 2 ⁷·3 ²·5·7·11·23	исправляет треугольник 2-3-4
5	3 ⁵:(2 × М ₁₁ )	3,849,120 = 2 ⁵·3 ⁷·5·11	фиксирует или отражает треугольник 3-3-3
6	2 ^·Сп ₆ (2)	2,903,040 = 2 ¹⁰·3 ⁴·5·7	централизатор инволюции класса 2А (след 8), перемещающий 240 из 276 треугольников типа 2-2-3
7	U3 _: (5) _S3	756,000 = 2 ⁵·3 ³·5 ³·7
8	3 ¹⁺⁴ ₊ :4S ₆	699,840 = 2 ⁶·3 ⁷·5	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А)
9	2 ⁴^·А ₈	322,560 = 2 ¹⁰·3 ²·5·7
10	PSL(3,4):(2 × _S3 )	241,920 = 2 ⁸·3 ³·5·7
11	2 × М ₁₂	190,080 = 2 ⁷·3 ³·5·11	централизатор инволюции класса 2В (след 0), перемещающий 264 из 276 треугольников типа 2-2-3
12	[2 ¹⁰.3 ³]	27,648 = 2 ¹⁰·3 ³
13	С ₃ × ПСЛ(2,8):3	9,072 = 2 ⁴·3 ⁴·7	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3C, след 0)
14	А ₄ × С ₅	1,440 = 2 ⁵·3 ²·5

Классы сопряженности

следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co _{3 .}Показаны ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^[2]^[3]Перечисленные циклические структуры действуют на 276 треугольников 2-2-3, которые имеют общую сторону фиксированного типа 3. ^[4]

Сорт	Заказ центратора	Размер класса	След	Тип цикла
1А	все Со ₃	1	24
2А	2,903,040	3 ³·5 ²·11·23	8	1 ³⁶,2 ¹²⁰
2Б	190,080	2 ³·3 ⁴·5 ²·7·23	0	1 ¹²,2 ¹³²
3А	349,920	2 ⁵·5 ²·7·11·23	-3	1 ⁶,3 ⁹⁰
3Б	29,160	2 ⁷·3·5 ²·7·11·23	6	1 ¹⁵,3 ⁸⁷
3С	4,536	2 ⁷·3 ³·5 ³·11·23	0	3 ⁹²
4А	23,040	2·3 ⁵·5 ²·7·11·23	-4	1 ¹⁶,2 ¹⁰,4 ⁶⁰
4Б	1,536	2·3 ⁶·5 ³·7·11·23	4	1 ⁸,2 ¹⁴,4 ⁶⁰
5А	1500	2 ⁸·3 ⁶·7·11·23	-1	1,5 ⁵⁵
5Б	300	2 ⁸·3 ⁶·5·7·11·23	4	1 ⁶,5 ⁵⁴
6А	4,320	2 ⁵·3 ⁴·5 ²·7·11·23	5	1 ⁶,3 ¹⁰,6 ⁴⁰
6Б	1,296	2 ⁶·3 ³·5 ³·7·11·23	-1	2 ³,3 ¹²,6 ³⁹
6С	216	2 ⁷·3 ⁴·5 ³·7·11·23	2	1 ³,2 ⁶,3 ¹¹,6 ³⁸
6Д	108	2 ⁸·3 ⁴·5 ³·7·11·23	0	1 ³,2 ⁶,3 ³,6 ⁴²
6Е	72	2 ⁷·3 ⁵·5 ³·7·11·23	0	3 ⁴,6 ⁴⁴
7А	42	2 ⁹·3 ⁶·5 ³·11·23	3	1 ³,7 ³⁹
8А	192	2 ⁴·3 ⁶·5 ³·7·11·23	2	1 ²,2 ³,4 ⁷,8 ³⁰
8Б	192	2 ⁴·3 ⁶·5 ³·7·11·23	-2	1 ⁶,2,4 ⁷,8 ³⁰
8С	32	2 ⁵·3 ⁷·5 ³·7·11·23	2	1 ²,2 ³,4 ⁷,8 ³⁰
9А	162	2 ⁹·3 ³·5 ³·7·11·23	0	3 ²,9 ³⁰
9Б	81	2 ¹⁰·3 ³·5 ³·7·11·23	3	1 ³,3,9 ³⁰
10А	60	2 ⁸·3 ⁶·5 ²·7·11·23	3	1,5 ⁷,10 ²⁴
10Б	20	2 ⁸·3 ⁷·5 ²·7·11·23	0	1 ²,2 ²,5 ²,10 ²⁶
11А	22	2 ⁹·3 ⁷·5 ³·7·23	2	1,11 ²⁵	эквивалент мощности
11Б	22	2 ⁹·3 ⁷·5 ³·7·23	2	1,11 ²⁵	эквивалент мощности
12А	144	2 ⁶·3 ⁵·5 ³·7·11·23	-1	1 ⁴,2,3 ⁴,6 ³,12 ²⁰
12Б	48	2 ⁶·3 ⁶·5 ³·7·11·23	1	1 ²,2 ²,3 ²,6 ⁴,12 ²⁰
12С	36	2 ⁸·3 ⁵·5 ³·7·11·23	2	1,2,3 ⁵,4 ³,6 ³,12 ¹⁹
14А	14	2 ⁹·3 ⁷·5 ³·11·23	1	1,2,7 ⁵14 ¹⁷
15А	15	2 ¹⁰·3 ⁶·5 ²·7·11·23	2	1,5,15 ¹⁸
15Б	30	2 ⁹·3 ⁶·5 ²·7·11·23	1	3 ²,5 ³,15 ¹⁷
18А	18	2 ⁹·3 ⁵·5 ³·7·11·23	2	6,9 ⁴,18 ¹³
20А	20	2 ⁸·3 ⁷·5 ²·7·11·23	1	1,5 ³,10 ²,20 ¹²	эквивалент мощности
20Б	20	2 ⁸·3 ⁷·5 ²·7·11·23	1	1,5 ³,10 ²,20 ¹²	эквивалент мощности
21А	21	2 ¹⁰·3 ⁶·5 ³·11·23	0	3,21 ¹³
22А	22	2 ⁹·3 ⁷·5 ³·7·23	0	1,11,22 ¹²	эквивалент мощности
22Б	22	2 ⁹·3 ⁷·5 ³·7·23	0	1,11,22 ¹²	эквивалент мощности
23А	23	2 ¹⁰·3 ⁷·5 ³·7·11	1	23 ¹²	эквивалент мощности
23Б	23	2 ¹⁰·3 ⁷·5 ³·7·11	1	23 ¹²	эквивалент мощности
24А	24	2 ⁷·3 ⁶·5 ³·7·11·23	-1	1 ²4,6,12 ²24 ¹⁰
24Б	24	2 ⁷·3 ⁶·5 ³·7·11·23	1	2,3 ²,4,12 ²,24 ¹⁰
30А	30	2 ⁹·3 ⁶·5 ²·7·11·23	0	1,5,15 ²,30 ⁸

Обобщенный чудовищный самогон

По аналогии с чудовищным самогоном для монстра М , для Со ₃ соответствующий ряд Маккея-Томпсона имеет вид $T_{4A}(\tau )$ где можно установить постоянный член a(0) = 24 ( OEIS : A097340 ),

{\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&={\Big (}{\tfrac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}{\Big )}^{24}\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}{\big )}^{4}+4^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{4}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Ссылки

^ Конвей и др. (1985)
^ «АТЛАС: Группа Конвея Co3» .
^ «АТЛАС: Группа Конвея Co1» .
^ «ATLAS: Co3 — Представление перестановок по 276 точкам» .

Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
Конвей, Джон Хортон (1969), «Группа порядка 8 315 553 613 086 720 000», Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Фейт, Уолтер (1974), «Об интегральных представлениях конечных групп», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 29 (4): 633–683, doi : 10.1112/plms/s3-29.4.633 , ISSN 0024- 6115 , МР 0374248
Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C ₃ и группы Маклафлина», Journal of Algebra , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN 0021-8693 , МР 0346046
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012

Внешние ссылки

MathWorld: группы Конвея
Атлас представлений конечных групп: Co ₃ , версия 2
Атлас представлений конечных групп: Co ₃ , версия 3

[1] Конвей и др. (1985)

[2] «АТЛАС: Группа Конвея Co3» .

[3] «АТЛАС: Группа Конвея Co1» .

[4] «ATLAS: Co3 — Представление перестановок по 276 точкам» .

[1]

[2]

[3]

[4]