II 25,1
В математике II 25,1 — четная 26-мерная лоренцева унимодулярная решетка . Он обладает несколькими необычными свойствами, возникшими в результате открытия Конвея с нулевой нормой того, что он имеет вектор Вейля . В частности, она тесно связана с решеткой Лича Λ и имеет группу Конвея Co1 на вершине своей группы автоморфизмов .
Строительство
[ редактировать ]Напишите Р м , н для m + n -мерного векторного пространства Р м + н с внутренним продуктом ( a 1 ,..., a m + n ) и ( b 1 ,..., b m + n ), заданные формулами
- а 1 б 1 +...+ а м б м - а м +1 б м +1 - ... - а м + п б м + п .
Решетка II 25,1 задается всеми векторами ( a 1 ,..., a 26 )в Р 25,1 такие, что либо все a i являются целыми числами, либо все они являются целыми числамиплюс 1/2, и их сумма четная.
Группа отражения
[ редактировать ]Решетка II 25,1 изоморфна Λ⊕H, где:
- Λ – решетка Лича ,
- H — двумерная четная лоренцева решетка, порожденная двумя векторами нормы 0 z и w со скалярным произведением –1,
и оба слагаемых ортогональны. Таким образом, мы можем записать векторы из II 25,1 как (λ, m , n ) = λ+ mz + nw с λ в Λ и m , n целыми числами, где (λ, m , n ) имеет норму λ 2 –2 мин . Чтобы явно указать изоморфизм, пусть , и , так что подпространство созданный и — двумерная четная лоренцева решетка. Затем изоморфен и мы восстанавливаем одно из определений Λ.
Конвей показал, что корни (векторы нормы 2), имеющие скалярное произведение –1 с w = (0,0,1), являются простыми корнями группы отражений. Это векторы (λ,1,λ 2 /2–1) для λ в решетке Лича. Другими словами, простые корни можно отождествить с точками решетки Лича, причем это изометрия множества простых корней решетке Лича.
Группа отражений — это гиперболическая группа отражений, действующая в 25-мерном гиперболическом пространстве .Фундаментальная область группы отражений имеет 1+23+284 орбиты вершин следующим образом:
- Одна вершина на бесконечности, соответствующая вектору Вейля нормы 0.
- 23 орбиты вершин на бесконечности, встречающих конечное число граней фундаментальной области. Эти вершины соответствуют глубоким дырам решетки Лича, и существует 23 их орбиты, соответствующие 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича. Простые корни, встречающие одну из этих вершин, образуют аффинную диаграмму Дынкина ранга 24.
- 284 орбиты вершин в гиперболическом пространстве. Они соответствуют 284 орбитам мелких дырок решетки Лича. Простые корни, встречающие любую из этих вершин, образуют сферическую диаграмму Дынкина ранга 25.
Группа автоморфизмов
[ редактировать ]Конвей (1983) описал группу автоморфизмов Aut(II 25,1 ) группы II 25,1 следующим образом.
- Прежде всего, Aut(II 25,1 ) является произведением группы порядка 2, порожденной –1, на подгруппу Aut индекса 2. + (II 25,1 ) автоморфизмов, сохраняющих направление времени.
- Группа Аут + (II 25,1 ) имеет нормальную подгруппу Ref, порожденную ее отражениями, простые корни которой соответствуют векторам решетки Лича.
- Группа Аут + (II 25,1 )/Ref изоморфна группе аффинных автоморфизмов решетки Лича Λ и поэтому имеет нормальную подгруппу сдвигов, изоморфную Λ= Z 24 , а фактор изоморфен группе всех автоморфизмов решетки Лича, которая является двойным накрытием группы Конвея Co 1 , спорадической простой группы.
Векторы
[ редактировать ]Каждый ненулевой вектор из II 25,1 можно однозначно записать как целое положительное число, кратное примитивному вектору, поэтому для классификации всех векторов достаточно классифицировать примитивные векторы.
Положительные векторы нормы
[ редактировать ]Любые два примитивных вектора положительной нормы с одинаковой нормой сопряжены относительно группы автоморфизмов.
Нормированные нулевые векторы
[ редактировать ]Существует 24 орбиты примитивных векторов нормы 0, соответствующих 24 решеткам Нимейера . Соответствие задается следующим образом: если z — вектор нормы 0, то решетка z ⊥ / z — 24-мерная четная унимодулярная решетка и, следовательно, является одной из решеток Нимейера.
Решетка Нимейера, соответствующая вектору Вейля нормы 0 группы отражений II 25,1, является решеткой Лича.
Норма –2 вектора
[ редактировать ]Существует 121 орбита векторов v нормы –2, соответствующих 121 классу изоморфизма 25-мерных четных решеток L определителя 2. В этом соответствии решетка L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .
Норма –4 вектора
[ редактировать ]Существует 665 орбит векторов v нормы –4, соответствующих 665 классам изоморфизма 25-мерных унимодулярных решеток L . В этом соответствии подрешетка индекса 2 четных векторов решетки L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .
Другие векторы
[ редактировать ]Существуют аналогичные, но все более сложные описания векторов нормы –2 n для n =3, 4, 5, ..., причем число витков таких векторов довольно быстро увеличивается.
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной даже унимодулярной лоренцевой решетки», Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN 0021-8693 , МР 0690711
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, РА; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Радиус покрытия решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 380 (1779): 261–290, Бибкод : 1982RSPSA.380..261C , doi : 10.1098/rspa.1982.0042 , ISSN 0080-4630 , МР 0660415
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Двадцать три конструкции решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 381 (1781): 275–283, Бибкод : 1982RSPSA.381..275C , doi : 10.1098/rspa.1982.0071 , ISSN 0080-4630 , МР 0661720
- Конвей, Дж. Х .; Слоан, Нью-Джерси (1999). Сферические упаковки, решетки и группы. (3-е изд.) С дополнительным вкладом Э. Баннаи, Р. Э. Борчердса , Джона Лича , Саймона П. Нортона , А. М. Одлызко , Ричарда А. Паркера , Л. Куина и Б. Б. Венкова. Основные доктрины математических наук, 290. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 .
- Эбелинг, Вольфганг (2002) [1994], Решетки и коды , Лекции продвинутого уровня по математике (переработанное издание), Брауншвейг: Фридр. Вьюег и сын, ISBN 978-3-528-16497-3 , г-н 1938666