II 25,1

В математике II _25,1 — четная 26-мерная лоренцева унимодулярная решетка . Он обладает несколькими необычными свойствами, возникшими в результате открытия Конвея с нулевой нормой того, что он имеет вектор Вейля . В частности, она тесно связана с решеткой Лича Λ и имеет группу Конвея Co1 на вершине своей группы автоморфизмов .

Строительство

Напишите Р ^{м , н} для m + n -мерного векторного пространства Р ^{м + н} с внутренним продуктом ( a ₁ ,..., a _{m + n} ) и ( b ₁ ,..., b _{m + n} ), заданные формулами

а ₁ б ₁ +...+ а _м б _м - а _{м +1} б _{м +1} - ... - а _{м + п} б _{м + п} .

Решетка II _25,1 задается всеми векторами ( a ₁ ,..., a ₂₆ )в Р ^25,1 такие, что либо все a _i являются целыми числами, либо все они являются целыми числамиплюс 1/2, и их сумма четная.

Группа отражения

Решетка II _25,1 изоморфна Λ⊕H, где:

• Λ – решетка Лича ,
• H — двумерная четная лоренцева решетка, порожденная двумя векторами нормы 0 z и w со скалярным произведением –1,

и оба слагаемых ортогональны. Таким образом, мы можем записать векторы из II _25,1 как (λ, m , n ) = λ+ mz + nw с λ в Λ и m , n целыми числами, где (λ, m , n ) имеет норму λ ² –2 мин . Чтобы явно указать изоморфизм, пусть $w=(0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)$, и $z=(1,0,2,3,\dots ,22,23,24;70)$, так что подпространство $H$ созданный $w$ и $z$ — двумерная четная лоренцева решетка. Затем $H^{\perp }$ изоморфен $w^{\perp }/w$ и мы восстанавливаем одно из определений Λ.

Конвей показал, что корни (векторы нормы 2), имеющие скалярное произведение –1 с w = (0,0,1), являются простыми корнями группы отражений. Это векторы (λ,1,λ ² /2–1) для λ в решетке Лича. Другими словами, простые корни можно отождествить с точками решетки Лича, причем это изометрия множества простых корней решетке Лича.

Группа отражений — это гиперболическая группа отражений, действующая в 25-мерном гиперболическом пространстве .Фундаментальная область группы отражений имеет 1+23+284 орбиты вершин следующим образом:

• Одна вершина на бесконечности, соответствующая вектору Вейля нормы 0.
• 23 орбиты вершин на бесконечности, встречающих конечное число граней фундаментальной области. Эти вершины соответствуют глубоким дырам решетки Лича, и существует 23 их орбиты, соответствующие 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича. Простые корни, встречающие одну из этих вершин, образуют аффинную диаграмму Дынкина ранга 24.
• 284 орбиты вершин в гиперболическом пространстве. Они соответствуют 284 орбитам мелких дырок решетки Лича. Простые корни, встречающие любую из этих вершин, образуют сферическую диаграмму Дынкина ранга 25.

Группа автоморфизмов

Конвей (1983) описал группу автоморфизмов Aut(II _25,1 ) группы II _25,1 следующим образом.

• Прежде всего, Aut(II _25,1 ) является произведением группы порядка 2, порожденной –1, на подгруппу Aut индекса 2. ⁺ (II _25,1 ) автоморфизмов, сохраняющих направление времени.
• Группа Аут ⁺ (II _25,1 ) имеет нормальную подгруппу Ref, порожденную ее отражениями, простые корни которой соответствуют векторам решетки Лича.
• Группа Аут ⁺ (II _25,1 )/Ref изоморфна группе аффинных автоморфизмов решетки Лича Λ и поэтому имеет нормальную подгруппу сдвигов, изоморфную Λ= Z ²⁴ , а фактор изоморфен группе всех автоморфизмов решетки Лича, которая является двойным накрытием группы Конвея Co ₁ , спорадической простой группы.

Векторы

Каждый ненулевой вектор из II _25,1 можно однозначно записать как целое положительное число, кратное примитивному вектору, поэтому для классификации всех векторов достаточно классифицировать примитивные векторы.

Положительные векторы нормы

Любые два примитивных вектора положительной нормы с одинаковой нормой сопряжены относительно группы автоморфизмов.

Нормированные нулевые векторы

Существует 24 орбиты примитивных векторов нормы 0, соответствующих 24 решеткам Нимейера . Соответствие задается следующим образом: если z — вектор нормы 0, то решетка z ^⊥ / z — 24-мерная четная унимодулярная решетка и, следовательно, является одной из решеток Нимейера.

Решетка Нимейера, соответствующая вектору Вейля нормы 0 группы отражений II _25,1, является решеткой Лича.

Норма –2 вектора

Существует 121 орбита векторов v нормы –2, соответствующих 121 классу изоморфизма 25-мерных четных решеток L определителя 2. В этом соответствии решетка L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .

Норма –4 вектора

Существует 665 орбит векторов v нормы –4, соответствующих 665 классам изоморфизма 25-мерных унимодулярных решеток L . В этом соответствии подрешетка индекса 2 четных векторов решетки L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .

Другие векторы

Существуют аналогичные, но все более сложные описания векторов нормы –2 n для n =3, 4, 5, ..., причем число витков таких векторов довольно быстро увеличивается.

Ссылки

• Конвей, Джон Хортон (1983), «Группа автоморфизмов 26-мерной даже унимодулярной лоренцевой решетки», Journal of Algebra , 80 (1): 159–163, doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X , ISSN   0021-8693 , МР   0690711
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, РА; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Радиус покрытия решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 380 (1779): 261–290, Бибкод : 1982RSPSA.380..261C , doi : 10.1098/rspa.1982.0042 , ISSN   0080-4630 , МР   0660415
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нью-Джерси (1982), «Двадцать три конструкции решетки Лича», Proceedings of the Royal Society A , 381 (1781): 275–283, Бибкод : 1982RSPSA.381..275C , doi : 10.1098/rspa.1982.0071 , ISSN   0080-4630 , МР   0661720
• Конвей, Дж. Х .; Слоан, Нью-Джерси (1999). Сферические упаковки, решетки и группы. (3-е изд.) С дополнительным вкладом Э. Баннаи, Р. Э. Борчердса , Джона Лича , Саймона П. Нортона , А. М. Одлызко , Ричарда А. Паркера , Л. Куина и Б. Б. Венкова. Основные доктрины математических наук, 290. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   0-387-98585-9 .
• Эбелинг, Вольфганг (2002) [1994], Решетки и коды , Лекции продвинутого уровня по математике (переработанное издание), Брауншвейг: Фридр. Вьюег и сын, ISBN  978-3-528-16497-3 , г-н   1938666