Jump to content

II 25,1

В математике II 25,1 — четная 26-мерная лоренцева унимодулярная решетка . Он обладает несколькими необычными свойствами, возникшими в результате открытия Конвея с нулевой нормой того, что он имеет вектор Вейля . В частности, она тесно связана с решеткой Лича Λ и имеет группу Конвея Co1 на вершине своей группы автоморфизмов .

Строительство

[ редактировать ]

Напишите Р м , н для m + n -мерного векторного пространства Р м + н с внутренним продуктом ( a 1 ,..., a m + n ) и ( b 1 ,..., b m + n ), заданные формулами

а 1 б 1 +...+ а м б м - а м +1 б м +1 - ... - а м + п б м + п .

Решетка II 25,1 задается всеми векторами ( a 1 ,..., a 26 Р 25,1 такие, что либо все a i являются целыми числами, либо все они являются целыми числамиплюс 1/2, и их сумма четная.

Группа отражения

[ редактировать ]

Решетка II 25,1 изоморфна Λ⊕H, где:

  • Λ – решетка Лича ,
  • H — двумерная четная лоренцева решетка, порожденная двумя векторами нормы 0 z и w со скалярным произведением –1,

и оба слагаемых ортогональны. Таким образом, мы можем записать векторы из II 25,1 как (λ, m , n ) = λ+ mz + nw с λ в Λ и m , n целыми числами, где (λ, m , n ) имеет норму λ 2 –2 мин . Чтобы явно указать изоморфизм, пусть , и , так что подпространство созданный и — двумерная четная лоренцева решетка. Затем изоморфен и мы восстанавливаем одно из определений Λ.

Конвей показал, что корни (векторы нормы 2), имеющие скалярное произведение –1 с w = (0,0,1), являются простыми корнями группы отражений. Это векторы (λ,1,λ 2 /2–1) для λ в решетке Лича. Другими словами, простые корни можно отождествить с точками решетки Лича, причем это изометрия множества простых корней решетке Лича.

Группа отражений — это гиперболическая группа отражений, действующая в 25-мерном гиперболическом пространстве .Фундаментальная область группы отражений имеет 1+23+284 орбиты вершин следующим образом:

  • Одна вершина на бесконечности, соответствующая вектору Вейля нормы 0.
  • 23 орбиты вершин на бесконечности, встречающих конечное число граней фундаментальной области. Эти вершины соответствуют глубоким дырам решетки Лича, и существует 23 их орбиты, соответствующие 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича. Простые корни, встречающие одну из этих вершин, образуют аффинную диаграмму Дынкина ранга 24.
  • 284 орбиты вершин в гиперболическом пространстве. Они соответствуют 284 орбитам мелких дырок решетки Лича. Простые корни, встречающие любую из этих вершин, образуют сферическую диаграмму Дынкина ранга 25.

Группа автоморфизмов

[ редактировать ]

Конвей (1983) описал группу автоморфизмов Aut(II 25,1 ) группы II 25,1 следующим образом.

  • Прежде всего, Aut(II 25,1 ) является произведением группы порядка 2, порожденной –1, на подгруппу Aut индекса 2. + (II 25,1 ) автоморфизмов, сохраняющих направление времени.
  • Группа Аут + (II 25,1 ) имеет нормальную подгруппу Ref, порожденную ее отражениями, простые корни которой соответствуют векторам решетки Лича.
  • Группа Аут + (II 25,1 )/Ref изоморфна группе аффинных автоморфизмов решетки Лича Λ и поэтому имеет нормальную подгруппу сдвигов, изоморфную Λ= Z 24 , а фактор изоморфен группе всех автоморфизмов решетки Лича, которая является двойным накрытием группы Конвея Co 1 , спорадической простой группы.

Каждый ненулевой вектор из II 25,1 можно однозначно записать как целое положительное число, кратное примитивному вектору, поэтому для классификации всех векторов достаточно классифицировать примитивные векторы.

Положительные векторы нормы

[ редактировать ]

Любые два примитивных вектора положительной нормы с одинаковой нормой сопряжены относительно группы автоморфизмов.

Нормированные нулевые векторы

[ редактировать ]

Существует 24 орбиты примитивных векторов нормы 0, соответствующих 24 решеткам Нимейера . Соответствие задается следующим образом: если z — вектор нормы 0, то решетка z / z — 24-мерная четная унимодулярная решетка и, следовательно, является одной из решеток Нимейера.

Решетка Нимейера, соответствующая вектору Вейля нормы 0 группы отражений II 25,1, является решеткой Лича.

Норма –2 вектора

[ редактировать ]

Существует 121 орбита векторов v нормы –2, соответствующих 121 классу изоморфизма 25-мерных четных решеток L определителя 2. В этом соответствии решетка L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .

Норма –4 вектора

[ редактировать ]

Существует 665 орбит векторов v нормы –4, соответствующих 665 классам изоморфизма 25-мерных унимодулярных решеток L . В этом соответствии подрешетка индекса 2 четных векторов решетки L изоморфна ортогональному дополнению вектора v .

Другие векторы

[ редактировать ]

Существуют аналогичные, но все более сложные описания векторов нормы –2 n для n =3, 4, 5, ..., причем число витков таких векторов довольно быстро увеличивается.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 692df2627096ed186a818f2abeff6d8a__1715051640
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/69/8a/692df2627096ed186a818f2abeff6d8a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
II25,1 - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)