Подгруппа Картера

В математике , особенно в области теории групп , картеровская подгруппа G конечной группы — это самонормализующаяся подгруппа группы G , которая нильпотентна . Эти подгруппы были введены Роджером Картером и положили начало теории разрешимых групп после 1960 года ( Wehrfritz 1999 ).

Картер (1961) доказал, что любая конечная разрешимая группа имеет картерову подгруппу, и все ее картеровы подгруппы являются сопряженными подгруппами (и, следовательно, изоморфными). Если группа неразрешима, у нее не должно быть картеровых подгрупп: например, знакопеременная группа A ₅ порядка 60 не имеет картеровских подгрупп. Вдовин ( 2006 , 2007 ) показал, что даже если конечная группа неразрешима, то любые две картеровы подгруппы сопряжены.

Подгруппа Картера является максимальной нильпотентной подгруппой из-за условия нормализации для нильпотентных групп, но не все максимальные нильпотентные подгруппы являются подгруппами Картера ( Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006 , стр. 100). Например, любая неединичная собственная подгруппа неабелевой группы шестого порядка является максимальной нильпотентной подгруппой, но только подгруппы второго порядка являются картеровыми подгруппами. Каждая подгруппа, содержащая картерову подгруппу разрешимой группы, также является самонормализующейся, а разрешимая группа порождается любой картеровой подгруппой и ее нильпотентным остатком ( Шенкман 1975 , VII.4.a).

Гашюц (1962) рассматривал подгруппы Картера как аналоги силовских подгрупп и холловских подгрупп и унифицировал их рассмотрение с теорией формаций . На языке формаций силовская p -подгруппа является накрывающей группой для образования p -групп, холловская π -подгруппа является накрывающей группой для образования π -групп, а картеровская подгруппа является накрывающей группой для образования p-групп. образование нильпотентных групп ( Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006 , стр. 100). Вместе с важным обобщением, классами Шунка , и важной дуализацией, классами Фишера , формации сформировали основные темы исследований конца 20-го века в теории конечных разрешимых групп.

Двойственное понятие картеровых подгрупп было введено Берндом Фишером в ( Fischer 1966 ). Подгруппа Фишера группы — это нильпотентная подгруппа, содержащая все остальные нильпотентные подгруппы, которые она нормализует. Подгруппа Фишера является максимальной нильпотентной подгруппой, но не каждая максимальная нильпотентная подгруппа является подгруппой Фишера: снова неабелева группа шестого порядка представляет собой пример, поскольку каждая неединичная собственная подгруппа является максимальной нильпотентной подгруппой, но только подгруппа третьего порядка. является подгруппой Фишера ( Верфриц 1999 , стр. 98).

См. также

Ссылки

Баллестер-Болинчес, Адольфо; Эскерро, Луис М. (2006), Классы конечных групп , Математика и ее приложения (Springer), том. 584, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3 , МР 2241927
Картер, Роджер В. (1961), «Нильпотентные самонормализующиеся подгруппы разрешимых групп», Mathematical Journal , 75 (2): 136–139, doi : 10.1007/BF01211016 , S2CID 120448397
Фишер, Бернд (1966), «Классы сопряженных подгрупп в конечных разрешимых группах», докторская диссертация , Университет Франкфурта-на-Майнце.
Юпперт, Бернд (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050 , особенно Кап VI, §12, стр. 736–743.
Гашюц, Вольфганг (1962), «К теории конечных разрешимых групп», Mathematical Journal , 80 : 300–305, doi : 10.1007/BF01162386 , ISSN 0025-5874 , MR 0179257 , S2CID 116064482
Шенкман, Юджин (1975), Теория групп , Издательство Роберта Э. Кригера, ISBN 978-0-88275-070-5 , МР 0460422
Вдовин, Евгений П. (2006), "К проблеме сопряженности картеровых подгрупп. (рус.)", Сибирский математический журнал , 47 (4): 725–730, MR 2265277 перевод в Сибирском математическом журнале 47 (2006), вып. . 4, 597–600.
Вдовин, Евгений П. (2007), "Картеровы подгруппы в конечных почти простых группах. (рус.)", Алгебра и логика , 46 (2): 157–216, MR 2356523
Вильямс, Н.Н. (2001) [1994], «Картеровская подгруппа» , Энциклопедия математики , EMS Press
Верфриц, Бертрам А.Ф. (1999), Конечные группы , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-3874-2 , МР 1733917

Эта теории групп статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .