Группа маленьких монстров

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа младенцев-монстров B (или, проще говоря, малыш-монстр ) представляет собой спорадическую простую группу порядка .

4,154,781,481,226,426,191,177,580,544,000,000

= 2 ⁴¹ · 3 ¹³ · 5 ⁶ · 7 ² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47

≈ 4 × 10 ³³.

B является одной из 26 спорадических групп и имеет второй по величине порядок среди них, причем высший уровень принадлежит группе монстров . Двойная крышка малыша-монстра является централизатором элемента 2-го порядка в группе монстров. Внешняя группа автоморфизмов B мультипликатор тривиальна, а имеет порядок Шура B 2.

История

Существование этой группы было предположено Берндом Фишером в неопубликованной работе начала 1970-х годов во время его исследования {3,4}-транспозиционных групп: групп, порожденных классом транспозиций, в которых произведение любых двух элементов имеет порядок не более 4. Он исследовал его свойства и вычислил таблицу его символов . Первая конструкция младенца-монстра позже была реализована в виде группы перестановок на 13 571 955 000 точек с использованием компьютера Джеффри Леоном и Чарльзом Симсом . ^[1]^[2] Роберт Грис позже нашел безкомпьютерную конструкцию, используя тот факт, что ее двойная оболочка содержится в группе монстров. Название «малыш-монстр» предложил Джон Хортон Конвей . ^[3]

Представительства

В характеристике 0 4371-мерное представление младенца-монстра не имеет нетривиальной структуры инвариантной алгебры, аналогичной алгебре Грисса , но Рыба (2007) показала, что оно имеет такую структуру инвариантной алгебры, если она приведена по модулю 2.

Наименьшее точное матричное представление Baby Monster имеет размер 4370 в конечном поле порядка 2.

Хён (1996) построил алгебру вершинных операторов, на которую действует малыш-монстр.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для младенца-монстра B или F ₂ соответствующий ряд Маккея-Томпсона выглядит так: $T_{2A}(\tau )$ где можно установить постоянный член a(0) = 104 . ^[4]

{\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=T_{2A}(\tau )+104\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+10698752q^{4}+\cdots \end{aligned}}

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Максимальные подгруппы

Уилсон (1999) нашел 30 классов сопряженности максимальных подгрупп B , которые перечислены в таблице ниже.

Максимальные подгруппы Бэби-монстра
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	2 ^·2Э ₆ (2):2	306,129,918,735,099,415,756,800 = 2 ³⁸·3 ⁹·5 ²·7 ²·11·13·17·19	централизатор инволюции класса 2А; точечный стабилизатор наименьшего перестановочного представления на 13 571 955 000 точек; содержит нормализатор (19:18) × 2 силовской 19-подгруппы
2	2 ¹⁺²² ₊^·Со ₂	354,883,595,661,213,696,000 = 2 ⁴¹·3 ⁶·5 ³·7·11·23	централизатор инволюции класса 2Б; содержит нормализатор (23:11) × 2 силовской 23-подгруппы
3	Фи ₂₃	4,089,470,473,293,004,800 = 2 ¹⁸·3 ¹³·5 ²·7·11·13·17·23
4	2 ⁹⁺¹⁶.С ₈ (2)	1,589,728,887,019,929,600 = 2 ⁴¹·3 ⁵·5 ²·7·17
5	че	90,745,943,887,872,000 = 2 ¹⁵·3 ¹⁰·5 ³·7 ²·13·19·31	содержит нормализатор 31:15 силовской 31-подгруппы
6	(2 ² × Ф ₄ (2)):2	26,489,012,826,931,200 = 2 ²⁷·3 ⁶·5 ²·7 ²·13·17	централизатор инволюции класса 2С; содержит нормализатор (17:8 × 2 ²) ^·2 из силовской 17-подгруппы
7	2 ^2+10+20( М ₂₂ :2 × С ₃ )	22,858,846,741,463,040 = 2 ⁴¹·3 ³·5·7·11
8	[2 ³⁰].Л ₅ (2)	10,736,731,045,232,640 = 2 ⁴⁰·3 ²·5·7·31
9	С ₃ × Фи ₂₂ :2	774,741,019,852,800 = 2 ¹⁹·3 ¹⁰·5 ²·7·11·13	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А)
10	[2 ³⁵(S ₅ x L ₃ (2))	692,692,325,498,880 = 2 ⁴¹·3 ²·5·7
11	ХН :2	546,061,824,000,000 = 2 ¹⁵·3 ⁶·5 ⁶·7·11·19
12	ТО ⁺ ₈ (3) :С ₄	118,852,315,545,600 = 2 ¹⁵·3 ¹³·5 ²·7·13
13	3 ¹⁺⁸ ₊. 2 ¹⁺⁶ _–^·У ₄ (2) .2	130,606,940,160 = 2 ¹⁴·3 ¹³·5	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3В)
14	(3 ²:D ₈ × U ₄ (3).2.2).2	1,881,169,920 = 2 ¹³·3 ⁸·5·7
15	5:4 × ГС :2	1,774,080,000 = 2 ¹²·3 ²·5 ⁴·7·11	нормализатор подгруппы порядка 5 (класс 5А)
16	С ₄ × ²Ф4 _{( 2} )	862,617,600 = 2 ¹⁵·3 ⁴·5 ²·13	содержит нормализатор 13:12 × S ₄ силовской 13-подгруппы
17	[3 ¹¹].(S ₄ × 2S ₄)	204,073,344 = 2 ⁷·3 ¹³
18	С ₅ × М ₂₂ :2	106,444,800 = 2 ¹¹·3 ³·5 ²·7·11	содержит нормализатор 11:10 × S5 _{силовской} 11-подгруппы
19	(S ₆ × L ₃ (4):2).2	58,060,800 = 2 ¹¹·3 ³·5 ²·7·11
20	5 ^3·Л ₃ (5)	46,500,000 = 2 ⁵·3·5 ⁶·31
21	5 ¹⁺⁴ ₊. 2 ¹⁺⁴ _-А 5,4	24,000,000 = 2 ⁹·3·5 ⁶	нормализатор подгруппы 5-го порядка (класс 5В)
22	(S ₆ × S ₆ ).4	2,073,600 = 2 ¹⁰·3 ⁴·5 ²
23	5 ²:4С ₄ × С ₅	288,000 = 2 ⁸·3 ²·5 ³
24	Л ₂ (49).2 ₃	117,600 = 2 ⁵·3·5 ²·7 ²
25	Л ₂ (31)	14,880 = 2 ⁵·3·5·31	содержит нормализатор 31:15 силовской 31-подгруппы
26	М ₁₁	7,920 = 2 ⁴·3 ²·5·11
27	Л ₃ (3)	5,616 = 2 ⁴·3 ³·13
28	Л ₂ (17):2	4,896 = 2 ⁵·3 ²·17
29	Л ₂ (11):2	1,320 = 2 ³·3·5·11
30	47:23	1,081 = 23·47	нормализатор силовской 47-подгруппы

Ссылки

^ ( Горенштейн 1993 )
^ Леон, Джеффри С.; Симс, Чарльз К. (1977). «Существование и единственность простой группы, порожденной {3,4}-транспозициями» . Бык. амер. Математика. Соц . 83 (5): 1039–1040. дои : 10.1090/s0002-9904-1977-14369-3 .
^ Ронан, Марк (2006). Симметрия и монстр . Издательство Оксфордского университета . стр. 178–179 . ISBN 0-19-280722-6 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007267» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

Горенштейн, Д. (1993), «Краткая история спорадических простых групп» , Корвин, Л.; Гельфанд, ИМ; Леповски, Джеймс (ред.), Математические семинары Гельфанда, 1990–1992 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 137–143, ISBN 978-0-8176-3689-0 , МР 1247286
Хён, Джеральд (1996), Самодуальные супералгебры вершинных операторов и ребенок-монстр , Bonn Mathematical Writes [Bonn Mathematical Publications], 286, Бонн: Математический институт Боннского университета, arXiv : 0706.0236 , Bibcode : 2007arXiv0706.0236H , MR 1614941
Рыба, Александр Дж. Э. (2007), «Естественная инвариантная алгебра для группы Baby Monster», Journal of Group Theory , 10 (1): 55–69, doi : 10.1515/JGT.2007.006 , MR 2288459 , S2CID 122359097
Уилсон, Роберт А. (1999), «Максимальные подгруппы Baby Monster. I», Journal of Algebra , 211 (1): 1–14, doi : 10.1006/jabr.1998.7601 , MR 1656568

Внешние ссылки

[1] ( Горенштейн 1993 )

[2] Леон, Джеффри С.; Симс, Чарльз К. (1977). «Существование и единственность простой группы, порожденной {3,4}-транспозициями» . Бык. амер. Математика. Соц . 83 (5): 1039–1040. дои : 10.1090/s0002-9904-1977-14369-3 .

[3] Ронан, Марк (2006). Симметрия и монстр . Издательство Оксфордского университета . стр. 178–179 . ISBN 0-19-280722-6 .

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007267» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]

[2]

[3]

[4]