Группа Хигмана – Симса

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Хигмана – Симса HS представляет собой спорадическую простую группу порядка .

2 ⁹⋅3 ²⋅5 ³⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4 × 10 ⁷.

Множитель Шура имеет порядок 2, внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а группа 2.HS.2 появляется как централизатор инволюции в группе Харады–Нортона .

История

HS является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Дональдом Г. Хигманом и Чарльзом С. Симсом ( 1968 ). Они присутствовали на презентации Маршалла Холла группы Холла -Янко J ₂ . Бывает, что J ₂ действует как группа перестановок на графе Холла–Янко из 100 точек, причем стабилизатором одной точки является подгруппа с двумя другими орбитами длин 36 и 63. Вдохновленные этим, они решили проверить наличие другой перестановки ранга 3. группы по 100 баллов. Вскоре они сосредоточились на возможном варианте, содержащем группу Матье M ₂₂ , которая имеет представления перестановок в 22 и 77 точках. (Последнее представление возникает потому, что _{M 22} система Штейнера имеет 77 блоков.) Объединив эти два представления, они нашли HS с одноточечным стабилизатором, изоморфным M ₂₂ .

HS — простая подгруппа индекса два в группе автоморфизмов графа Хигмана–Симса . Граф Хигмана-Симса имеет 100 узлов, поэтому группа Хигмана-Симса HS является транзитивной группой перестановок набора из 100 элементов. Наименьшее точное комплексное представление HS имеет размерность 22. ^[1]

Грэм Хигман ( 1969 ) независимо обнаружил группу как дважды транзитивную группу перестановок, действующую на определенную «геометрию» в 176 точках.

Строительство

Код GAP для построения группы Higman-Sims представлен в качестве примера в самой документации GAP. ^[2]

Группа Хигмана-Симса может быть построена с помощью следующих двух генераторов : ^[2]

$(1,50,65)$ $(2,89,62,52,88,25)$ $(3,46,57,18,74,55)$ $(4,45,10,70,56,39)$ $(5,97,77)$ $(6,84,8,48,99,67)$ $(7,26,92,28,20,100)$ $(9,30,79,66,49,95)$ $(11,72)$ $(12,94,98,27,83,93)$ $(13,31,61,59,40,47)$ $(14,51,68,44,16,34)$ $(15,38)$ $(17,82,87)$ $(19,76,73,71,63,32)$ $(21,37,58,69,75,35)$ $(22,53,81)$ $(23,33,54)$ $(24,43,80,78,29,86)$ $(42,64)$ $(60,90,96)$ $(85,91)$

и

$(1,65,44,13,34,57)$ $(2,10,39,54,42,84)$ $(3,15,69,63,37,11)$ $(5,21,79)$ $(6,89,49,64,46,80)$ $(7,70,93,29,8,38)$ $(9,81,17,23,77,59)$ $(12,68,66,75,96,82)$ $(14,18,95,43,76,32)$ $(16,33,99,26,92,48)$ $(19,50)$ $(20,97,83)$ $(22,88,85,53,24,56)$ $(25,62,67)$ $(27,98)$ $(28,55)$ $(30,58,71,86,94,90)$ $(31,87,52,78,100,60)$ $(35,61,51)$ $(36,73,72)$ $(40,74)$ $(41,45,47)$

Отношения с группами Конвея

Конвей (1968) определил группу Хигмана-Симса как подгруппу группы Конвея Co ₀ . В Co ₀ HS возникает как поточечный стабилизатор треугольника 2-3-3 , ребра которого (разности вершин) являются векторами 2-го и 3-го типов. Таким образом, HS является подгруппой каждой из групп Конвея Co ₀ , Co ₂ и Co ₃ .

Уилсон (2009) (стр. 208) показывает, что группа HS четко определена. в решетке Лича Предположим, что типа 3 точка v зафиксирована экземпляром Co ₃ . типа 2 Подсчитайте точки w такие, что скалярное произведение v · w = 2 (и, следовательно, v - w относится к типу 3). Он показывает, что их число равно 11 178 = 2⋅3. ⁵⋅23 и что этот Co ₃ транзитивен на этих w .

$| ГС | = | Со 3 | / 11 178 = 44 352 000.$

На самом деле, $| ГС | = 100 | М 22 |$ , и существуют примеры HS, включающие представление матрицы перестановок группы Матье M ₂₂ .

Если экземпляр HS в Co ₀ фиксирует определенную точку типа 3, эта точка находится в 276 треугольниках типа 2-2-3, которые эта копия HS переставляет по орбитам 176 и 100. Этот факт приводит к конструкции Грэма Хигмана. а также графу Хигмана – Симса. HS дважды транзитивен на 176 и занимает 3 место на 100.

Треугольник 2-3-3 определяет 2-мерное подпространство, фиксированное поточечно HS. Таким образом, стандартное представление HS можно свести к 22-мерному.

График Хигмана-Симса

Уилсон (2009) (стр. 210) приводит пример графа Хигмана-Симса внутри решетки Лича , переставленного представлением M ₂₂ в последних 22 координатах:

22 точки формы (1, 1, −3, 1 ²¹)
77 точек формы (2, 2, 2 ⁶, 0 ¹⁶)
100-й балл (4, 4, 0 ²²)

Различия соседних точек относятся к типу 3; несмежные относятся к типу 2.

Здесь HS фиксирует треугольник 2-3-3 с вершинами x = (5, 1 ²³) , y = (1, 5, 1 ²²) и z начало координат. x и y имеют тип 3, а x - y = (4, −4, 0 ²²) имеет тип 2. Любая вершина графа отличается от x , y и z векторами типа 2.

Два класса инволюций

Инволюция в подгруппе М ₂₂ меняет местами 8 пар координат. Как матрица перестановок в Co _0, она имеет след 8. Можно показать, что она перемещает 80 из 100 вершин графа Хигмана-Симса. Ни одна транспонированная пара вершин не является ребром графа.

Есть еще один класс инволюций со следом 0, которые перемещают все 100 вершин. ^[3] Как перестановки в знакопеременной группе A ₁₀₀ , будучи произведениями нечетного числа (25) двойных транспозиций, эти инволюции поднимаются до элементов четвертого порядка в двойном накрытии 2.A ₁₀₀ . Таким образом, HS имеет двойное покрытие 2.HS, которое не связано с двойным покрытием подгруппы M ₂₂ .

Максимальные подгруппы

Магливерас (1971) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп HS следующим образом:

Подгруппа	Заказ	Индекс	Орбиты на графе Хигмана-Симса
М ₂₂	443520	100	1, 22, 77	одноточечный стабилизатор на графе Хигмана-Симса
Ю ₃ (5):2	252000	176	импримитивен на паре графов Хоффмана-Синглтона по 50 вершин каждый	одноточечный стабилизатор в дважды транзитивном представлении степени 176
Ю ₃ (5):2	252000	176	как тип выше	слит в HS:2 с классом выше
ПСЛ(3,4).2	40320	1100	2, 42, 56	стабилизатор края
С ₈	40320	1100	30, 70
2 ⁴.С ₆	11520	3850	2, 6, 32, 60	стабилизатор без края
4 ³:ПСЛ(3,2)	10752	4125	8, 28, 64
М ₁₁	7920	5600	12, 22, 66	классы объединены в HS:2
М ₁₁	7920	5600	12, 22, 66	классы объединены в HS:2
4.2 ⁴.С ₅	7680	5775	20, 80	централизатор класса инволюции 2А, перемещающий 80 вершин графа Хигмана – Симса
2 × _6,2 А ²	2880	15400	40, 60	централизатор класса инволюции 2В, перемещающий все 100 вершин
5:4 х _А5	1200	36960	примитивный на 5 блоков по 20	нормализатор 5-подгруппы, порожденной элементом класса 5B

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении ГС. ^[4] Перечислены два представления перестановок: на 100 вершинах графа Хигмана – Симса и на 176 точках геометрии Грэма Хигмана. ^[5]

Сорт	Заказ центратора	Количество элементов	След	На 100	На 176
1А	44,352,000	1 = 1	24
2А	7,680	5775 = 3 · 5 ² · 7 · 11	8	1 ²⁰,2 ⁴⁰	1 ¹⁶,2 ⁸⁰
2Б	2,880	15400 = 2 ³ · 5 ² · 5 · 7 · 11	0	2 ⁵⁰	1 ¹², 2 ⁸²
3А	360	123200 = 2 ⁶ · 5 ² · 7 · 11	6	1 ¹⁰,3 ³⁰	1 ⁵,3 ⁵⁷
4А	3,840	11550 = 2 · 3 · 5 ² · 7 · 11	-4	2 ¹⁰4 ²⁰	1 ¹⁶,4 ⁴⁰
4Б	256	173250 = 2 · 3 ² · 5 ³ · 7 · 11	4	1 ⁸,2 ⁶,4 ²⁰	2 ⁸,4 ⁴⁰
4С	64	693000 = 2 ³ · 3 ² · 5 ³ · 7 · 11	4	1 ⁴,2 ⁸,4 ²⁰	1 ⁴,2 ⁶,4 ⁴⁰
5А	500	88704 = 2 ⁷ · 3 ² · 7 · 11	-1	5 ²⁰	1,5 ³⁵
5Б	300	147840 = 2 ⁷ · 3 · 5 · 7 · 11	4	5 ²⁰	1 ⁶,5 ³⁴
5С	25	1774080 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 · 7	4	1 ⁵,5 ¹⁹	1,5 ³⁵
6А	36	1232000 = 2 ⁷ · 5 ³ · 7 · 11	0	2 ⁵,6 ¹⁵	1 ³,2,3 ³,6 ²⁷
6Б	24	1848000 = 2 ⁶ · 3 · 5 ³ · 7 · 11	2	1 ²,2 ⁴,3 ⁶,6 ¹²	1, 2 ²,3 ⁵,6 ²⁶
7А	7	6336000 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 ³ · 11	3	1 ²,7 ¹⁴	1,7 ²⁵
8А	16	2772000 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 ³ · 7 · 11	2	1 ²,2 ³,4 ³,8 ¹⁰	4 ⁴, 8 ²⁰
8Б	16	2772000 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 ³ · 7 · 11	2	2 ²,4 ⁴,8 ¹⁰	1 ²,2,4 ³,8 ²⁰
8С	16	2772000 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 ³ · 7 · 11	2	2 ²,4 ⁴,8 ¹⁰	1 ² 2, 4 ³, 8 ²⁰
10А	20	2217600 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 ² · 7 · 11	3	5 ⁴,10 ⁸	1,5 ³,10 ¹⁶
10Б	20	2217600 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 ² · 7 · 11	0	10 ¹⁰	1 ²,2 ²,5 ²,10 ¹⁶
11А	11	4032000 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 ³ · 7	2	1 ¹11 ⁹	11 ¹⁶	Эквивалент мощности
11Б	11	4032000 = 2 ⁹ · 3 ² · 5 ³ · 7	2	1 ¹11 ⁹	11 ¹⁶	Эквивалент мощности
12А	12	3696000 = 2 ⁷ · 3 · 5 ³ · 7 · 11	2	2 ¹,4 ²,6 ³,12 ⁶	1,3 ⁵,4,12 ¹³
15А	15	2956800 = 2 ⁹ · 3 · 5 ² · 7 · 11	1	5 ²,15 ⁶	3 ²,5,15 ¹¹
20А	20	2217600 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 ² · 7 · 11	1	10 ²,20 ⁴	1,5 ³,20 ⁸	Эквивалент мощности
20Б	20	2217600 = 2 ⁷ · 3 ² · 5 ² · 7 · 11	1	10 ²,20 ⁴	1,5 ³,20 ⁸	Эквивалент мощности

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается группой монстров , но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для HS ряд Маккея-Томпсона представляет собой $T_{10A}(\tau )$ где можно установить a(0) = 4 ( OEIS : A058097 ),

{\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)^{2}+2^{2}\left({\frac {\eta (2\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (5\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}}\right)+5\left({\frac {\eta (5\tau )\;\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\;\eta (2\tau )}}\right)\right)^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\cdots \end{aligned}}

Ссылки

^ Янсен (2009), с. 123
^ Jump up to: ^а ^б «Построение HS и Co3 в GAP 4» .
^ Уилсон (2009), с. 213
^ Конвей и др. (1985)
^ «АТЛАС: группа Хигмана – Симса HS» .

Конвей, Джон Хортон (1968), «Идеальная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS.. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , ISSN 0027-8424 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
Дж. С. Фрейм (1972) «Вычисления характеров группы Хигмана-Симса и ее группы автоморфизмов», Журнал алгебры, 20, 320–349.
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN. 978-0-387-94599-6 , МР 1409812
Галлиан, Джозеф (1976), «Поиск конечных простых групп», Mathematics Magazine , 49 (4): 163–180, doi : 10.2307/2690115 , ISSN 0025-570X , JSTOR 2690115 , MR 0414688
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Хигман, Дональд Г .; Симс, Чарльз С. (1968), «Простая группа порядка 44 352 000» (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 105 (2): 110–113, doi : , ISSN 0025-5874,, 2027,42/46258, ISSN 0025-5874,, 10.1007/bf01110435 , HDL : 2027,42/46258 2027,42/46258, ISSN 0025-5874, 2027,42/46258 , ISSN 0025-5874 , 2027 , МР 0227269 , S2CID 32803979
Хигман, Грэм (1969), «О простой группе Д.Г. Хигмана и К.С. Симса», Illinois Journal of Mathematics , 13 : 74–80, doi : 10.1215/ijm/1256053736 , ISSN 0019-2082 , MR 0240193
Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 : 123. дои : 10.1112/S1461157000000930 .
Магливерас, Спирос С. (1971), «Структура подгрупп простой группы Хигмана – Симса», Бюллетень Американского математического общества , 77 (4): 535–539, doi : 10.1090/S0002-9904-1971-12743- Х , ISSN 0002-9904 , МР 0283077
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012

Внешние ссылки

[1] Янсен (2009), с. 123

[gapdoc-2] Jump up to: ^а ^б «Построение HS и Co3 в GAP 4» .

[3] Уилсон (2009), с. 213

[4] Конвей и др. (1985)

[5] «АТЛАС: группа Хигмана – Симса HS» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]