Группа Харада-Нортон

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Харады–Нортона HN представляет собой спорадическую простую группу порядка .

273,030,912,000,000

= 2 ¹⁴ · 3 ⁶ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 19

≈ 3 × 10 ¹⁴.

История и свойства

HN является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Харадой ( 1976 ) и Нортоном ( 1975 )).

Его мультипликатор Шура тривиален, а внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2.

HN имеет инволюцию, централизатор которой имеет вид 2.HS.2, где HS — группа Хигмана-Симса (именно так ее нашел Харада).

Простое число 5 играет в группе особую роль. Например, он централизует элемент 5-го порядка в группе Monster (именно так его нашел Нортон) и в результате действует естественно на алгебру вершинных операторов над полем с 5 элементами ( Lux, Noeske & Ryba 2008 ). Это означает, что она действует на 133-мерной алгебре над F ₅ с коммутативным, но неассоциативным произведением, аналогичным алгебре Грисса ( Рыба, 1996 ).

Полный номрализатор элемента 5А в группе Monster равен (D ₁₀ × HN).2, поэтому HN централизует 5 инволюций рядом с 5-циклом. Эти инволюции централизованы группой Baby monster , которая, следовательно, содержит HN в качестве подгруппы.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Напомним, что простое число 5 играет особую роль в группе и для HN соответствующий ряд Маккея-Томпсона имеет вид $T_{5A}(\tau )$ где можно установить постоянный член a(0) = −6 ( OEIS : A007251 ),

{\begin{aligned}j_{5A}(\tau )&=T_{5A}(\tau )-6\\&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3}\left({\frac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\\&={\frac {1}{q}}-6+134q+760q^{2}+3345q^{3}+12256q^{4}+39350q^{5}+\dots \end{aligned}}

η Дедекинда ( τ ) — эта-функция .

Максимальные подгруппы

(1986) нашли 14 классов сопряженности максимальных подгрупп HN Нортон и Уилсон следующим образом:

Максимальные подгруппы HN
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	А ₁₂	239,500,800 = 2 ⁹·3 ⁵·5 ²·7·11
2	2 ^·ГС .2	177,408,000 = 2 ¹¹·3 ²·5 ³·7·11	централизатор инволюции класса 2А
3	Ю ₃ (8):3	16,547,328 = 2 ⁹·3 ⁵·7·19
4	2 ¹⁺⁸(А ₅ х А ₅ ).2	3,686,400 = 2 ¹⁴·3 ²·5 ²	централизатор инволюции класса 2В
5	(Д ₁₀ × U ₃ (5)).2	2,520,000 = 2 ⁶·3 ²·5 ⁴·7	нормализатор подгруппы порядка 5 (класс 5А)
6	5 ¹⁺⁴.2 ¹⁺⁴.5.4	2,000,000 = 2 ⁷·5 ⁶	нормализатор подгруппы 5-го порядка (класс 5В)
7	2 ⁶.У ₄ (2)	1,658,880 = 2 ¹²·3 ⁴·5
8	(А ₆ × А ₆ ).D ₈	1,036,800 = 2 ⁹·3 ⁴·5 ²
9	2 ³⁺²⁺⁶(3 х Д ₃ (2))	1,032,192 = 2 ¹⁴·3 ²·7
10	5 ²⁺¹⁺²4.А ₅	750,000 = 2 ⁴·3·5 ⁶
11,12	М ₁₂ :2	190,080 = 2 ⁷·3 ³·5·11	два класса, слитые внешним автоморфизмом
13	3 ⁴:2.(А ₄ × А ₄ ).4	93,312 = 2 ⁷·3 ⁶
14	3 ¹⁺⁴:4.А ₅	58,320 = 2 ⁴·3 ⁶·5	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3В)

Ссылки

Харада, Коитиро (1976), «О простой группе F порядка 2». ¹⁴ · 3 ⁶ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 19», Труды конференции по конечным группам (Университет Юты, Парк-Сити, Юта, 1975) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 119–276, MR 0401904.
Люкс, Клаус; Ноеске, Феликс; Рыба, Александр Дж. Э. (2008), «5-модульные характеры спорадической простой группы Харады – Нортона HN и ее группы автоморфизмов HN.2», Journal of Algebra , 319 (1): 320–335, doi : 10.1016 / j .jalgebra.2007.03.046 , ISSN 0021-8693 , MR 2378074
Нортон, С.П. (1975), F и другие простые группы (докторская диссертация), Кембриджский университет.
Нортон, СП; Уилсон, Роберт А. (1986), «Максимальные подгруппы группы Харады-Нортона», Journal of Algebra , 103 (1): 362–376, doi : 10.1016/0021-8693(86)90192-4 , ISSN 0021- 8693 , МР 0860712
Рыба, Александр Дж. Э. (1996), «Естественная инвариантная алгебра для группы Харады-Нортона», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 119 (4): 597–614, doi : 10.1017/S0305004100074454 , ISSN 0305-0041 , MR 1362942

Внешние ссылки