Гипотеза Воота

Гипотеза Вота — это гипотеза в математической области теории моделей, первоначально предложенная Робертом Лоусоном Вотом в 1961 году. Она утверждает, что число счетных моделей первого порядка полной теории на счетном языке конечно или ℵ ₀ или 2. ^{ℵ ₀}. Морли показал, что число счетных моделей конечно или ℵ ₀ , или ℵ ₁ , или 2. ^{ℵ ₀}, что решает гипотезу, за исключением случая моделей ℵ ₁ , когда гипотеза континуума не работает. Для этого оставшегося случая Робин Найт ( 2002 , 2007 ) объявил контрпример к гипотезе Вота и топологической гипотезе Воота . По состоянию на 2021 год контрпример не проверен.

Формулировка гипотезы [ править ]

Позволять $T$ быть счетной полной теорией первого порядка с бесконечными моделями. Позволять $I(T,\alpha )$ обозначаем количество моделей T мощности $\alpha$ с точностью до изоморфизма — спектр теории $T$ . Морли доказал , что если I ( T , ℵ ₀ ) бесконечно, то оно должно быть ℵ ₀ или ℵ ₁ или мощности континуума . Гипотеза Воота – это утверждение, что невозможно $\aleph _{0}<I(T,\aleph _{0})<2^{\aleph _{0}}$ . Эта гипотеза является тривиальным следствием гипотезы континуума ; поэтому эта аксиома часто исключается при работе над гипотезой. Альтернативно, существует более острая форма гипотезы, которая утверждает, что любой счетный полный T с несчетным количеством счетных моделей будет иметь идеальный набор несчетных моделей (как указал Джон Стил в «О гипотезе Воота». Cabal Seminar 76–77 ). (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), стр. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, эта форма гипотезы Воота эквивалентна оригиналу).

Оригинальная формулировка [ править ]

Первоначальная формулировка Воота была сформулирована не как гипотеза, а как проблема: можно ли доказать без использования гипотезы континуума, что существует полная теория, имеющая ровно ℵ ₁ неизоморфных счетных моделей? Согласно упомянутому в начале результату Морли, положительное решение гипотезы по существу соответствует отрицательному ответу на проблему Вота, как она была сформулирована изначально.

Теорема Воота [ править ]

Воот доказал, что число счетных моделей полной теории не может быть равно 2. Это может быть любое конечное число, отличное от 2, например:

Любая полная теория с конечной моделью не имеет счетных моделей.
Теории, имеющие только одну счетную модель, являются ω-категоричными теориями . Есть много таких примеров, таких как теория бесконечного множества или теория плотного неограниченного тотального порядка .
Эренфойхт привел следующий пример теории с тремя счетными моделями: в языке имеется отношение ≥ и счетное число констант c ₀ , c ₁ , ... с аксиомами, утверждающими, что ≥ представляет собой плотный неограниченный полный порядок, а c ₀ < c ₁ < c ₂ < ... Три модели различаются в зависимости от того, является ли эта последовательность неограниченной, или сходится , или ограничена, но не сходится.
Пример Эренфойхта можно модифицировать, чтобы создать теорию с любым конечным числом n ≥ 3 моделей, добавив n - 2 унарных отношения P _i в язык утверждающими, что для каждого x истинно ровно одно из Pi _{с аксиомами ,} , значения y, для которых P _i ( y истинно ), плотны, а P ₁ истинно для всех c _i . Тогда модели, для которых последовательность элементов c _i сходится к пределу c, разбиваются на n − 2 случая в зависимости от того, для какого i соотношение P _i ( c ). справедливо

Идея доказательства теоремы Вота состоит в следующем. Если существует не более счетного числа счетных моделей, то существует наименьшая: атомарная модель , и наибольшая, насыщенная модель , которые различны, если существует более одной модели. Если они различны, насыщенная модель должна реализовывать некоторый n -тип , опущенный атомной моделью. Тогда можно показать, что атомная модель теории структур, реализующих этот n -тип (на языке, расширенном конечным числом констант), является третьей моделью, не изоморфной ни атомарной, ни насыщенной модели. В приведенном выше примере с тремя моделями атомарная модель — это модель, в которой последовательность неограничена, насыщенная модель — это модель, в которой последовательность сходится, а примером типа, не реализованного атомарной моделью, является элемент, больший, чем все элементы. последовательности.

Воота Топологическая гипотеза

Топологическая гипотеза Воота — это утверждение, что всякий раз, когда польская группа действует непрерывно в польском пространстве , существует либо счетное множество орбит , либо континуальное множество орбит. Топологическая гипотеза Вота является более общей, чем исходная гипотеза Вота: учитывая счетный язык, мы можем сформировать пространство всех структур на натуральных числах для этого языка. Если снабдить это топологией, порожденной формулами первого порядка, то она известна из А. Грегорчика , А. Мостовского , К. Рыль-Нардзевского , «Определимость множеств моделей аксиоматических теорий» ( Вестник Польской академии аксиоматики). наук (серия «Математика, астрономия, физика») , т. 9 (1961), стр. 163–7), что полученное пространство является польским. Существует непрерывное действие бесконечной симметрической группы (совокупности всех перестановок натуральных чисел с топологией поточечной сходимости), которое порождает отношение изоморфизма эквивалентности. Учитывая полную теорию первого порядка T , набор структур, удовлетворяющих T — минимальное замкнутое инвариантное множество и, следовательно, само по себе польское.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Найт, Р.В. (2002), Гипотеза Воота: контрпример , рукопись
Найт, RW (2007), «Категории топологических пространств и рассеянные теории» , Notre Dame Journal of Formal Logic , 48 (1): 53–77, doi : 10.1305/ndjfl/1172787545 , ISSN 0029-4527 , MR 2289897
Р. Воут, «Счетные модели полных теорий», Infinitistic Methods (Proc. Symp. Foundations Math., Варшава, 1959) Варшава/Pergamon Press (1961), стр. 303–321.
Харрингтон, Лео ; Маккай, Майкл ; Шела, Сахарон (1984), «Доказательство гипотезы Вота для ω-стабильных теорий», Israel Journal of Mathematics , 49 : 259–280, doi : 10.1007/BF02760651
Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: Введение , Тексты для выпускников по математике, том. 217, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 0-387-98760-6 , Збл 1003.03034