Основное измерение

В математике определенный существенная размерность — это инвариант, для определенных алгебраических структур, таких как алгебраические группы и квадратичные формы . Его ввели Й. Бюлер и З. Райхштейн. и в наиболее общем виде определен А. Меркурьевым .

По сути, существенное измерение измеряет сложность алгебраических структур через их поля определения. Например, квадратичная форма q : V → K над полем K , где V — K - векторное пространство , называется определенной над подполем L поля K, если существует K - базис e ₁ ,..., en _of q V такой, что можно выразить в виде $q\left(\sum x_{i}e_{i}\right)=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}$ со всеми aij _{коэффициентами} принадлежащими L . Если K имеет характеристику, отличную от 2, каждая квадратичная форма диагонализуема . Следовательно, q имеет поле определения, порожденное n элементами. Технически, всегда работают над (фиксированным) базовым полем k , а рассматриваемые поля K и L должны содержать k . Тогда существенная размерность q определяется как наименьшая степень трансцендентности над k подполя L поля K, над которым q определено .

Формальное определение

Зафиксируем произвольное поле , и пусть Fields / k обозначает категорию конечно порожденных расширений поля k k с включениями в качестве морфизмов . Рассмотрим (ковариантный) функтор F : Fields / k → Set .Для расширения поля K / k и элемента a из F ( K / k ) поле определения a является промежуточным полем K / L / k таким, что a содержится в образе отображения F ( L / k ) → F ( K / k индуцированный включением L в K. ) ,

Существенная размерность a , обозначаемая ed( a ), является наименьшей степенью трансцендентности (над k ) поля определения для a . Существенная размерность функтора F , обозначаемая ed( F ), является супремумом ed( a ), взятым по всем элементам a из F ( K / k ) и объектам K / k из Fields / k .

Примеры

• Существенная размерность квадратичных форм : для натурального числа n рассмотрим функтор Q _n : Fields / k → Set, берущий расширение поля K / k до множества классов изоморфизма невырожденных n -мерных квадратных форм над K и берущий морфизм L / k → K / k (заданное включением L в K ) в отображение, переводящее класс изоморфизма квадратичной формы q : V → L в класс изоморфизма квадратичной формы $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$.
• Существенная размерность алгебраических групп : для алгебраической группы G над k обозначим H ¹ (−, G ) : Fields / k → Установите функтор, переводящий расширение поля K / k , в множество классов изоморфизма G - торсоров над K (в fppf -топологии). Существенная размерность этого функтора называется существенной размерностью алгебраической группы G и обозначается ed( G ).
• Существенная размерность расслоенной категории : пусть ${\mathcal {F}}$ быть категорией, наслоенной на категорию $Aff/k$ аффинных k -схем, заданных функтором $p:{\mathcal {F}}\to Aff/k.$ Например, ${\mathcal {F}}$ может быть стек модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ кривых рода g или классифицирующего стека ${\mathcal {BG}}$ алгебраической группы. Предположим, что для каждого $A\in Aff/k$ классы изоморфизма объектов в слое p ⁻¹ ( A ) образуют множество. Тогда мы получаем функтор F _p : Fields / k → Set, переводящий расширение поля K / k в множество классов изоморфизма в слое $p^{-1}(Spec(K))$. Существенное измерение расслоенной категории ${\mathcal {F}}$ определяется как существенная размерность соответствующего функтора F _p . В случае классифицирующего стека ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ алгебраической группы G это значение совпадает с ранее определенной существенной размерностью G .

результаты

• Существенная размерность линейной алгебраической группы G всегда конечна и ограничена минимальной размерностью генерически свободного представления за вычетом размерности G .
• Для G спиновой группы над алгебраически замкнутым полем k существенная размерность указана в OEIS : A280191 .
• Существенная размерность конечной алгебраической p -группы над k равна минимальной размерности точного представления при условии, что базовое поле k содержит примитивный корень p -й степени из единицы .
• Существенная размерность симметрической группы S _n (рассматриваемой как алгебраическая группа над k ) известна для n ≤ 5 (для каждого базового поля k ), для n = 6 (для k характеристики, отличной от 2) и для n = 7 (в характеристика 0).
• Пусть T — алгебраический тор, допускающий поле разложения Галуа L / k степени простого числа p . Тогда существенная размерность T равна наименьшему рангу ядра гомоморфизма Gal ( L / k ) -решеток P → X ( T ) с конечным коядром и порядка, взаимно простого с p , где P — решетка перестановок.