Расширение поля

В математике , особенно в алгебре , расширение поля (обозначаемое $L/K$ ) — пара полей $K\subseteq L$ , такие, что операции K являются операциями L ограниченными K , . случае L — поле расширения K , а K — подполе L. этом В ^[1]^[2]^[3] Например, согласно обычным понятиям сложения и умножения , комплексные числа являются полем расширения действительных чисел ; действительные числа являются подполем комплексных чисел.

Расширения полей играют фундаментальную роль в теории алгебраических чисел , а также при изучении корней многочленов с помощью теории Галуа и широко используются в алгебраической геометрии .

Подполе

Подполе $K$ поля $L$ является подмножеством $K\subseteq L$ это поле относительно полевых операций, унаследованных от $L$ . Аналогично, подполе — это подмножество, содержащее $1$ , и замыкается относительно операций сложения, вычитания, умножения и обратного ненулевого элемента $K$ .

Поскольку $1 - 1 = 0$ , последнее определение подразумевает $K$ и $L$ имеют одинаковый нулевой элемент.

Например, поле рациональных чисел — это подполе действительных чисел , которое само по себе является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики $0$ .

Характеристика подполя такая же , как и характеристика большего поля.

Поле расширения

Если K является подполем L , то L является полем расширения или просто расширением K , и эта пара полей является расширением поля . Такое расширение поля обозначается $L/K$ (читается как « L над К »).

Если L — расширение F , которое, в свою очередь, является расширением K , то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением или подрасширением ) поля. $L/K$ .

Учитывая расширение поля $L/K$ то большее поле L является K - векторным пространством . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается $[L:K]$ .

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение представляет собой тривиальное расширение . Расширения степени 2 и 3 называются квадратичными и кубическими расширениями соответственно. Конечное расширение — это расширение, имеющее конечную степень.

Учитывая два расширения $L/K$ и $M/L$ , расширение $M/K$ конечно тогда и только тогда, когда оба $L/K$ и $M/L$ конечны. В этом случае имеется

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

Учитывая расширение поля $L/K$ и подмножество S из L , существует наименьшее подполе L содержащее K и S. , Это пересечение всех подполей L , содержащих K и S , и обозначается K ( S ) (читается как « K примыкают к S "). Говорят, что ( S ) — поле, порождённое S K над K , и что S — порождающее множество K ( S ) над K. Когда $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ конечно, пишут $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ вместо $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),$ и говорят, что K ( S ) конечно порождено над K . Если S состоит из одного элемента s , расширение K ( s )/ K называется простым расширением. ^[4]^[5] и s называется примитивным элементом расширения. ^[6]

Часто говорят , что поле расширения формы K ( S ) возникает в результате присоединение S к K. ^[7]^[8]

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивном элементе , которая не справедлива для полей ненулевой характеристики.

расширение K ( s )/ K не конечно, поле K ( s ) изоморфно полю рациональных дробей в s над K. Если простое

Предостережения

Обозначение L / K является чисто формальным и не предполагает образования факторкольца или факторгруппы или какого-либо другого вида деления. Вместо этого косая черта обозначает слово «над». обозначение L : K В некоторой литературе используется .

Часто желательно говорить о расширении поля в ситуациях, когда маленькое поле фактически не содержится в большем, а естественным образом встроено. Для этой цели абстрактно определяют расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями. Каждый ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, поскольку поля не обладают нетривиальными собственными идеалами , поэтому расширения полей являются в точности морфизмами в категории полей .

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и считать, что имеем дело с реальными подполями.

Примеры

Поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ является полем расширения поля действительных чисел $\mathbb {R}$ , и $\mathbb {R}$ в свою очередь является полем расширения поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ . Ясно тогда, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ также является расширением поля. У нас есть $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ потому что $\{1,i\}$ является базисом, поэтому расширение $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ конечно. Это простое расширение, потому что $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ ( мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно.

Поле

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

является полем расширения $\mathbb {Q} ,$ также явно простое расширение. Степень равна 2, потому что $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ может служить основой.

Поле

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

является полем расширения обоих $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ и $\mathbb {Q} ,$ 2 и 4 степени соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

Конечные расширения $\mathbb {Q}$ называются также полями алгебраических чисел и играют важную роль в теории чисел . Другое поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, - это поле p-адических чисел. $\mathbb {Q} _{p}$ для простого числа p .

Обычно поле расширения данного поля K строится как факторкольцо K кольца полиномов [ X ] для того, чтобы «создать» корень для данного многочлена f ( X ). Предположим, например, что K не содержит ни одного элемента x с x ² = −1. Тогда полином $X^{2}+1$ неприводим идеал в K [ X ], следовательно, , порожденный этим многочленом , максимален и $L=K[X]/(X^{2}+1)$ является полем расширения K которое содержит элемент, квадрат которого равен −1 (а именно класс вычетов X , ).

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле разложения любого многочлена из K [ X ]. Это поле расширения L поля K , в котором данный полином распадается в произведение линейных множителей.

Если p — любое простое число и n — целое положительное число, существует единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле. $GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}$ с п ^н элементы; это поле расширения простого поля $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ с p- элементами.

Учитывая поле K , мы можем рассмотреть поле K ( X ) всех рациональных функций от переменной X с коэффициентами из K ; элементы K ( X ) являются дробями двух многочленов над K , и действительно K ( X ) является полем частных кольца многочленов K [ X ]. Это поле рациональных функций является полем K. расширения Это расширение бесконечно.

Для римановой поверхности M множество всех мероморфных функций, определенных на M, представляет собой поле, обозначаемое через $\mathbb {C} (M).$ Это трансцендентальное поле расширения $\mathbb {C}$ если мы отождествим каждое комплексное число с соответствующей постоянной функцией, определенной на M . В более общем смысле, учитывая алгебраическое многообразие V над некоторым полем K , функциональное поле K ( V рациональных функций, определенных на V , является полем расширения K. ), состоящее из

Алгебраическое расширение

Элемент x расширения поля $L/K$ является алгебраическим над K , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из K . Например, ${\sqrt {2}}$ алгебраична по рациональным числам, так как является корнем $x^{2}-2.$ Если элемент x из L является алгебраическим над K , унитарный многочлен наименьшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом от x . Этот минимальный полином неприводим над K .

Элемент s из L является алгебраическим над K тогда и только тогда, когда простое расширение K ( s )/ K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис K - векторного пространства K ( s ) состоит из $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$ где d — степень минимального многочлена.

Множество элементов L , которые являются алгебраическими над K, подрасширение, которое называется алгебраическим замыканием K образуют в L . Это следует из предыдущей характеристики: если s и t алгебраичны, расширения K ( s )/ K и K ( s )( t )/ K ( s ) конечны. Таким образом, K ( s , t )/ K также конечно, как и подрасширения K ( s ± t )/ K , K ( st )/ K и K (1/ s )/ K (если s ≠ 0 ). Отсюда следует, что s ± t , st и 1/ s все алгебраические.

Алгебраическое расширение $L/K$ — такое расширение, что каждый элемент алгебраичен над K. L Эквивалентно, алгебраическое расширение — это расширение, порожденное алгебраическими элементами. Например, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ является алгебраическим расширением $\mathbb {Q}$ , потому что ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ являются алгебраическими по $\mathbb {Q} .$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно представляет собой объединение своих конечных подрасширений и что каждое конечное расширение алгебраично.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с точностью до изоморфизма является наибольшим полем расширения K , алгебраическим над K , а также наименьшим полем расширения, в котором каждый многочлен с коэффициентами из K имеет в нем корень. Например, $\mathbb {C}$ является алгебраическим замыканием $\mathbb {R}$ , но не алгебраическое замыкание $\mathbb {Q}$ , поскольку оно не является алгебраическим над $\mathbb {Q}$ (например, $π$ не является алгебраическим над $\mathbb {Q}$ ).

Трансцендентальное расширение

Учитывая расширение поля $L/K$ подмножество S множества L называется алгебраически независимым над K не существует нетривиального полиномиального отношения с коэффициентами из K. если среди элементов S , Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется трансцендентности степенью L / K . Всегда можно найти множество S , алгебраически независимое над K , такое, что L / K ( S ) алгебраично. множество S называется базисом трансцендентности L / Такое K . Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение $L/K$ Говорят, что это чисто трансцендентным тогда и только тогда, когда существует базис S трансцендентности $L/K$ такой, что L = K ( S ). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементы L, кроме элементов K, трансцендентны над K , но, однако, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными — класс таких расширений принимает форму L / K , где оба L и K алгебраически замкнуты.

Если L / K чисто трансцендентно и S является базисом трансцендентности расширения, из этого не обязательно следует, что L = K ( S ). Напротив, даже если известен базис трансцендентности, может быть трудно решить, является ли расширение чисто сепарабельным, и если это так, может быть трудно найти базис трансцендентности S такой, что L = K ( S ).

Например, рассмотрим расширение $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,$ где $x$ является трансцендентным по отношению к $\mathbb {Q} ,$ и $y$ является корнем уравнения $y^{2}-x^{3}=0.$ Такое расширение можно определить как $\mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,$ в котором $x$ и $y$ являются эквивалентности классами $X$ и $Y.$ Очевидно, что одноэлементное множество $\{x\}$ является трансцендентным по отношению к $\mathbb {Q}$ и расширение $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)$ является алгебраическим; следовательно $\{x\}$ является базисом трансцендентности, не порождающим расширения $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)$ . Сходным образом, $\{y\}$ является базисом трансцендентности, который не порождает всего расширения. Однако расширение является чисто трансцендентным, поскольку, если положить $t=y/x,$ у одного есть $x=t^{2}$ и $y=t^{3},$ и таким образом $t$ генерирует все расширение.

Чисто трансцендентные расширения алгебраически замкнутого поля возникают как функциональные поля многообразий рациональных . Проблема нахождения рациональной параметризации рационального многообразия эквивалентна проблеме нахождения базиса трансцендентности, порождающего все расширение.

Нормальные, сепарабельные расширения и расширения Галуа.

Алгебраическое расширение $L/K$ называется нормальным если каждый неприводимый многочлен из K [ X ], имеющий корень в L, полностью разлагается на линейные сомножители над L. , Каждое алгебраическое расширение F / K допускает нормальное замыкание L , которое является полем расширения F таким, что $L/K$ является нормальным и минимальным при этом свойстве.

Алгебраическое расширение $L/K$ называется сепарабельным, минимальный многочлен каждого элемента L над K сепарабельен , т. е. не имеет повторяющихся корней в алгебраическом замыкании над K. если Расширение Галуа — это расширение поля, которое одновременно является нормальным и сепарабельным.

Следствие теоремы о примитивном элементе гласит, что каждое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Учитывая любое расширение поля $L/K$ , мы можем рассмотреть его группу автоморфизмов ${\text{Aut}}(L/K)$ , состоящий из всех полевых автоморфизмов α : L → L с α ( x ) = x для всех x в K . Когда расширение является Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелева, называются абелевыми расширениями .

Для данного расширения поля $L/K$ , часто интересуются промежуточными полями F (подполями L , содержащими K ). Значение расширений Галуа и групп Галуа состоит в том, что они позволяют полное описание промежуточных полей: существует биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемая фундаментальной теоремой теории Галуа .

Обобщения

Расширения полей можно обобщить до кольцевых расширений , состоящих из кольца и одного из его подколец . Ближайшим некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (ЦСА) – расширения колец над полем, которые являются простой алгеброй (без нетривиальных двусторонних идеалов, как для поля) и в которых центром кольца является в точности поле. Например, единственным конечным расширением поля действительных чисел являются комплексные числа, в то время как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами Брауэровски эквивалентны действительным числам или кватернионам. CSA можно далее обобщить на алгебры Азумая , где базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом .

Расширение скаляров

Учитывая расширение поля, можно « расширить скаляры » на связанные алгебраические объекты. Например, имея реальное векторное пространство, можно создать комплексное векторное пространство посредством комплексификации . В дополнение к векторным пространствам можно выполнять расширение скаляров для ассоциативных алгебр, определенных над полем, таких как полиномы или групповые алгебры и связанные с ними групповые представления . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество применений, как обсуждалось в разделе «Расширение скаляров: приложения» .

См. также

Примечания

^ Фрэли (1976 , стр. 293)
^ Херштейн (1964 , стр. 167)
^ Маккой (1968 , стр. 116)
^ Фрэли (1976 , стр. 298)
^ Херштейн (1964 , стр. 193)
^ Фрэли (1976 , стр. 363)
^ Фрэли (1976 , стр. 319)
^ Херштейн (1964 , стр. 169)

Ссылки

Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225

Внешние ссылки

«Расширение поля» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Фрэли (1976 , стр. 293)

[2] Херштейн (1964 , стр. 167)

[3] Маккой (1968 , стр. 116)

[4] Фрэли (1976 , стр. 298)

[5] Херштейн (1964 , стр. 193)

[6] Фрэли (1976 , стр. 363)

[7] Фрэли (1976 , стр. 319)

[8] Херштейн (1964 , стр. 169)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]