Подкольцо
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Ноябрь 2018 г. ) |
| Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
|---|
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7b4e5c999e46c7614c3264b1d80708f4363433)
В математике подкольцо подмножество R бинарные — это кольца , которое само по себе является кольцом, когда операции сложения и умножения на R ограничены этим подмножеством, и которое имеет ту же мультипликативную идентичность что и R. , (Обратите внимание, что подмножество кольца R не обязательно должно быть кольцом.) Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативного тождества, подкольцо R — это просто подмножество R , которое является кольцом для операций R ( это подразумевает, что он содержит аддитивную идентичность R ). Последнее дает строго более слабое условие даже для колец, которые имеют мультипликативное тождество, так что, например, все идеалы становятся подкольцами (и они могут иметь мультипликативное тождество, отличное от тождества R ). Поскольку определение требует мультипликативного тождества (которое используется в этой статье), единственным идеалом R , который является подкольцом R, является R. само
Определение [ править ]
Подкольцо кольца ( R , +, ∗, 0, 1) — это подмножество S кольца R , сохраняющее структуру кольца, т. е. кольцо ( S , +, ∗, 0, 1) такое, что S ⊆ R . , это одновременно подгруппа ( R Эквивалентно 0) и подмоноид ( , + , R , ∗, 1) .
Примеры [ править ]
Кольцо и его коэффициенты не имеют подколец (с мультипликативной единицей), кроме полного кольца. [1] : 228
Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу. где n — неотрицательное целое число (см. Характеристика ). Целые числа соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку изоморфен . [2] : 89–90
Кольцо расщепленных кватернионов имеет подкольца, изоморфные кольцам двойственных чисел , расщепленным комплексным числам комплексных чисел и полю .
Тест подкольца [ править ]
Тест подкольца — это теорема которая утверждает, что для любого кольца R подмножество кольца S R R является подкольцом тогда и только тогда, когда оно содержит мультипликативное тождество , и замкнуто относительно умножения и вычитания. [1] : 228
Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поля действительных чисел , а также подкольцом кольца многочленов Z [ X ].
Центр [ править ]
Центр кольца — это совокупность элементов кольца, коммутирующих со всеми остальными элементами кольца. То есть x принадлежит центру кольца R, если для каждого
Центр кольца R является подкольцом кольца R , а R — ассоциативной алгеброй над своим центром.
Главное Подкольцо [ править ]
Пересечение всех подколец кольца R представляет собой подкольцо, которое можно назвать простым подкольцом кольца R. аналогии с простыми полями по
Первичным подкольцом кольца R называется подкольцо центра кольца R , изоморфное либо кольцу целых чисел или в кольцо целых чисел по модулю n , где n — наименьшее положительное целое число, такое, что сумма n копий 1 равна 0 .
Расширения кольца [ править ]
Если S — подкольцо кольца R , то, что эквивалентно называется расширением кольца S. , R
Подкольцо, созданное набором [ править ]
Пусть R — кольцо. Любое пересечение подколец R снова является подкольцом R . Следовательно, если X — любое подмножество R , пересечение всех подколец R , содержащих X, подкольцом S из R. является Это подкольцо является наименьшим подкольцом R содержащим X. , («Наименьшее» означает, что если T любое другое подкольцо R , содержащее X , то S содержится в T. ) Говорят, что S — подкольцо R порожденное , X. — Если S = R, кольцо R порождается кольцом X. мы можем сказать , что
Подкольцо, порожденное X, представляет собой набор всех линейных комбинаций с целыми коэффициентами произведений элементов X (включая пустую линейную комбинацию, которая равна 0, и пустое произведение, равное 1).
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
- Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. стр. 14–16. ISBN 0-05-002192-3 .
- Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9 .
- Ланг, Серж (2002). Алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк. ISBN 978-0387953854 .
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . стр. 15–17 . ISBN 0-521-33718-6 .