Теорема Ли – Колчина

В математике теорема Ли –Колчина — теорема теории представлений линейных алгебраических групп ; Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли .

Он утверждает, что если G — связная и разрешимая линейная алгебраическая группа, определенная над алгебраически замкнутым полем и

$\rho \colon G\to GL(V)$

представление V в ненулевом конечномерном векторном пространстве , то существует одномерное линейное подпространство L пространства V такое, что

$\rho (G)(L)=L.$

То есть ρ( G ) имеет инвариантную прямую L , на которой G поэтому действует через одномерное представление. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v , который является общим (одновременным) собственным вектором для всех $\rho (g),\,\,g\in G$.

Отсюда непосредственно следует, что всякое неприводимое конечномерное представление связной и разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность единица. Фактически, это еще один способ сформулировать теорему Ли–Колчина.

Этот результат для алгебр Ли был доказан Софусом Ли ( 1876 ), а для алгебраических групп — Эллисом Колчином ( 1948 , с.19).

Теорема Бореля о неподвижной точке обобщает теорему Ли – Колчина.

Триангуляризация

Иногда эту теорему также называют теоремой о триангуляризации Ли–Колчина, поскольку по индукции из нее следует, что относительно подходящего базиса V образ $\rho (G)$ имеет треугольную форму ; другими словами, группа изображений $\rho (G)$ сопряжено в GL( n , K ) (где n = dim V ) с подгруппой группы T верхнетреугольных матриц, стандартной борелевской подгруппой GL( n , K ): образ одновременно триангуляризуем .

Теорема применима, в частности, к подгруппе полупростой борелевской линейной алгебраической группы G .

Контрпример

Если поле K не является алгебраически замкнутым, теорема может оказаться неверной. Стандартный единичный круг , рассматриваемый как набор комплексных чисел. $\{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}$ по абсолютной величине единица — это одномерная коммутативная (и, следовательно, разрешимая) линейная алгебраическая группа над действительными числами, имеющая двумерное представление в специальную ортогональную группу SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. Вот изображение $\rho (z)$ из $z=x+iy$ ортогональная матрица

${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.$

Ссылки

• Горбацевич, В.В. (2001) [1994], «Теорема Ли-Колчина» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Колчин, Э.Р. (1948), «Алгебраические матричные группы и теория Пикара-Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Анналы математики , вторая серия, 49 (1): 1–42, doi : 10.2307/1969111 , ISSN   0003- 486С , ДЖСТОР   1969111 , МР   0024884 , Збл   0037,18701
• Ли, Софус (1876), «Теория трансформаций. Abhandlung II» , Архив Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 152–193.
• Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979], «10. Нильпотентные и разрешимые группы §10.2 Теорема триангуляризации Ли-Колчина» , Введение в схемы аффинных групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 66, Спрингер, стр. 74–75, ISBN.  978-1-4612-6217-6