Категория Вальдхаузена

В математике категория Вальдхаузена — это категория C дополнительными данными, что позволяет построить K-теорийный спектр C , снабженная некоторыми с помощью так называемой S-конструкции . Он назван в честь Фридхельма Вальдхаузена , который ввел это понятие (под термином «категория с корасслоениями и слабыми эквивалентностями ») для распространения методов алгебраической К-теории на категории не обязательно алгебраического происхождения, например категорию топологических пространств .

Определение

Пусть C — категория, co( C ) и we( C ) — два класса морфизмов в C , называемые корасслоениями и слабыми эквивалентностями соответственно. Тройка ( C , co( C ), we( C )) называется категорией Вальдхаузена , если она удовлетворяет следующим аксиомам, мотивированным аналогичными свойствами понятий корасслоений и слабой гомотопической эквивалентности топологических пространств:

C имеет нулевой объект , обозначенный 0;
изоморфизмы включены как в co( C ), так и в we( C );
co( C ) и we( C ) замкнуты относительно композиции;
для каждого объекта A ∈ C единственное отображение 0 → A является корасслоением, т. е. является элементом co( C );
co( C ) и we( C ) совместимы с выталкиваниями в определенном смысле.

Например, если $\scriptstyle A\,\rightarrowtail \,B$ является кофибрацией и $\scriptstyle A\,\to \,C$ есть любая карта, то должно существовать выталкивание $\scriptstyle B\,\cup _{A}\,C$ , и естественная карта $\scriptstyle C\,\rightarrowtail \,B\,\cup _{A}\,C$ должна быть кофибрация:

Отношения с другими понятиями

В алгебраической K-теории и гомотопической теории существует несколько понятий категорий, наделенных некоторыми заданными классами морфизмов. Если C имеет структуру точной категории , то, определив we( C ) как изоморфизмы, а co( C ) как допустимые мономорфизмы, можно получить структуру категории Вальдхаузена на C . Оба типа структуры могут использоваться для определения K-теории C S , используя Q-конструкцию для точной структуры и -конструкцию для структуры Вальдхаузена. Важным фактом является то, что полученные пространства K-теории гомотопически эквивалентны.

Если C — модельная категория с нулевым объектом, то полной подкатегории кофибрантных объектов в C может быть присвоена структура Вальдхаузена.

S-конструкция

производит S-конструкция Вальдхаузена из категории C Вальдхаузена последовательность комплексов Кана. $S_{n}(C)$ , что образует спектр . Позволять $K(C)$ обозначим пространство петель геометрической реализации $|S_{*}(C)|$ из $S_{*}(C)$ . Затем группа

\pi _{n}K(C)=\pi _{n+1}|S_{*}(C)|

является n -й K -группой C . Таким образом, это дает возможность определить высшие K -группы. Другой подход к высшей K -теории — это Q-конструкция Квиллена .

Строительство принадлежит Фридхельму Вальдхаузену .

категории биВальдхаузена

Категория C оснащена бирасслоениями, если она имеет корасслоения и противоположную ей категорию C. ^НА тоже так есть. В этом случае мы обозначаем расслоения C ^НА по quot( C ). В этом случае C является бивальдхаузеновской категорией , если C имеет бирасслоения и слабые эквивалентности такие, что и ( C , co( C ), we) и ( C ^НА, quot( C ), мы ^НА) являются категориями Вальдхаузена.

Категории Вальдхаузена и биВальдхаузена связаны с алгебраической К-теорией . Там много интересных категорий являются сложными бивальдхаузенскими категориями. Например: Категория $\scriptstyle C^{b}({\mathcal {A}})$ ограниченных цепных комплексов на точной категории $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ .Категория $\scriptstyle S_{n}{\mathcal {C}}$ функторов $\scriptstyle \operatorname {Ar} (\Delta ^{n})\,\to \,{\mathcal {C}}$ когда $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ это так.И учитывая диаграмму $\scriptstyle I$ , затем $\scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}$ является хорошей комплиментарной бивальдхаузеновской категорией, когда $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ является.