К -теория категории

В алгебраической K -теории K - теория категории C (обычно снабженная какими - либо дополнительными данными) представляет собой последовательность ассоциированных с ней абелевых групп K _i ( C ). Если С — абелева категория , то нет необходимости в дополнительных данных, но вообще о К-теории имеет смысл говорить только после указания на С структуры точной категории , или категории Вальдхаузена , или дг- категория или, возможно, некоторые другие варианты. Таким образом, существует несколько конструкций этих групп, соответствующих разного рода структурам, поставленным на C . Традиционно K -теория C определяется как результат подходящей конструкции, но в некоторых контекстах существуют более концептуальные определения. Например, K -теория является «универсальным аддитивным инвариантом» dg-категорий. и малые стабильные ∞-категории .

Мотивация этого понятия исходит из алгебраической K- колец теории . Для кольца R Дэниел Квиллен в книге Квиллен (1973) предложил два эквивалентных способа найти высшую K-теорию. Конструкция «плюс» выражает K _i ( R ) напрямую через R , но доказать свойства результата, в том числе такие базовые, как функториальность, сложно. Другой способ — рассмотреть точную категорию проективных модулей над R и определить K _i ( R ) как K-теорию этой категории, определенную с помощью Q-конструкции . Этот подход оказался более полезным и мог быть применен и к другим конкретным категориям. Позже Фридхельм Вальдхаузен в своей работе «Вальдхаузен» (1985) расширил понятие К-теории еще дальше, на самые разные виды категорий, включая категорию топологических пространств .

категорий Вальдхаузена

В алгебре S-конструкция — это конструкция алгебраической K-теории , которая создает модель, которую можно использовать для определения высших K-групп. Оно принадлежит Фридхельму Вальдхаузену и относится к категории с корасслоениями и слабыми эквивалентностями; такая категория называется категорией Вальдхаузена Квиллена и обобщает точную категорию . Корасслоение можно рассматривать как аналог мономорфизма , а категория с корасслоениями — это категория, в которой, грубо говоря, мономорфизмы устойчивы относительно выталкиваний . По словам Вальдхаузена, буква «S» была выбрана для обозначения Грэма Б. Сигала .

В отличие от Q-конструкции , которая создает топологическое пространство, S-конструкция создает симплициальное множество .

Подробности

Категория стрелки $Ar(C)$ категории C — это категория, объектами которой являются морфизмы в C а морфизмами — квадраты в C. , Пусть конечное упорядоченное множество $[n]=\{0<1<2<\cdots <n\}$ рассматриваться как категория обычным способом.

Пусть C — категория с корасслоениями и пусть $S_{n}C$ быть категорией, объекты которой являются функторами $f:Ar[n]\to C$ такой, что для $i\leq j\leq k$, $f(i=i)=*$, $f(i\leq j)\to f(i\leq k)$ является кофибрацией, и $f(j\leq k)$ это выталкивание $f(i\leq j)\to f(i\leq k)$ и $f(i\leq j)\to f(j=j)=*$. Категория $S_{n}C$ определенное таким образом, само по себе является категорией с корасслоениями. Поэтому можно повторять конструкцию, образуя последовательность $S^{(m)}C=S\cdots SC$. Эта последовательность представляет собой спектр, спектром K-теории C называемый .

Теорема аддитивности

Большинство основных свойств алгебраической K-теории категорий являются следствиями следующей важной теоремы. Есть его версии во всех доступных настройках. Вот утверждение для категорий Вальдхаузена. В частности, он используется, чтобы показать, что последовательность пространств, полученная с помощью итерированной S-конструкции, является Ω-спектром .

Пусть C — категория Вальдхаузена . Категория расширений ${\mathcal {E}}(C)$ имеет в качестве объектов последовательности $A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow A'$ в C , где первое отображение является корасслоением, и $B\twoheadrightarrow A'$ является фактор-отображением, т.е. выталкиванием первого по нулевому отображению A → 0 . Эта категория имеет естественную структуру Вальдхаузена и функтор забывчивости. $[A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow A']\mapsto (A,A')$ от ${\mathcal {E}}(C)$ для C × C это учитывается. Теорема аддитивности утверждает, что индуцированное отображение пространств K-теории $K({\mathcal {E}}(C))\to K(C)\times K(C)$ является гомотопической эквивалентностью.

Для dg-категорий утверждение аналогично. Пусть C — малая предтриангулированная dg-категория с полуортогональным разложением $C\cong \langle C_{1},C_{2}\rangle$. Тогда отображение спектров K-теории K( C ) → K( C ₁ ) ⊕ K( C ₂ ) является гомотопической эквивалентностью. Фактически, К-теория является универсальным функтором, удовлетворяющим этому свойству аддитивности и инвариантности Морита .

Категория конечных множеств

Рассмотрим категорию точечных конечных множеств. В этой категории есть объект ${\textstyle k_{+}=\{0,1,\ldots ,k\}}$ для любого натурального числа k , а морфизмы в этой категории — это функции ${\textstyle f:m_{+}\to n_{+}}$ сохраняющие нулевой элемент. Теорема Барратта, Придди и Квиллена гласит, что алгебраическая К-теория этой категории представляет собой сферический спектр .

Разное

В более общем смысле в абстрактной теории категорий K-теория категории — это тип декатегорификации , при котором набор создается из класса эквивалентности объектов в стабильной (∞,1)-категории, где элементы набора наследуют абелевой группы Структура по точным последовательностям в категории.

Метод завершения группы

представляет Групповая конструкция Гротендика собой функтор из категории колец в категорию абелевых групп. Тогда высшая K -теория должна быть функтором из категории колец, но в категорию более высоких объектов, таких как симплициальные абелевы группы .

Топологические

Вальдхаузен ввел идею отображения следов алгебраической К -теории кольца в его гомологии Хохшильда ; с помощью этого отображения можно получить информацию о К -теории из гомологий Хохшильда. Бёкстедт факторизовал эту карту следов, что привело к идее функтора, известного как топологические гомологии Хохшильда спектра Эйленберга – Маклейна кольца .

К-теория симплициального кольца

Если R — постоянное симплициальное кольцо, то это то же самое, что К -теория кольца.

См. также

• Володин космос
• Котройная гомология

Ссылки

• Лурье, Дж. «Высшая алгебра» (PDF) . последнее обновление: август 2017 г.
• Тоен, Б.; Веццози, Г. (2004). «Замечание о K -теории и S -категориях». Топология . 43 (4): 765–791. arXiv : математика/0210125 . дои : 10.1016/j.top.2003.10.008 . S2CID   14744110 .
• Карлссон, Гуннар (2005). «Разделы в алгебраической K-теории» (PDF) . Во Фридлендере, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (ред.). Справочник по К-теории . Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 3–37. дои : 10.1007/978-3-540-27855-9_1 . ISBN  9783540230199 . S2CID   16536324 .
• Куиллен, Дэниел (1973), «Высшая алгебраическая K-теория. I», Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972) , конспекты лекций в Математика, том. 341, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 85–147, doi : 10.1007/BFb0067053 , ISBN.  978-3-540-06434-3 , МР   0338129
• Вальдхаузен, Фридхельм (1985). «Алгебраическая К-теория пространств» . Алгебраическая и геометрическая топология . Конспект лекций по математике. Том. 1126. стр. 318–419. дои : 10.1007/BFb0074449 . ISBN  978-3-540-15235-4 .
• Томасон, Роберт В. (1979). «Спектральные последовательности первого квадранта в алгебраической K-теории» (PDF) . Алгебраическая топология Орхус 1978 . Спрингер. стр. 332–355.
• Блумберг, Эндрю Дж; Гепнер, Дэвид; Табуада, Гонсалу (18 апреля 2013 г.). «Универсальная характеристика высшей алгебраической K-теории». Геометрия и топология . 17 (2): 733–838. arXiv : 1001.2282 . дои : 10.2140/gt.2013.17.733 . ISSN   1364-0380 . S2CID   115177650 .

Дальнейшее чтение

• Гейссер, Томас (2005). «Круговая карта следов и значения дзета-функций». Алгебра и теория чисел . Книжное агентство Индостан, Гургаон. стр. 211–225. arXiv : math/0406547 . дои : 10.1007/978-93-86279-23-1_14 . ISBN  978-81-85931-57-9 .

О недавнем подходе ∞-категорий см.

• Дайкерхофф, Тобиас; Капранов, Михаил (2019). Высшие пространства Сигала I . Конспект лекций по математике. Том. 2244. arXiv : 1212.3563 . дои : 10.1007/978-3-030-27124-4 . ISBN  978-3-030-27122-0 . S2CID   117874919 .