Полуортогональное разложение

В математике полуортогональное разложение — это способ разделить триангулированную категорию на более простые части. Один из способов создания полуортогонального разложения — использование исключительной коллекции , особой последовательности объектов в триангулированной категории. Для алгебраического многообразия X оказалось плодотворным изучение полуортогональных разложений ограниченной производной категории когерентных пучков : ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ .

Полуортогональное разложение

Алексей Бондал и Михаил Капранов (1989) определили полуортогональное разложение триангулированной категории. ${\mathcal {T}}$ быть последовательностью ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}$ триангулированных подкатегорий строго полных , таких что: ^[1]

для всех $1\leq i<j\leq n$ и все объекты $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ и $A_{j}\in {\mathcal {A}}_{j}$ , каждый морфизм из $A_{j}$ к $A_{i}$ равен нулю. То есть «нет морфизмов справа налево».
${\mathcal {T}}$ генерируется ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}$ . То есть наименьшая строго полная триангулированная подкатегория ${\mathcal {T}}$ содержащий ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}$ равно ${\mathcal {T}}$ .

Обозначения ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle$ используется для полуортогонального разложения.

Полуортогональное разложение означает, что каждый объект ${\mathcal {T}}$ имеет каноническую «фильтрацию», чьи градуированные произведения находятся (последовательно) в подкатегориях. ${\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}$ . То есть для каждого объекта T из ${\mathcal {T}}$ , существует последовательность

0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{0}=T

морфизмов в ${\mathcal {T}}$ такой, конус что $T_{i}\to T_{i-1}$ находится в ${\mathcal {A}}_{i}$ , для каждого я . Более того, эта последовательность единственна с точностью до единственного изоморфизма. ^[2]

Можно также рассмотреть «ортогональные» разложения триангулированной категории, потребовав отсутствия морфизмов из ${\mathcal {A}}_{i}$ к ${\mathcal {A}}_{j}$ для любого $i\neq j$ . Однако это свойство слишком сильно для большинства целей. Например, для (неприводимого) гладкого проективного многообразия X над полем ограниченная производная категория ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ когерентных пучков никогда не имеет нетривиального ортогонального разложения, тогда как, согласно примерам ниже, оно может иметь полуортогональное разложение.

Полуортогональное разложение триангулированной категории можно рассматривать как аналог конечной фильтрации абелевой группы . Альтернативно можно рассмотреть полуортогональное разложение ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle$ как ближе к расщепленной точной последовательности , потому что точная последовательность $0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}\to 0$ триангулированных категорий разбивается на подкатегорию ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}$ , изоморфно отображающий ${\mathcal {T}}/{\mathcal {A}}$ .

Используя это наблюдение, полуортогональное разложение ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}}_{1},\ldots ,{\mathcal {A}}_{n}\rangle$ подразумевает прямой суммы расщепление групп Гротендика :

K_{0}({\mathcal {T}})\cong K_{0}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{0}({\mathcal {A_{n}}}).

Например, когда ${\mathcal {T}}={\text{D}}^{\text{b}}(X)$ — ограниченная производная категория когерентных пучков на гладком проективном многообразии X , $K_{0}({\mathcal {T}})$ можно отождествить с группой Гротендика $K_{0}(X)$ алгебраических векторных расслоений на X . В этой геометрической ситуации, используя это ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ происходит из dg-категории дает расщепление всех алгебраических K-групп X , полуортогональное разложение фактически :

K_{i}(X)\cong K_{i}({\mathcal {A}}_{1})\oplus \cdots \oplus K_{i}({\mathcal {A_{n}}})

для всех я . ^[3]

Допустимая подкатегория

Один из способов создания полуортогонального разложения — из допустимой подкатегории. По определению, полная триангулированная подкатегория ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}$ допустимо слева, если функтор включения $i\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {T}}$ имеет левый сопряженный функтор , записанный $i^{*}$ . Так же, ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {T}}$ допустимо справа, если включение имеет правый сопряженный, записанный $i^{!}$ , и оно допустимо, если оно допустимо как слева, так и справа.

Правая допустимая подкатегория ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}$ определяет полуортогональное разложение

{\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {B}}^{\perp },{\mathcal {B}}\rangle

,

где

{\mathcal {B}}^{\perp }:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} ({\mathcal {B}},T)=0\}

является ортогоналом правым ${\mathcal {B}}$ в ${\mathcal {T}}$ . ^[2] Обратно, каждое полуортогональное разложение ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle$ возникает таким образом, в том смысле, что ${\mathcal {B}}$ является допустимым и ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}^{\perp }$ . Аналогично для любого полуортогонального разложения ${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle$ , подкатегория ${\mathcal {A}}$ остается допустимым, и ${\mathcal {B}}={}^{\perp }{\mathcal {A}}$ , где

{}^{\perp }{\mathcal {A}}:=\{T\in {\mathcal {T}}:\operatorname {Hom} (T,{\mathcal {A}})=0\}

является ортогоналом левым ${\mathcal {A}}$ .

Если ${\mathcal {T}}$ — ограниченная производная категория гладкого проективного многообразия над полем k , то каждая допустимая слева или справа подкатегория из ${\mathcal {T}}$ на самом деле допустимо. ^[4] Согласно результатам Бондаля и Мишеля Ван ден Берга , это справедливо в более общем плане для ${\mathcal {T}}$ любая правильная правильная триангулированная категория, которая является идемпотентно-полной . ^[5]

Более того, для регулярной собственной идемпотентно-полной триангулированной категории ${\mathcal {T}}$ , полная триангулированная подкатегория допустима тогда и только тогда, когда она регулярна и идемпотентно-полна. Эти свойства присущи подкатегории. ^[6] Например, для X — гладкое проективное многообразие, а Y — подмногообразие, не равное X , подкатегория ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ объектов, поддерживаемых на Y, недопустимо.

Исключительная коллекция

Пусть k — поле, и пусть ${\mathcal {T}}$ быть k -линейной триангулированной категорией. Объект E ${\mathcal {T}}$ называется исключительным , если Hom( E , E ) = k и Hom( E , E [ t ]) = 0 для всех ненулевых целых чисел t , где [ t ] — функтор сдвига в ${\mathcal {T}}$ . (В производной категории гладкого комплексного проективного многообразия X первого порядка пространство деформации объекта E есть $\operatorname {Ext} _{X}^{1}(E,E)\cong \operatorname {Hom} (E,E[1])$ , поэтому исключительный объект является особенно жестким. Отсюда, например, следует, что исключительных объектов в ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ , с точностью до изоморфизма. Это помогает объяснить название.)

Триангулированная подкатегория, порожденная исключительным объектом E, эквивалентна производной категории. ${\text{D}}^{\text{b}}(k)$ конечномерных k -векторных пространств, простейшей триангулированной категории в этом контексте. (Например, каждый объект этой подкатегории изоморфен конечной прямой сумме сдвигов E .)

Алексей Городенцев и Алексей Рудаков (1987) определили исключительную коллекцию как последовательность исключительных объектов. $E_{1},\ldots ,E_{m}$ такой, что $\operatorname {Hom} (E_{j},E_{i}[t])=0$ для всех i < j и всех целых чисел t . (То есть «нет морфизмов справа налево».) В правильной триангулированной категории ${\mathcal {T}}$ над k , например, в ограниченной производной категории когерентных пучков на гладком проективном многообразии, каждая исключительная коллекция порождает допустимую подкатегорию и, таким образом, определяет полуортогональное разложение:

{\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {A}},E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ,

где ${\mathcal {A}}=\langle E_{1},\ldots ,E_{m}\rangle ^{\perp }$ , и $E_{i}$ обозначает полную триангулированную подкатегорию, созданную объектом $E_{i}$ . ^[7] Исключительная коллекция называется полной , если подкатегория ${\mathcal {A}}$ равен нулю. (Таким образом, полная исключительная коллекция разбивает всю триангулированную категорию на конечное число копий. ${\text{D}}^{\text{b}}(k)$ .)

В частности, если X — гладкое проективное многообразие такое, что ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ имеет полную исключительную коллекцию $E_{1},\ldots ,E_{m}$ , то группа Гротендика алгебраических векторных расслоений на X является свободной абелевой группой на классах этих объектов:

K_{0}(X)\cong \mathbb {Z} \{E_{1},\ldots ,E_{m}\}.

Гладкое комплексное проективное многообразие X с полным исключительным набором должно иметь тривиальную теорию Ходжа в том смысле, что $h^{p,q}(X)=0$ для всех $p\neq q$ ; более того, карта классов циклов $CH^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X,\mathbb {Q} )$ должен быть изоморфизмом. ^[8]

Примеры

Оригинальный пример полного исключительного набора был открыт Александром Бейлинсоном (1978): производная категория проективного пространства над полем имеет полный исключительный набор.

{\text{D}}^{\text{b}}(\mathbf {P} ^{n})=\langle O,O(1),\ldots ,O(n)\rangle

,

где O( j ) для целых чисел j — линейные расслоения в проективном пространстве . ^[9] Полные исключительные коллекции построены также на всех гладких проективных торических многообразиях , поверхностях дель Пеццо , многих проективных однородных многообразиях и некоторых других многообразиях Фано . ^[10]

В более общем смысле, если X — гладкое проективное многообразие положительной размерности такое, что когерентных пучков когомологий группы $H^{i}(X,O_{X})$ равны нулю при i > 0, то объект $O_{X}$ в ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ является исключительным и поэтому индуцирует нетривиальное полуортогональное разложение ${\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle (O_{X})^{\perp },O_{X}\rangle$ . к каждому многообразию Фано над полем нулевой характеристики Это относится , например, . Это относится и к некоторым другим разновидностям, например к поверхностям Энриквеса и некоторым поверхностям общего типа .

Источником примеров является раздутая формула Орлова, касающаяся раздутия $X=\operatorname {Bl} _{Z}(Y)$ схемы $Y$ в коразмерности $k$ локально полная подсхема пересечения $Z$ с исключительным расположением $\iota :E\simeq \mathbb {P} _{Z}(N_{Z/Y})\to X$ . Имеется полуортогональное разложение $D^{b}(X)=\langle \Phi _{1-k}(D^{b}(Z)),\ldots ,\Phi _{-1}(D^{b}(Z)),\pi ^{*}(D^{b}(Y))\rangle$ где $\Phi _{i}:D^{b}(Z)\to D^{b}(X)$ это функтор $\Phi _{i}(-)=\iota _{*}({\mathcal {O}}_{E}(k))\otimes p^{*}(-))$ с $p:X\to Y$ это естественная карта. ^[11]

Хотя эти примеры охватывают большое количество хорошо изученных производных категорий, многие естественные триангулированные категории «неразложимы». В частности, для гладкого проективного многообразия X которого , каноническое расслоение $K_{X}$ не имеет базовых точек , каждое полуортогональное разложение ${\text{D}}^{\text{b}}(X)=\langle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\rangle$ тривиально в том смысле, что ${\mathcal {A}}$ или ${\mathcal {B}}$ должно быть равно нулю. ^[12] Например, это применимо ко всякому многообразию, которое является Калаби–Яу в том смысле, что его каноническое расслоение тривиально.

См. также

Производная некоммутативная алгебраическая геометрия

Примечания

^ Хайбрехтс 2006 , Определение 1.59.
^ Jump up to: ^а ^б Бондал и Капранов 1990 , Предложение 1.5.
^ Орлов 2016 , Раздел 1.2.
^ Кузнецов 2007 , Леммы 2.10, 2.11 и 2.12.
^ Орлов 2016 , Теорема 3.16.
^ Орлов 2016 , Предложения 3.17 и 3.20.
^ Хайбрехтс 2006 , Лемма 1.58.
^ Марколли и Табуада 2015 , Предложение 1.9.
^ Хайбрехтс 2006 , Следствие 8.29.
^ Кузнецов 2014 , Раздел 2.2.
^ Орлов, Д.О. (28 февраля 1993 г.). «ПРОЕКТИВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ, МОНИДАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ КОГЕРЕНТНЫХ ПУЧКОВ» . Российская академия наук. Известия Математики . 41 (1): 133–141. дои : 10.1070/im1993v041n01abeh002182 . ISSN 1064-5632 .
^ Кузнецов 2014 , Раздел 2.5.

Ссылки

Бондал, Алексей; Капранов, Михаил (1990), «Представимые функторы, функторы Серра и реконструкции», Математика СССР-Известия , 35 : 519–541, doi : 10.1070/IM1990v035n03ABEH000716 , MR 1039961
Хайбрехтс, Дэниел (2006), Преобразования Фурье-Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866 , МР 2244106
Кузнецов, Александр (2007), «Гомологическая проективная двойственность», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 105 : 157–220, arXiv : math/0507292 , doi : 10.1007/s10240-007-0006-8 , MR 2354207
Кузнецов, Александр (2014), «Полуортогональные разложения в алгебраической геометрии», Труды Международного конгресса математиков (Сеул, 2014) , вып. 2, Сеул: Кён Мун Са, стр. 635–660, arXiv : 1404.3143 , MR 3728631.
Марколли, Матильда ; Табуада, Гонсало (2015), «От исключительных коллекций к мотивным разложениям по некоммутативным мотивам», Журнал чистой и прикладной математики , 701 : 153–167, arXiv : 1202.6297 , doi : 10.1515/crelle-2013-0027 , MR 3331729
Орлов, Дмитрий (2016), «Гладкие и собственные некоммутативные схемы и склейка категорий DG», Успехи в математике , 302 : 59–105, arXiv : 1402.7364 , doi : 10.1016/j.aim.2016.07.014 , MR 3545926

[FOOTNOTEHuybrechts2006Definition_1.59-1] Хайбрехтс 2006 , Определение 1.59.

[FOOTNOTEBondalKapranov1990Proposition_1.5-2] Jump up to: ^а ^б Бондал и Капранов 1990 , Предложение 1.5.

[FOOTNOTEOrlov2016Section_1.2-3] Орлов 2016 , Раздел 1.2.

[FOOTNOTEKuznetsov2007Lemmas_2.10,_2.11,_and_2.12-4] Кузнецов 2007 , Леммы 2.10, 2.11 и 2.12.

[FOOTNOTEOrlov2016Theorem_3.16-5] Орлов 2016 , Теорема 3.16.

[FOOTNOTEOrlov2016Propositions_3.17_and_3.20-6] Орлов 2016 , Предложения 3.17 и 3.20.

[FOOTNOTEHuybrechts2006Lemma_1.58-7] Хайбрехтс 2006 , Лемма 1.58.

[FOOTNOTEMarcolliTabuada2015Proposition_1.9-8] Марколли и Табуада 2015 , Предложение 1.9.

[FOOTNOTEHuybrechts2006Corollary_8.29-9] Хайбрехтс 2006 , Следствие 8.29.

[FOOTNOTEKuznetsov2014Section_2.2-10] Кузнецов 2014 , Раздел 2.2.

[11] Орлов, Д.О. (28 февраля 1993 г.). «ПРОЕКТИВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ, МОНИДАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРОИЗВОДНЫЕ КАТЕГОРИИ КОГЕРЕНТНЫХ ПУЧКОВ» . Российская академия наук. Известия Математики . 41 (1): 133–141. дои : 10.1070/im1993v041n01abeh002182 . ISSN 1064-5632 .

[FOOTNOTEKuznetsov2014Section_2.5-12] Кузнецов 2014 , Раздел 2.5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]