Группа Чоу

В алгебраической геометрии группы Чжоу (названные в честь Вэй-Лян Чоу Клодом Шевалле ( 1958 )) алгебраического многообразия над любым полем являются алгебро-геометрическими аналогами гомологии топологического пространства . Элементы группы Чоу образуются из подмногообразий (так называемых алгебраических циклов ) аналогично тому, как симплициальные или клеточные группы гомологий образуются из подкомплексов. Когда многообразие гладкое , группы Чжоу можно интерпретировать как группы когомологий (ср. двойственность Пуанкаре ) и иметь умножение, называемое произведением пересечения . Группы Чоу несут богатую информацию об алгебраическом многообразии, и, соответственно, их вообще трудно вычислить.

Рациональная эквивалентность и группы Чоу

Для дальнейшего определим многообразие над полем $k$ быть интегральной схемой конечного типа над $k$. По любой схеме $X$ конечного типа над $k$, алгебраический цикл на $X$ означает конечную линейную комбинацию подмногообразий $X$ с целыми коэффициентами. (Здесь и далее подмногообразия понимаются как замкнутые в $X$, если не указано иное.) Для натурального числа $i$, группа $Z_{i}(X)$ из $i$-мерные циклы (или $i$— циклы , для краткости) на $X$ — свободная абелева группа на множестве $i$-мерные подмногообразия $X$.

Для разнообразия $W$ размера $i+1$ и любая рациональная функция $f$ на $W$ который не равен тождественному нулю делитель , $f$ это $i$-цикл

$(f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,$

где сумма пробегает все $i$-мерные подмногообразия $Z$ из $W$ и целое число $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ обозначает порядок исчезновения $f$ вдоль $Z$. (Таким образом $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ отрицательно, если $f$ есть шест вдоль $Z$.) Определение порядка исчезновения требует некоторой осторожности $W$ единственное число.

Для схемы $X$ конечного типа над $k$, группа $i$-циклы, рационально эквивалентные нулю, являются подгруппой $Z_{i}(X)$ генерируется циклами $(f)$ для всех $(i+1)$-мерные подмногообразия $W$ из $X$ и все ненулевые рациональные функции $f$ на $W$. Группа Чоу $CH_{i}(X)$ из $i$-мерные циклы на $X$ является факторгруппой ​ $Z_{i}(X)$ подгруппой циклов, рационально эквивалентных нулю. Иногда человек пишет $[Z]$ для класса подмногообразия $Z$ в группе Чоу, а если две подразновидности $Z$ и $W$ иметь $[Z]=[W]$, затем $Z$ и $W$ называются рационально эквивалентными .

Например, когда $X$ это разнообразие измерений $n$, группа Чоу $CH_{n-1}(X)$ это классов делителей группа $X$. Когда $X$ все гладко $k$ (или, в более общем смысле, локально нётерова нормальная факториальная схема ), это изоморфно группе Пикара линейных расслоений на $X$.

Примеры рациональной эквивалентности

Рациональная эквивалентность в проективном пространстве

Рационально эквивалентные циклы, определяемые гиперповерхностями, легко построить в проективном пространстве, поскольку все они могут быть построены как исчезающие локусы одного и того же векторного расслоения. Например, даны два однородных многочлена степени $d$, так $f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$, мы можем построить семейство гиперповерхностей, определяемое как исчезающее множество $sf+tg$. Схематически это можно построить как

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}$

с помощью проекции $\pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}$ мы можем видеть волокно над точкой $[s_{0}:t_{0}]$ — проективная гиперповерхность, определяемая формулой $s_{0}f+t_{0}g$. Это можно использовать, чтобы показать, что класс цикла каждой гиперповерхности степени $d$ рационально эквивалентен $d[\mathbb {P} ^{n-1}]$, с $sf+tx_{0}^{d}$ может быть использован для установления рациональной эквивалентности. Обратите внимание, что местонахождение $x_{0}^{d}=0$ является $\mathbb {P} ^{n-1}$ и оно имеет кратность $d$, который является коэффициентом его класса цикла.

Рациональная эквивалентность циклов на кривой

Если мы возьмем два различных линейных расслоения $L,L'\in \operatorname {Pic} (C)$ гладкой проективной кривой $C$, то исчезающие локусы общего сечения обоих линейных расслоений определяют неэквивалентные классы циклов в $CH(C)$. Это потому, что $\operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)$ для гладких многообразий, поэтому классы делителей $s\in H^{0}(C,L)$ и $s'\in H^{0}(C,L')$ определить неэквивалентные классы.

Кольцо Чоу

Когда схема $X$ гладкая по полю $k$группы Чоу образуют кольцо , а не просто градуированную абелеву группу. А именно, когда $X$ все гладко $k$, определять $CH^{i}(X)$ быть группой коразмерности Чоу - $i$ циклы включены $X$. (Когда $X$ это разнообразие измерений $n$, это просто означает, что $CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)$.) Тогда группы $CH^{*}(X)$ образуют коммутативное градуированное кольцо с произведением:

$CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).$

Продукт возникает в результате пересечения алгебраических циклов. Например, если $Y$ и $Z$ являются гладкими подмногообразиями $X$ коразмерности $i$ и $j$ соответственно, и если $Y$ и $Z$ пересекаются поперечно , то произведение $[Y][Z]$ в $CH^{i+j}(X)$ есть сумма неприводимых компонент пересечения $Y\cap Z$, которые все имеют коразмерность $i+j$.

В более общем смысле, в различных случаях теория пересечений строит явный цикл, который представляет произведение $[Y][Z]$ на ринге Чоу. Например, если $Y$ и $Z$ являются подмногообразиями дополнительного измерения (это означает, что их размеры в сумме равны размерности $X$), пересечение которых имеет нулевую размерность, то $[Y][Z]$ равна сумме точек пересечения с коэффициентами, называемыми числами пересечений . Для любых подразновидностей $Y$ и $Z$ по гладкой схеме $X$ над $k$Без каких-либо предположений о размерности пересечения теория пересечений Уильяма Фултона и Роберта Макферсона конструирует канонический элемент групп Чоу. $Y\cap Z$ чей образ в группах Чжоу $X$ это продукт $[Y][Z]$.

Примеры

Проективное пространство

Кольцо Чоу проективного пространства $\mathbb {P} ^{n}$ над любым полем $k$ это кольцо

$CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),$

где $H$ — класс гиперплоскости (нулевого локуса одной линейной функции). Более того, любое подмногообразие $Y$ степени ​ $d$ и коразмерность $a$ в проективном пространстве рационально эквивалентно $dH^{a}$. Отсюда следует, что для любых двух подмногообразий $Y$ и $Z$ дополнительного измерения в $\mathbb {P} ^{n}$ и степени $a$, $b$, соответственно, их произведение в кольце Чоу просто

$[Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}$

где $H^{n}$ это класс $k$-рациональный момент в $\mathbb {P} ^{n}$. Например, если $Y$ и $Z$ пересекаются поперечно, то $Y\cap Z$ является нулевым циклом степени $ab$. Если базовое поле $k$ , алгебраически замкнуто это означает, что существует ровно $ab$ точки пересечения; это версия теоремы Безу , классического результата перечислительной геометрии .

Формула проективного расслоения

Учитывая векторное расслоение $E\to X$ ранга $r$ по гладкой правильной схеме $X$ над полем кольцо Чоу соответствующего проективного расслоения $\mathbb {P} (E)$ можно вычислить с помощью кольца Чоу $X$ и классы Черна $E$. Если мы позволим $\zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))$ и $c_{1},\ldots ,c_{r}$ классы Черна $E$, то существует изоморфизм колец

$CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}$

Поверхности Хирцебруха

Например, кольцо Чоу поверхности Хирцебруха можно легко вычислить с помощью формулы проективного расслоения. Напомним, что он строится как $F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))$ над $\mathbb {P} ^{1}$. Тогда единственным нетривиальным классом Черна этого векторного расслоения является $c_{1}=aH$. Отсюда следует, что кольцо Чжоу изоморфно

$CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}$

Примечания

Для других алгебраических многообразий группы Чоу могут иметь более богатое поведение. Например, пусть $X$ быть эллиптической кривой над полем $k$. Тогда группа нуль-циклов Чоу на $X$ вписывается в точную последовательность

$0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.$

Таким образом, группа Чоу эллиптической кривой $X$ тесно связан с группой $X(k)$ из $k$- рациональные точки зрения $X$. Когда $k$ это числовое поле , $X(k)$ называется Морделла–Вейля группой $X$, и некоторые из самых глубоких проблем теории чисел — это попытки понять эту группу. Когда $k$ — комплексные числа , пример эллиптической кривой показывает, что группы Чжоу могут быть несчетными абелевыми группами.

Функциональность

Для правильного морфизма $f:X\to Y$ схем более $k$, существует гомоморфизм прямого действия $f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)$ для каждого целого числа $i$. Например, для правильной схемы $X$ над $k$, это дает гомоморфизм $CH_{0}(X)\to \mathbf {Z}$, который принимает замкнутую точку в $X$ в своей степени более $k$. (Закрытая точка в $X$ имеет форму $\operatorname {Spec} (E)$ для конечного поля расширения $E$ из $k$, а его степень означает степень поля $E$ над $k$.)

Для плоского морфизма $f:X\to Y$ схем более $k$ с волокнами размером $r$ (возможно, пустое), существует гомоморфизм $f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)$.

Ключевым вычислительным инструментом для групп Чоу является последовательность локализации , как показано ниже. Для схемы $X$ над полем $k$ и закрытая подсхема $Z$ из $X$, существует точная последовательность

$CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,$

где первый гомоморфизм - это продвижение вперед, связанное с собственным морфизмом $Z\to X$, а второй гомоморфизм является обратным образом относительно плоского морфизма $X-Z\to X$. Последовательность локализации может быть расширена влево с использованием обобщения групп Чоу, мотивных групп гомологий (Бореля-Мура) , также известных как высшие группы Чоу .

Для любого морфизма $f:X\to Y$ плавных схем над $k$, существует гомоморфизм обратного образа $f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)$, который на самом деле является кольцевым гомоморфизмом $CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)$.

Примеры плоских откатов

Обратите внимание, что непримеры могут быть построены с использованием увеличений; например, если мы возьмем раздутие начала координат в $\mathbb {A} ^{2}$ то слой над началом координат изоморфен $\mathbb {P} ^{1}$.

Разветвленные покрытия кривых

Рассмотрим разветвленное накрытие кривых

$f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}$

Поскольку морфизм разветвляется всякий раз, когда $f(\alpha )=0$ мы получаем факторизацию

$g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}$

где один из $e_{i}>1$. Это означает, что точки $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )$ иметь кратность $e_{1},\ldots ,e_{k}$ соответственно. Плоский откат точки $\alpha$ тогда

$f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]$

Плоское семейство сортов

Рассмотрим плоское семейство многообразий.

$X\to S$

и подразновидность $S'\subset S$. Тогда, используя декартов квадрат

${\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}$

мы видим, что образ $S'\times _{S}X$ представляет собой подразновидность $X$. Поэтому у нас есть

$f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]$

Карты цикла

Существует несколько гомоморфизмов (известных как отображения циклов ) групп Чоу в более вычислимые теории.

Во-первых, для схемы X над комплексными числами существует гомоморфизм групп Чоу в гомологии Бореля–Мура :

${\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).$

Множитель 2 появляется потому, что i -мерное подмногообразие X имеет действительную размерность 2 i . Когда X гладко над комплексными числами, это отображение циклов можно переписать с использованием двойственности Пуанкаре как гомоморфизм.

${\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).$

В этом случае ( X гладкое над C ) эти гомоморфизмы образуют кольцевой гомоморфизм кольца Чоу в кольцо когомологий. Интуитивно это происходит потому, что произведения как в кольце Чоу, так и в кольце когомологий описывают пересечение циклов.

Для гладкого комплексного проективного многообразия циклическое отображение кольца Чоу в обычные когомологии факторизуется через более богатую теорию, когомологии Делиня . Это включает в себя отображение Абеля-Якоби циклов, гомологически эквивалентных нулю, в промежуточный якобиан . Экспоненциальная последовательность показывает, что CH ¹ ( X ) изоморфно отображается в когомологии Делиня, но это неверно для CH ^дж ( X ) с j > 1.

Для схемы X над произвольным полем k существует аналогичное отображение цикла групп Чжоу в этальные гомологии (Бореля–Мура) . Когда X гладко над k , этот гомоморфизм можно отождествить с кольцевым гомоморфизмом кольца Чоу в этальные когомологии.

Связь с K-теорией

(Алгебраическое) векторное расслоение E на гладкой схеме X над полем имеет классы Чженя c _i ( E ) в CH ^я ( X ), с теми же формальными свойствами, что и в топологии. Классы Чженя обеспечивают тесную связь между векторными расслоениями и группами Чоу. А именно, пусть K ₀ ( X ) — группа Гротендика векторных расслоений на X . В рамках теоремы Гротендика-Римана-Роха характер Гротендик показал, что Черна дает изоморфизм.

$K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .$

Этот изоморфизм показывает важность рациональной эквивалентности по сравнению с любым другим адекватным отношением эквивалентности на алгебраических циклах.

Догадки

Некоторые из самых глубоких гипотез в алгебраической геометрии и теории чисел — это попытки понять группы Чоу. Например:

• Из теоремы Морделла -Вейля следует, что группа классов дивизоров CH _{n -1} ( X ) конечно порождена для любого многообразия X размерности n над числовым полем. Вопрос о том, конечно ли порождены все группы Чжоу для любого многообразия над числовым полем, остается открытым. Гипотеза Блоха предсказывает , – Като о значениях L-функций что эти группы конечно порождены. При этом ранг группы циклов по модулю гомологической эквивалентности, а также группы циклов, гомологически эквивалентных нулю, должен быть равен порядку исчезновения L-функции данного многообразия в некоторых целых точках. Конечность этих рангов также следует из гипотезы Басса в алгебраической K-теории.
• Для гладкого комплексного проективного многообразия X гипотеза Ходжа предсказывает образ ( тензорный с рациональными числами Q ) отображения цикла из групп Чоу в сингулярные когомологии. Для гладкого проективного многообразия над конечно порожденным полем (таким как конечное поле или числовое поле) гипотеза Тейта предсказывает образ (тензорированный с Q _l ) отображения цикла из групп Чоу в l-адические когомологии .
• Для гладкого проективного многообразия X над любым полем гипотеза Блоха – Бейлинсона предсказывает фильтрацию на группах Чжоу X (тензорированных с рациональными числами) с сильными свойствами. Гипотеза подразумевала бы тесную связь между сингулярными или этальными когомологиями X и группами Чжоу X .

Например, пусть X — гладкая комплексная проективная поверхность. Группа Чоу нулевых циклов на X отображается на целые числа посредством гомоморфизма степени; пусть K — ядро. Если геометрический род h ⁰ ( Х , О ² ) не равен нулю, Мамфорд показал, что K «бесконечномерен» (а не образ какого-либо конечномерного семейства нуль-циклов на X ). Гипотеза Блоха – Бейлинсона влечет за собой удовлетворительное обратное, гипотезу Блоха о нулевых циклах : для гладкой комплексной проективной поверхности X с нулевым геометрическим родом K должно быть конечномерным; точнее, он должен изоморфно отображаться в группу комплексных точек многообразия Альбанезе X .

Варианты

Бивариантная теория

Фултон и Макферсон расширили кольцо Чоу до сингулярных многообразий, определив « операционное кольцо Чоу » и, в более общем плане, бивариантную теорию, связанную с любым морфизмом схем. Бивариантная теория — это пара ковариантных и контравариантных функторов , которые присваивают отображению группу и кольцо соответственно. Он обобщает теорию когомологий , которая представляет собой контравариантный функтор, сопоставляющий пространству кольцо, а именно кольцо когомологий . Название «бивариантный» относится к тому факту, что теория содержит как ковариантные, так и контравариантные функторы.

В некотором смысле это наиболее элементарное расширение кольца Чоу до сингулярных многообразий; другие теории, такие как мотивационные когомологии, соответствуют операционному кольцу Чоу.

Другие варианты

Арифметические группы Чоу представляют собой объединение групп Чжоу многообразий над Q вместе с компонентом, кодирующим теоретическую информацию Аракелова , то есть дифференциальные формы на ассоциированном комплексном многообразии.

Теория групп Чжоу схем конечного типа над полем легко распространяется на теорию алгебраических пространств . Ключевое преимущество этого расширения состоит в том, что в последней категории легче формировать факторы, и, следовательно, более естественно рассматривать эквивариантные группы Чоу алгебраических пространств. Гораздо более грозным расширением является расширение группы Чоу стека , которое создается только в некоторых особых случаях и которое необходимо, в частности, для понимания виртуального фундаментального класса .

История

Рациональная эквивалентность делителей (известная как линейная эквивалентность ) изучалась в различных формах в 19 веке, что привело к созданию группы идеальных классов в теории чисел и многообразия Якобиана в теории алгебраических кривых. Для циклов более высокой коразмерности рациональная эквивалентность была введена Франческо Севери в 1930-х годах. В 1956 году Вэй-Лян Чоу дал влиятельное доказательство того, что произведение пересечений четко определено на циклах по модулю рациональной эквивалентности для гладкого квазипроективного многообразия, используя лемму Чоу о перемещении . Начиная с 1970-х годов Фултон и Макферсон заложили нынешнюю стандартную основу для групп чау, работая там, где это возможно, с единичными разновидностями. В их теории произведение пересечений гладких многообразий строится путем деформации до нормального конуса .

См. также

• Теория пересечений
• Теорема Гротендика – Римана – Роха.
• Гипотеза Ходжа
• Мотив (алгебраическая геометрия)

Ссылки

Вводный

• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо, 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии

Передовой

• Блох, Спенсер (1986), «Алгебраические циклы и высшая K -теория», Advance in Mathematics , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN   0001-8708 , MR   0852815
• Клод, Шевалле (1958), «Классы рациональной эквивалентности, I» , Кольца Чоу и приложения , Семинар Клода Шевалле, том. 3
• Клод, Шевалле (1958), «Классы рациональной эквивалентности, II» , Кольца Чоу и приложения , Семинар Клода Шевалле, том. 3
• Чоу, Вэй-Лян (1956), «О классах эквивалентности циклов в алгебраическом многообразии», Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi : 10.2307/1969596 , ISSN   0003-486X , MR   0082173
• Делинь, Пьер (1977), Эталь когомологии (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-08066-4 , МР   0463174
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98549-7 , МР   1644323
• Севери, Франческо (1932), «Канонический ряд и теория главных серий групп точек над алгебраической поверхностью», Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi : 10.1007/bf01202721 , JFM   58.1229.01
• Воеводский, Владимир (2000), «Триангулированные категории мотивов над полем», Циклы, переносы и теории мотивной гомологии , Princeton University Press , стр. 188–238, ISBN  9781400837120 , МР   1764202
• Вуазен, Клэр (2002), Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-71801-1 , г-н   1997577