Проективный расслоение

В математике проективное расслоение — это расслоение , слои которого представляют собой проективные пространства .

По определению, схема X над нётеровой схемой S является P ^н-расслоение, если оно локально является проективным n -пространством; то есть, $X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}$ и переходные автоморфизмы линейны. Над регулярной схемой S, такой как гладкое многообразие , каждое проективное расслоение имеет вид $\mathbb {P} (E)$ для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E . ^[1]

Проективное расслоение векторного расслоения

Каждое векторное расслоение над многообразием X дает проективное расслоение, занимая проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группе когомологий H. ²( Х , О*). Чтобы понять почему, вспомним, что проективное расслоение снабжено функциями перехода на двойных пересечениях подходящего открытого покрытия. При тройном перекрытии любой подъем этих функций перехода удовлетворяет условию коцикла с точностью до обратимой функции. Совокупность этих функций образует 2-коцикл, обращающийся в нуль в H ²( X ,O*) только в том случае, если проективное расслоение является проективизацией векторного расслоения. В частности, если X — компактная риманова поверхность , то H ²( X ,O*)=0, и поэтому это препятствие исчезает.

Проективное расслоение векторного расслоения E — это то же самое, что и расслоение Грассмана. $G_{1}(E)$ 1-плоскостей в E .

Проективное расслоение P ( E ) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит: ^[2]

Учитывая морфизм f : T → X , факторизовать f через карту проекции p : P ( E ) → X означает указать линейное подрасслоение f ^*EЭ.

Например, принимая f за p , можно получить линейное подрасслоение O (-1) p ^*E , называемое тавтологическим расслоением на P ( E ). Более того, это O (-1) является универсальным расслоением в том смысле, что когда линейное расслоение L дает факторизацию f = p ∘ g , L является обратным образом O (-1) вдоль g . См. также Cone# O (1) для более явной конструкции O (-1).

На P ( E ) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0

где Q называется тавтологическим факторрасслоением.

Пусть E ⊂ F — векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на X и G = F / E . Пусть q : P ( F ) → X — проекция. Тогда естественное отображение O (-1) → q ^*Ф → д ^*G — глобальное сечение пучка hom ( O (-1), q ^*Г) = q ^* г ⊗ О (1) . Более того, это естественное отображение исчезает в той точке, где эта точка является прямой в E ; другими словами, нулевой локус этого сечения — это P ( E ).

Особенно полезным примером этой конструкции является случай, когда F является прямой суммой E ⊕ 1 E и тривиального линейного расслоения (т. е. структурного пучка). Тогда P ( E ) — гиперплоскость в P ( E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнение к P ( E можно отождествить с E. ) Таким образом, P ( E ⊕ 1) называется проективным пополнением (или «компактификацией») E .

Проективное расслоение P ( E ) устойчиво относительно скручивания E линейным расслоением; точнее, для линейного расслоения L существует естественный изоморфизм:

g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)

такой, что $g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.$ ^[3] получается (На самом деле, g благодаря универсальному свойству, примененному к линейному расслоению справа.)

Примеры

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над $\mathbb {P} ^{1}$ такие как расслоения Лефшеца . Например, эллиптическая поверхность К3 $X$ представляет собой поверхность К3 с расслоением

$\pi :X\to \mathbb {P} ^{1}$

такие, что волокна $E_{p}$ для $p\in \mathbb {P} ^{1}$ являются эллиптическими кривыми в общем случае. Поскольку каждая эллиптическая кривая представляет собой кривую рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Благодаря этому глобальному разделу существует модель $X$ придающий морфизм проективному расслоению ^[4]

$X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})$

определяется уравнением Вейерштрасса

$y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}$

где $x,y,z$ представляют местные координаты ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}$ соответственно и коэффициенты

$a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))$

представляют собой участки шкивов на $\mathbb {P} ^{1}$ . Обратите внимание, что это уравнение четко определено, поскольку каждый член в уравнении Вейерштрасса имеет полную степень $12$ (имеется в виду степень коэффициента плюс степень одночлена. Например, ${\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12$ ).

Кольцо когомологий и группа Чоу

Пусть X — комплексное гладкое проективное многообразие, а E — комплексное векторное расслоение ранга r на нем. Пусть p : P ( E ) → — проективное расслоение E. X Тогда кольцо когомологий H ^*( P ( E )) — алгебра над H ^*( X ) через обратный путь p ^*. Тогда первый класс Чженя ζ = c ₁ ( O (1)) порождает H ^*( P ( E )) с соотношением

\zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0

где c _i ( E ) — i Чженя E. -й класс Одна интересная особенность этого описания состоит в том, что классы Чженя можно определить как коэффициенты в отношении; именно такого подхода придерживается Гротендик.

Для полей, отличных от комплексного поля, то же описание остается верным с кольцом Чоу вместо кольца когомологий (все еще предполагая, что X гладко). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).

Как оказалось, это разложение остается справедливым, даже если X не является ни гладким, ни проективным. ^[5] Напротив, Ak _{, морально} ( E ) = Ak _{потому , - r} ( X ) посредством гомоморфизма Гайзина что слои E , векторные пространства, сжимаемы.

См. также

Строительство проекта
конус (алгебраическая геометрия)
линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
Сорт Севери – Брауэра
Поверхность Хирцебруха

Ссылки

^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 7.10. (с).
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, предложение 7.12.
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Лемма 7.9.
^ Пропп, Орон Ю. (22 мая 2019 г.). «Построение явных спектров К3». arXiv : 1810.08953 [ math.AT ].
^ Фултон 1998 , Теорема 3.3.

Эленцвайг, Г.; Нарасимхан, MS (1983), «Проективные расслоения на комплексном торе», Журнал чистой и прикладной математики , 1983 (340): 1–5, doi : 10.1515/crll.1983.340.1 , ISSN 0075-4102 , MR 0691957 , S2CID 122557310
Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , МР 1644323
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

[1] Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 7.10. (с).

[2] Хартсхорн 1977 , гл. II, предложение 7.12.

[3] Хартсхорн 1977 , гл. II, Лемма 7.9.

[4] Пропп, Орон Ю. (22 мая 2019 г.). «Построение явных спектров К3». arXiv : 1810.08953 [ math.AT ].

[5] Фултон 1998 , Теорема 3.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]