Степень алгебраического многообразия

В математике степенью . аффинного или называется проективного многообразия размерности n количество точек пересечения многообразия с n гиперплоскостями в общем положении . Для алгебраического набора точки пересечения должны подсчитываться с учетом их кратности пересечения из -за возможности наличия нескольких компонентов. Для (неприводимых) многообразий, если принять во внимание кратности, а в аффинном случае — бесконечно удаленные точки, гипотезу общего положения можно заменить гораздо более слабым условием того, что пересечение многообразия имеет нулевую размерность (что состоит из конечного числа точек). Это обобщение теоремы Безу (доказательство см. в рядах Гильберта и полиноме Гильберта § Степень проективного многообразия и теореме Безу ).

Степень не является внутренним свойством многообразия, поскольку зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное или проективное пространство.

Степень гиперповерхности равна полной степени ее определяющего уравнения. Обобщение теоремы Безу утверждает, что если пересечение n проективных гиперповерхностей имеет коразмерность n , то степень пересечения является произведением степеней гиперповерхностей.

Степень проективного многообразия — это оценка в единице числителя ряда Гильберта его координатного кольца . что по уравнениям многообразия степень можно вычислить по базису Грёбнера идеала Отсюда следует , этих уравнений.

Определение

Для V, вложенного в проективное пространство P ^н и определенной над некоторым алгебраически замкнутым полем K , степень d V — это количество точек пересечения V , определенного над K , с линейным подпространством L в общем положении , таких, что

$\dim(V)+\dim(L)=n.$

Здесь dim( ) — размерность V коразмерность , а L будет V равна этой размерности. Степень d является внешней величиной, а не внутренней как свойство V . Например, проективная прямая имеет (по существу единственное) вложение степени n в P ^н .

Характеристики

Степень гиперповерхности F = 0 равна общей степени определяющего ее однородного многочлена F (при условии, что в случае, когда F имеет повторяющиеся факторы, теория пересечений используется для подсчета пересечений с кратностью , как в теореме Безу ).

Другие подходы

Для более сложного подхода линейная система дивизоров, определяющая вложение V, может быть связана с линейным расслоением или обратимым пучком, определяющим вложение своим пространством сечений. Тавтологическое линейное расслоение на P ^н возвращается В. к Степень определяет первый класс Черна . Степень также можно вычислить в когомологий кольце P ^н , или кольцо Чоу , с классом гиперплоскости , пересекающим класс V соответствующее количество раз.

Расширение теоремы Безу

Степень можно использовать для ожидаемого обобщения теоремы Безу на пересечения n гиперповерхностей в P ^н .