Высшая группа Чоу Блоха

В алгебраической геометрии высшие группы Чоу Блоха , обобщение группы Чоу , являются предшественником и основным примером мотивных когомологий (для гладких многообразий). Она была введена Спенсером Блохом ( Bloch 1986 ), а основная теория была разработана Блохом и Марком Левином .

Точнее, теорема Воеводского ^[1] следует: для гладкой схемы X над полем и целыми числами p , q существует естественный изоморфизм

\operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)

между группами мотивных когомологий и высшими группами Чжоу.

Мотивация

Одна из причин создания высших групп Чжоу исходит из теории гомотопий. В частности, если $\alpha ,\beta \in Z_{*}(X)$ являются алгебраическими циклами в $X$ которые рационально эквивалентны через цикл $\gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})$ , затем $\gamma$ можно рассматривать как путь между $\alpha$ и $\beta$ , а высшие группы Чоу предназначены для кодирования информации более высокой гомотопической когерентности. Например,

${\text{CH}}^{*}(X,0)$

можно рассматривать как гомотопические классы циклов, тогда как

${\text{CH}}^{*}(X,1)$

можно рассматривать как гомотопические классы гомотопий циклов.

Определение

Пусть X — квазипроективная алгебраическая схема над полем («алгебраическая» означает разделенная и конечного типа).

Для каждого целого числа $q\geq 0$ , определять

\Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [t_{0},\dots ,t_{q}]/(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),

который является алгебраическим аналогом стандартного q -симплекса. Для каждой последовательности $0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q$ , закрытая подсхема $t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0$ , который изоморфен $\Delta ^{q-r}$ , называется лицом $\Delta ^{q}$ .

Для каждого i существует вложение

\partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.

Мы пишем $Z_{i}(X)$ для группы алгебраических i -циклов на X и $z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})$ для подгруппы, порожденной замкнутыми подмногообразиями, правильно пересекающимися с $X\times F$ для каждой F грани $\Delta ^{q}$ .

С $\partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}$ — эффективный дивизор Картье, существует гомоморфизм Гизина :

\partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)

,

которое (по определению) отображает подмногообразие V в пересечение $(X\times \{t_{i}=0\})\cap V.$

Определите граничный оператор $d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}$ что дает цепной комплекс

\cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).

Наконец, q -я высшая группа Чоу X определяется как q -я гомология вышеуказанного комплекса:

\operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).

(Проще говоря, поскольку $z_{r}(X,\cdot )$ естественно является симплициальной абелевой группой, ввиду соответствия Долда – Кана высшие группы Чжоу также могут быть определены как гомотопические группы. $\operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )$ .)

Например, если $V\subset X\times \Delta ^{1}$ ^[2] является замкнутым подмногообразием таким, что пересечения $V(0),V(\infty )$ с лицами $0,\infty$ являются правильными, то $d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )$ а это означает, по предложению 1.6. в теории пересечения Фултона, что образ $d_{1}$ есть в точности группа циклов, рационально эквивалентных нулю; то есть,

\operatorname {CH} _{r}(X,0)=

r -я Чжоу X . группа

Характеристики

Функциональность

Правильные карты $f:X\to Y$ ковариантны между высшими группами чау, тогда как плоские карты контравариантны. Кроме того, всякий раз, когда $Y$ является гладким, любая карта для $Y$ является контрвариантным.

Гомотопическая инвариантность

Если $E\to X$ является алгебраическим векторным расслоением, то существует гомотопическая эквивалентность

${\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)$

Локализация

Дана замкнутая равномерная подсхема $Y\subset X$ существует длинная точная последовательность локализации

${\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\to {\text{CH}}^{*}(X,2)\to {\text{CH}}^{*}(U,2)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\to {\text{CH}}^{*}(X,1)\to {\text{CH}}^{*}(U,1)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\to {\text{CH}}^{*}(X,0)\to {\text{CH}}^{*}(U,0)\to &{\text{ }}0\end{aligned}}$

где $U=X-Y$ . В частности, это показывает, что высшие группы чау естественным образом расширяют точную последовательность групп чау.

Теорема о локализации

( Блох 1994 ) показал, что при наличии открытого подмножества $U\subset X$ , для $Y=X-U$ ,

z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )

является гомотопической эквивалентностью. В частности, если $Y$ имеет чистую коразмерность, то он дает длинную точную последовательность для высших групп Чжоу (называемую последовательностью локализации).

Ссылки

^ Конспекты лекций по мотивным когомологиям (PDF) . Монографии Клэя по математике. п. 159.
^ Здесь мы определяем $\Delta ^{1}$ с подсхемой $\mathbb {P} ^{1}$ а затем, без ограничения общности, предположим, что одна вершина — это начало координат 0, а другая — ∞.

Блох, Спенсер (сентябрь 1986 г.). «Алгебраические циклы и высшая К-теория» . Достижения в математике . 61 : 267–304. дои : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 .
Блох, Спенсер (1994). «Подвижная лемма для высших групп Чжоу». Журнал алгебраической геометрии . 3 : 537–568.
Питер Хейн, Обзор мотивных когомологий
Владимир Воеводский, «Группы мотивических когомологий изоморфны высшим группам Чжоу по любой характеристике», International Mathematics Research Notes 7 (2002), 351–355.

[1] Конспекты лекций по мотивным когомологиям (PDF) . Монографии Клэя по математике. п. 159.

[2] Здесь мы определяем $\Delta ^{1}$ с подсхемой $\mathbb {P} ^{1}$ а затем, без ограничения общности, предположим, что одна вершина — это начало координат 0, а другая — ∞.

[1]

[2]