Группа Chow стека

В алгебраической геометрии группа Чоу стека является обобщением группы Чоу многообразия или схемы на стопки . Для стека частных $X=[Y/G]$ группа Чоу X совпадает с - эквивариантной группой Y. G Чоу

Ключевое отличие от теории групп Чжоу многообразия состоит в том, что циклу разрешено иметь нетривиальные автоморфизмы, и, следовательно, операции теории пересечений должны это учитывать. Например, степень 0-цикла в стеке не обязательно должна быть целым числом, а быть рациональным числом (из-за нетривиальных стабилизаторов).

Определения

Анджело Вистоли ( 1989 ) развивает базовую теорию (в основном над Q ) для группы Чоу (отдельного) стека Делиня-Мамфорда . Там группа Чоу определяется точно так же, как и в классическом случае: это свободная абелева группа, порожденная целыми замкнутыми подстеками по модулю рациональной эквивалентности.

Если стек X можно записать как фактор-стек $X=[Y/G]$ для некоторого квазипроективного многообразия Y с линеаризованным действием линейной алгебраической группы G группа Чоу X определяется как G - эквивариантная группа Чоу группы Y . Этот подход представлен и развит Дэном Эдидином и Уильямом А. Грэмом, а также Бертом Тотаро . Позже Эндрю Креш (1999) расширил теорию до стека, допускающего стратификацию по фактор-стекам.

Информацию о высших группах Чоу (предшественника мотивных гомологий ) алгебраических стеков см. в «Теории пересечения стеков: I и II» Роя Джошуа. [1]

Примеры

Расчеты зависят от определений. Таким образом, здесь мы действуем как-то аксиоматически. В частности, мы предполагаем: для данного алгебраического стека X локально конечного типа над базовым полем k ,

(гомотопическая инвариантность) если E — векторное расслоение ранга n на X , то $A_{p}(E)=A_{p-n}(X)$ .
для каждого целого подстака Z размерности < p , $A_{p}(X-Z)=A_{p}(X)$ , следствие последовательности локализации.

Эти свойства действительны, если X является моделью Делиня–Мамфорда, и ожидается, что они будут справедливы для любой другой разумной теории.

Мы принимаем X за классифицирующий стек. $BG$ , стек главных G -расслоений гладкой линейной алгебраической группы G . По определению, это стек частных $[*/G]$ , где * рассматривается как стек, связанный с * = Spec k . Мы аппроксимируем это следующим образом. Учитывая целое число p , выберите представление $G\to GL(V)$ такое, что существует G -инвариантное открытое подмножество U в V , на котором G действует свободно, и дополнение $Z=V-U$ имеет коразмерность $>-\operatorname {dim} G-p$ . Позволять $*\times _{G}V$ быть частным $*\times V$ по действию $(x,v)\cdot g=(xg,g^{-1}v)$ . Обратите внимание, что действие бесплатное и так $*\times _{G}V$ является векторным расслоением над $BG$ . По свойству 1, примененному к этому векторному расслоению,

A_{p}(BG)=A_{p+\dim V}(*\times _{G}V).

Тогда, поскольку $*\times _{G}U=U/G$ , по свойству 2,

A_{p+\dim V}(*\times _{G}V)=A_{p+\dim V}(U/G)

с $\dim[Z/G]=\dim Z-\dim G<\dim V+p$ .

В качестве конкретного примера позвольте $G=\mathbb {G} _{m}$ и пусть это действует $\mathbb {A} ^{n}$ путем масштабирования. Затем $\mathbb {G} _{m}$ действует свободно на $U=\mathbb {A} ^{n}-\{0\}$ . По приведенному выше расчету для каждой пары целых чисел n , p такой, что $n+p\geq 0$ ,

A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=A_{p+n}(\mathbb {P} ^{n-1}).

В частности, для любого целого числа p ≥ 0, $A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=0$ . В общем, $A_{n-k}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {Q} h^{k}$ для класса гиперплоскости h , $h^{k}$ k -кратное самопересечение и $h^{k}=0$ для отрицательного k и так

A_{p}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} h^{-1-p}

где правая часть не зависит от моделей, использованных в расчете (поскольку разные соответствуют h проекциям между проективными пространствами.) $p=-1=\dim B\mathbb {G} _{m}$ , класс $h^{0}=[\mathbb {P} ^{n}]$ , любое n , можно рассматривать как фундаментальный класс $B\mathbb {G} _{m}$ .

Аналогично, мы имеем

A^{*}(B\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} [c]

где $c=c_{1}(h)$ является первым классом Чженя h (и c и h отождествляются, когда идентифицируются группы Чоу и кольца Чжоу проективных пространств). С $h^{k}=c\cdot h^{k-1}$ , у нас это есть $A_{*}(B\mathbb {G} _{m})$ это бесплатно $\mathbb {Q} [c]$ -модуль, созданный $h^{0}$ .

Виртуальный фундаментальный класс

Это понятие берет начало в теории Кураниши в симплектической геометрии . ^[1]^[2]

В § 2 Беренда (2009) , учитывая стек DM X и C _{X -} нормальный конус к X , К. Беренд определяет виртуальный фундаментальный класс X внутренний как

[X]^{\text{vir}}=s_{0}^{!}[C_{X}]

где s ₀ — нулевое сечение конуса, определяемое идеальной теорией препятствий , а s ₀^! — это уточненный гомоморфизм Гайзина , определенный так же, как в «теории пересечений» Фултона. В той же статье показано, что степень этого класса, а с моральной точки зрения интегрирование по нему, равна взвешенной эйлеровой характеристике Беренда функции X .

Более поздние (около 2017 г.) подходы реализуют этот тип построения в контексте производной алгебраической геометрии . ^[3]

См. также

Примечания

^ Фукая, Кенджи ; Оно, Каору (1999). «Гипотеза Арнольда и инвариант Громова-Виттена» . Топология . 38 (5): 933–1048. дои : 10.1016/s0040-9383(98)00042-1 . МР 1688434 .
^ Простите, Джон (28 апреля 2016 г.). «Алгебраический подход к виртуальным фундаментальным циклам в пространствах модулей псевдоголоморфных кривых». Геометрия и топология . 20 (2): 779–1034. arXiv : 1309.2370 . дои : 10.2140/gt.2016.20.779 . ISSN 1364-0380 . S2CID 119171219 .
^ § 1.2.1. из Цисинский, Дени-Шарль; Хан, Адил А. (9 мая 2017 г.). «Смелая новая мотивационная гомотопическая теория II: Гомотопически-инвариантная K-теория». arXiv : 1705.03340 [ math.AT ].

Ссылки

Беренд, Кай (2009), «Инварианты типа Дональдсона-Томаса с помощью микролокальной геометрии», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 170 (3): 1307–1338, arXiv : math/0507523 , doi : 10.4007/annals.2009.170.1307 , МР 2600874
Чокан-Фонтанин, Ионуц; Капранов, Михаил (2009). «Виртуальные фундаментальные классы через dg-многообразия». Геометрия и топология . 13 (3): 1779–1804. arXiv : math/0703214 . дои : 10.2140/gt.2009.13.1779 . МР 2496057 . S2CID 1211344 .
Фантечи, Барбара, Виртуальные откаты на алгебраических стеках (PDF)
, Эндрю (1999), «Группы циклов для искусственных стопок», , 138 ( 3):495–536, math / , : : . 1999InMat Bibcode 9810166 Inventions Креш Mathematicae 119617049 arXiv
Тотаро, Берт (1999), «Кольцо Чоу классифицирующего пространства, алгебраическая K-теория», Proc. Симпозиумы. Чистая математика , вып. 67, Американское математическое общество, стр. 249–281, MR 1743244 , Zbl 0967.14005.
Вистоли, Анджело (1989), «Теория пересечений алгебраических стеков и пространств их модулей», Inventiones Mathematicae , 97 (3): 613–670, Bibcode : 1989InMat..97..613V , doi : 10.1007/BF01388892 , MR 1005008 , S2CID 122295050
Набижу, Навид (2015), Виртуальные фундаментальные классы по теории Громова-Виттена (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2017 г. , получено 20 июля 2017 г.
Шен, Цзюньлян (2014), Построение виртуального фундаментального класса и приложений (PDF)

Внешние ссылки

[Fukaya-Ono-1] Фукая, Кенджи ; Оно, Каору (1999). «Гипотеза Арнольда и инвариант Громова-Виттена» . Топология . 38 (5): 933–1048. дои : 10.1016/s0040-9383(98)00042-1 . МР 1688434 .

[2] Простите, Джон (28 апреля 2016 г.). «Алгебраический подход к виртуальным фундаментальным циклам в пространствах модулей псевдоголоморфных кривых». Геометрия и топология . 20 (2): 779–1034. arXiv : 1309.2370 . дои : 10.2140/gt.2016.20.779 . ISSN 1364-0380 . S2CID 119171219 .

[3] § 1.2.1. из Цисинский, Дени-Шарль; Хан, Адил А. (9 мая 2017 г.). «Смелая новая мотивационная гомотопическая теория II: Гомотопически-инвариантная K-теория». arXiv : 1705.03340 [ math.AT ].

[1]

[2]

[3]