Кораническая структура

В математике, особенно в топологии , структура Кураниши является гладким аналогом структуры схемы . Если топологическое пространство наделено структурой Кураниши, то локально его можно отождествить с нулевым множеством гладкого отображения. $(f_{1},\ldots ,f_{k})\colon \mathbb {R} ^{n+k}\to \mathbb {R} ^{k}$, или фактор такого нулевого множества по конечной группе. Структуры Кураниши были введены японскими математиками Кенджи Фукая и Каору Оно при изучении инвариантов Громова-Виттена и гомологий Флоера в симплектической геометрии и были названы в честь Масатаке Кураниши .

Определение

Позволять $X$ — компактное метризуемое топологическое пространство . Позволять $p\in X$ быть точкой. Район Кураниши ​ $p$ (размера $k$) представляет собой 5-кортеж

$K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})$

где

• $U_{p}$ является гладким орбифолдом ;
• $E_{p}\to U_{p}$ — гладкое векторное расслоение орбифолдов;
• $S_{p}\colon U_{p}\to E_{p}$ представляет собой гладкий участок;
• $F_{p}$ это открытый район $p$;
• $\psi _{p}\colon S_{p}^{-1}(0)\to F_{p}$ является гомеоморфизмом .

Они должны удовлетворить это $\dim U_{p}-\operatorname {rank} E_{p}=k$.

Если $p,q\in X$ и $K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})$, $K_{q}=(U_{q},E_{q},S_{q},F_{q},\psi _{q})$ являются их окрестностями Кураниши соответственно, то изменение координат с $K_{q}$ к $K_{p}$ это тройка

$T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq}),$

где

• $U_{pq}\subset U_{q}$ является открытым подорбифолдом;
• $\phi _{pq}\colon U_{pq}\to U_{p}$ – орбифолдное вложение;
• ${\hat {\phi }}_{pq}\colon E_{q}|_{U_{pq}}\to E_{p}$ представляет собой вложение орбифолдного векторного расслоения, которое покрывает $\phi _{pq}$.

Кроме того, эти данные должны удовлетворять следующим условиям совместимости:

• $S_{p}\circ \phi _{pq}={\hat {\phi }}_{pq}\circ S_{q}|_{U_{pq}}$;
• $\psi _{p}\circ \phi _{pq}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}=\psi _{q}|_{S_{q}^{-1}(0)\cap U_{pq}}$.

Кураниши Структура на $X$ размера $k$ это коллекция

${\Big (}\{K_{p}=(U_{p},E_{p},S_{p},F_{p},\psi _{p})\ |\ p\in X\},\ \{T_{pq}=(U_{pq},\phi _{pq},{\hat {\phi }}_{pq})\ |\ p\in X,\ q\in F_{p}\}{\Big )},$

где

• $K_{p}$ это район Кураниши в $p$ размера $k$;
• $T_{pq}$ это изменение координат от $K_{q}$ к $K_{p}$.

Кроме того, изменения координат должны удовлетворять условию коцикла , а именно, всякий раз, когда $q\in F_{p},\ r\in F_{q}$, мы требуем этого

$\phi _{pq}\circ \phi _{qr}=\phi _{pr},\ {\hat {\phi }}_{pq}\circ {\hat {\phi }}_{qr}={\hat {\phi }}_{pr}$

над регионами, где определены обе стороны.

История

В теории Громова–Виттена необходимо определить интегрирование по пространству модулей псевдоголоморфных кривых. ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$. Это пространство модулей представляет собой, грубо говоря, набор карт. $u$ из узловой римановой поверхности с родом $g$ и $n$ отмеченные точки в симплектическое многообразие $X$, такой, что каждый компонент удовлетворяет уравнению Коши–Римана

${\overline {\partial }}_{J}u=0$.

интегрирование (или фундаментальный класс Если пространство модулей представляет собой гладкое, компактное, ориентированное многообразие или орбифолд, то можно определить ). Когда симплектическое многообразие $X$ является полуположительным , это действительно так (за исключением границ коразмерности 2 пространства модулей), если почти комплексная структура $J$ возмущается вообще. Однако, когда $X$ не является полуположительным (например, гладкое проективное многообразие с отрицательным первым классом Черна), пространство модулей может содержать конфигурации, у которых одна компонента является кратным накрытием голоморфной сферы $u\colon S^{2}\to X$ пересечение которого с первым классом Черна $X$ является отрицательным. Такие конфигурации делают пространство модулей очень сингулярным, поэтому фундаментальный класс не может быть определен обычным способом.

Понятие структуры Кураниши было способом определения виртуального фундаментального цикла, который играет ту же роль, что и фундаментальный цикл, когда пространство модулей вырезано поперек. Впервые он был использован Фукая и Оно при определении инвариантов Громова-Виттена и гомологии Флоера и получил дальнейшее развитие, когда Фукая, О Ён-Гын , Хироши Ота и Оно изучали теорию лагранжевого пересечения Флоера .

Ссылки

• Фукая, Кенджи ; Тегерани, Мохаммад Ф. (2019). «Теория Громова-Виттена через структуры Кураниши». В Моргане, Джон В. (ред.). Виртуальные фундаментальные циклы в симплектической топологии . Математические обзоры и монографии. Том. 237. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 111–252. arXiv : 1701.07821 . ISBN  978-1-4704-5014-4 . МР   2045629 .