Гомоморфизм Гайзина

В области математики , известной как алгебраическая топология , последовательность Гайзина представляет собой длинную точную последовательность , которая связывает классы когомологий базового пространства , слоя и полного пространства расслоения сфер . Последовательность Гайзина — полезный инструмент для вычисления колец когомологий с учетом класса Эйлера расслоения сфер и наоборот. Она была введена Гайсиным ( 1942 ) и обобщена спектральной последовательностью Серра .

Определение

Рассмотрим послойно-ориентированное расслоение сфер с полным пространством E , базовым пространством M , слоем S ^к и карта проекции $\pi$: $S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.$

степени k + 1 Любое такое расслоение определяет класс когомологий e , называемый классом Эйлера расслоения.

Когомологии Де Рама

Обсуждение последовательности наиболее ясно происходит с когомологиями де Рама . Там классы когомологий представлены дифференциальными формами , так что e можно представить ( k + 1)-формой.

Карта проекции $\pi$ индуцирует отображение в когомологиях $H^{\ast }$ назвал его откатом $\pi ^{\ast }$

$\pi ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,$

В случае расслоения можно также определить прямого распространения . карту $\pi _{\ast }$

$\pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)$

которое действует путем послойного интегрирования дифференциальных форм на ориентированной сфере - обратите внимание, что это отображение идет «неправильным путем» : это ковариантное отображение между объектами, связанными с контравариантным функтором.

Гайсин доказал, что следующая длинная точная последовательность

$\cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{n-k}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots$

где $e_{\wedge }$ является клиновым произведением дифференциальной формы с классом Эйлера e .

Интегральные когомологии

Последовательность Гайзина — длинная точная последовательность не только для когомологий де Рама дифференциальных форм, но и для когомологий с целыми коэффициентами. В интегральном случае необходимо заменить клиновое произведение класса Эйлера на чашечное произведение , и прямое отображение уже не соответствует интегрированию.

Гомоморфизм Гайзина в алгебраической геометрии

Пусть i : X → Y – (замкнутое) регулярное вложение коразмерности d , Y ' → Y – морфизм и i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' индуцированное отображение. Пусть N — обратный образ нормального расслоения i на X ' . Тогда уточненный гомоморфизм Гайзина i ^! относится к составу

$i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow }}A_{k-d}(X')$

где

• σ — гомоморфизм специализации ; которое переводит k мерное подмногообразие V в нормальный конус пересечения V и X ' в V. - Результат лежит в N через $C_{X'/Y'}\hookrightarrow N$.
• Второе отображение — это (обычный) гомоморфизм Гайзина, индуцированный вложением нулевого сечения $X'\hookrightarrow N$.

Гомоморфизм i ^! кодирует продукт пересечения в теории пересечений тем, что либо показывается продукт пересечения X и V , заданный формулой $X\cdot V=i^{!}[V],$ или принимает эту формулу как определение.

Пример : Для векторного расслоения E пусть s : X → E сечение E. — Тогда, когда s — регулярное сечение , $s^{!}[X]$ это класс нулевого локуса s , где [ X ] — класс X. фундаментальный —

См. также

• Логарифмическая форма
• Последовательность Ванга

Источники

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для аспирантов по математике, Springer-Verlag, ISBN  978-038790613-3
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Гайсин, Вернер (1942), «К теории гомологии отображений и расслоений многообразий» , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 61–122, doi : 10.1007/bf02565612 , ISSN   0010-2571 , MR   0006511