Причинные фермионные системы

Теория причинных фермионных систем представляет собой подход к описанию фундаментальной физики . Оно обеспечивает объединение слабого , сильного и электромагнитного взаимодействий с гравитацией на уровне классической теории поля . рассматривается Более того, квантовая механика как предельный случай и обнаруживается тесная связь с квантовой теорией поля . Следовательно, она является кандидатом на создание единой физической теории.Вместо введения физических объектов в уже существующее пространственно-временное многообразие общая концепция состоит в том, чтобы вывести пространство-время, а также все объекты в нем как вторичные объекты из структур лежащей в основе причинной фермионной системы. Эта концепция также позволяет обобщить понятия дифференциальной геометрии на негладкую ситуацию. В частности, можно описать ситуации, когда пространство-время больше не имеет структуры многообразия в микроскопическом масштабе (например, решетки пространства-времени или других дискретных или непрерывных структур в масштабе Планка ). В результате теория причинных фермионных систем представляет собой предложение квантовой геометрии и подход к квантовой гравитации .

Причинные фермионные системы были представлены Феликсом Финстером и его сотрудниками.

Мотивация и физическая концепция

Физической отправной точкой является тот факт, что уравнение Дирака в пространстве Минковского имеет решения с отрицательной энергией, которые обычно ассоциируются с морем Дирака . Принимая всерьез концепцию о том, что состояния моря Дирака образуют неотъемлемую часть физической системы, можно обнаружить, что многие структуры (например, причинные и метрические структуры, а также бозонные поля) могут быть восстановлены из волновых функций состояний моря. . Это приводит к идее, что волновые функции всех занятых государств (включая морские государства) следует рассматривать как базовые физические объекты и что все структуры в пространстве-времени возникают в результате коллективного взаимодействия морских государств друг с другом и с дополнительными частицами и «дырками» в море. Математическая реализация этой картины приводит к построению причинных фермионных систем.

Точнее, соответствие между приведенной выше физической ситуацией и математической основой получается следующим образом. Все занятые состояния охватывают гильбертово пространство волновых функций в пространстве Минковского. ${\hat {M}}$. Наблюдаемая информация о распределении волновых функций в пространстве-времени кодируется в локальных корреляционных операторах $F(x),x\in {\hat {M}},$ который в ортонормированном базисе $(\psi _{i})$ иметь матричное представление

${\big (}F(x){\big )}_{j}^{i}=-{\overline {\psi _{i}(x)}}\psi _{j}(x)$

(где ${\overline {\psi }}$ – присоединенный спинор ).Чтобы превратить волновые функции в основные физические объекты, рассматривают множество $\{F(x)\,|\,x\in {\hat {M}}\}$ как набор линейных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве. Все структуры пространства Минковского не учитываются, кроме меры объема. $d^{4}x$, которая преобразуется в соответствующую меру на линейных операторах ( «универсальную меру» ). Полученные структуры, а именно гильбертово пространство вместе с мерой линейных операторов в нем, являются основными ингредиентами причинной фермионной системы.

Описанное выше построение можно провести и в более общем пространстве-времени . Более того, взяв за отправную точку абстрактное определение, причинные фермионные системы позволяют описать обобщенное «квантовое пространство-время». Физическая картина такова, что одна причинная фермионная система описывает пространство-время вместе со всеми структурами и объектами в нем (такими как причинные и метрические структуры, волновые функции и квантовые поля). Чтобы выделить физически допустимые причинные фермионные системы, необходимо сформулировать физические уравнения. По аналогии с лагранжевой формулировкой классической теории поля физические уравнения для причинных фермионных систем формулируются с помощью вариационного принципа, так называемого принципа причинного действия . Поскольку мы работаем с разными базовыми объектами, принцип причинного действия имеет новую математическую структуру, позволяющую минимизировать положительное действие при изменении универсальной меры. Связь с обычными физическими уравнениями получается в некотором предельном случае (т.е. предел континуума ), в котором взаимодействие может быть эффективно описано калибровочными полями, связанными с частицами и античастицами , тогда как море Дирака больше не проявляется.

Общая математическая постановка

В этом разделе представлена ​​математическая основа причинных фермионных систем.

Определение причинной фермионной системы

Причинная фермионная система спиновой размерности $n\in \mathbb {N}$ это тройка $({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )$ где

• $({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})$ является комплексным гильбертовым пространством .
• ${\mathcal {F}}$ — множество всех самосопряженных линейных операторов конечного ранга на ${\mathcal {H}}$ которые (с учетом кратностей ) имеют не более $n$ позитив и максимум $n$ отрицательные собственные значения.
• $\rho$ это мера по ${\mathcal {F}}$.

Мера $\rho$ называется универсальной мерой .

Как будет показано ниже, это определение достаточно богато, чтобы закодировать аналоги математических структур, необходимых для формулирования физических теорий. В частности, каузальная фермионная система порождает пространство-время вместе с дополнительными структурами, которые обобщают такие объекты, как спиноры , метрика и кривизна . Более того, он включает в себя квантовые объекты, такие как волновые функции и фермионное состояние Фока .

Принцип причинно-следственного действия

Вдохновленная лангранжевой формулировкой классической теории поля, динамика причинной фермионной системы описывается вариационным принципом, определяемым следующим образом.

Учитывая гильбертово пространство $({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})$ и спиновая размерность $n$, набор ${\mathcal {F}}$ определяется, как указано выше. Тогда для любого $x,y\in {\mathcal {F}}$, продукт $xy$ является оператором ранга не более $2n$. Оно не обязательно самосопряжено, поскольку, вообще говоря, $(xy)^{*}=yx\neq xy$. Обозначим нетривиальные собственные значения оператора $xy$ (считая алгебраические кратности ) по

$\lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.$

При этом спектральный вес $|.|$ определяется

$|xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{and}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.$

Лагранжиан ​ вводится

${\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.$

Причинное действие определяется

${\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.$

Принцип причинно-следственного действия заключается в минимизации ${\mathcal {S}}$ под вариациями $\rho$ в классе (положительных) борелевских мер при следующих ограничениях:

• Ограничение ограниченности: $\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C$ для некоторой положительной константы $C$.
• Ограничение трассировки: $\;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)$ сохраняется фиксированным.
• Общий объем $\rho ({\mathcal {F}})$ сохраняется.

Здесь на ${\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})$ рассматривается топология, индуцированная $\sup$-норма ограниченных линейных операторов на ${\mathcal {H}}$.

Ограничения предотвращают тривиальные минимизаторы и обеспечивают существование при условии, что ${\mathcal {H}}$ является конечномерным. Этот вариационный принцип имеет смысл и в том случае, если общий объем $\rho ({\mathcal {F}})$ бесконечно, если рассматривать вариации $\delta \rho$ ограниченной вариации с $(\delta \rho )({\mathcal {F}})=0$.

Внутренние структуры

В современных физических теориях слово пространство-время относится к лоренцеву многообразию. $(M,g)$. Это означает, что пространство-время представляет собой набор точек, обогащенный топологическими и геометрическими структурами. В контексте каузальных фермионных систем пространство-время не обязательно должно иметь многообразную структуру. Вместо этого пространство-время $M$ — набор операторов в гильбертовом пространстве (подмножество ${\mathcal {F}}$). Это подразумевает дополнительные внутренние структуры, которые соответствуют обычным объектам на пространственно-временном многообразии и обобщают их.

Для причинно-фермионной системы $({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )$,мы определяем пространство-время $M$ как опора универсальной меры,

$M:={\text{supp}}\,\rho \subset {\mathcal {F}}.$

С индуцированной топологией , ${\mathcal {F}}$,пространство-время $M$ является топологическим пространством .

Причинная структура

Для $x,y\in M$, обозначим нетривиальные собственные значения оператора $xy$ (считая алгебраические кратности ) по $\lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }$.Очки $x$ и $y$ определяются как пространственно-подобные, разделенные, если все $\lambda _{j}^{xy}$ имеют одинаковое абсолютное значение. Они разделены во времениподобно, если $\lambda _{j}^{xy}$ не все имеют одинаковую абсолютную ценность и не все реальны. Во всех остальных случаях точки $x$ и $y$ разделены светоподобно .

Это понятие причинности согласуется с «причинностью» вышеуказанного причинного действия в том смысле, что если две точки пространства-времени $x,y\in M$ пространственно разделены, то лагранжиан ${\mathcal {L}}(x,y)$ исчезает. Это соответствует физическому представлению о причинности , согласно которому пространственно разделенные точки пространства-времени не взаимодействуют. Эта причинная структура является причиной появления понятия «причинность» в причинной фермионной системе и причинном действии.

Позволять $\pi _{x}$ обозначим ортогональную проекцию на подпространство $S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}$. Тогда знак функционала

$i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})$

отличает будущее от прошлого . В отличие от структуры частично упорядоченного множества , отношение «лежит в будущем» вообще не является транзитивным. Но в типичных примерах оно транзитивно в макроскопическом масштабе.

Спиноры и волновые функции

Для каждого $x\in M$ спиновое пространство определяется формулой $S_{x}=x({\mathcal {H}})$; это подпространство ${\mathcal {H}}$ размера не более $2n$. Спин -скалярное произведение ${\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}$ определяется

${\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}$

является неопределенным внутренним произведением на $S_{x}$ подписи ​ $(p,q)$ с $p,q\leq n$.

Волновая функция $\psi$ это отображение

$\psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.$

О волновых функциях, для которых норма ${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$ определяется

${|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)$

конечно (где $|x|={\sqrt {x^{2}}}$ — абсолютное значение симметричного оператора $x$), можно определить внутренний продукт

${\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.$

Вместе с топологией, индуцированной нормой ${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$, получается пространство Крейна $({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})$.

К любому вектору $u\in {\mathcal {H}}$ мы можем связать волновую функцию

$\psi ^{u}(x):=\pi _{x}u$

(где $\pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}$ снова является ортогональной проекцией на спиновое пространство).Это приводит к появлению особого семейства волновых функций, называемыхволновые функции занятых состояний .

Фермионный проектор

Ядро фермионного проектора $P(x,y)$ определяется

$P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}$

(где $\pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}$ снова ортогональная проекция на спиновое пространство,и $|_{S_{y}}$ обозначает ограничение на $S_{y}$). Фермионный проектор $P$ это оператор

$P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},$

который имеет плотную область определения, заданную всеми векторами $\psi \in {\mathcal {K}}$ удовлетворяющие условиям

$\phi :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{and}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.$

Вследствие принципа причинности ядро ​​фермионного проектора обладает дополнительными нормировочными свойствами. которые оправдывают название проектора .

Соединение и кривизна

Будучи оператором перехода из одного спинового пространства в другое, ядро ​​фермионного проектора задает отношения между различными точками пространства-времени. Этот факт можно использовать для введения спиновой связи.

$D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.$

Основная идея состоит в том, чтобы взять полярное разложение $P(x,y)$. Конструкция усложняется тем, что спиновая связность должна индуцировать соответствующую метрическую связность.

$\nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,$

где касательное пространство $T_{x}$ является особым подпространством линейных операторов на $S_{x}$ наделен лоренцевой метрикой.Спиновая кривизна определяется как голономия спиновой связи:

${\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.$

Точно так же метрическая связь порождает метрическую кривизну . Эти геометрические структуры порождают предложение о квантовой геометрии .

Уравнения Эйлера–Лагранжа и линеаризованные уравнения поля

Минимизатор $\rho$ причинного действия удовлетворяет соответствующим уравнениям Эйлера–Лагранжа . Они утверждают, что функция $\ell _{\kappa }$ определяется

$\ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}$

(с двумя параметрами Лагранжа $\kappa$ и ${\mathfrak {s}}$) обращается в нуль и минимален на носителе $\rho$,

$\ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.$

Для анализа удобно ввести струи ${\mathfrak {u}}:=(a,u)$ состоящая из действительной функции $a$ на $M$ и векторное поле $u$ на $T{\mathcal {F}}$ вдоль $M$и обозначить комбинацию умножения и производной по направлению через $\nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)$. Тогда из уравнений Эйлера–Лагранжа следует, что слабые уравнения Эйлера–Лагранжа

$\nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0$

подождите любого испытательного самолета ${\mathfrak {u}}$.

Семейства решений уравнений Эйлера–Лагранжа порождаются бесконечно малой струей ${\mathfrak {v}}$ которое удовлетворяет линеаризованным уравнениям поля

$\langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,$

быть удовлетворен всеми испытательными самолетами ${\mathfrak {u}}$, где лапласиан $\Delta$ определяется 

$\langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.$

Уравнения Эйлера–Лагранжа описывают динамику причинной фермионной системы, тогда как малые возмущения системы описываются линеаризованными уравнениями поля.

Сохраняющиеся интегралы поверхностного слоя

В случае каузальных фермионных систем пространственные интегралы выражаются так называемыми интегралами поверхностного слоя . В общих чертах интеграл поверхностного слоя представляет собой двойной интеграл вида

$\int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,$

где одна переменная интегрирована по подмножеству $\Omega \subset M$, а другая переменная интегрируется по дополнению $\Omega$. Обычные законы сохранения заряда, энергии и т. д. можно выразить через интегралы поверхностного слоя. Соответствующие законы сохранения являются следствием уравнений Эйлера–Лагранжа, принципа причинности и линеаризованных уравнений поля. Для приложений наиболее важными интегралами поверхностного слоя являются интеграл тока $\gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})$, симплектическая форма $\sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})$, внутренний продукт поверхностного слоя $\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }$ и нелинейный интеграл поверхностного слоя $\gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )$.

Динамика бозонного пространства Фока

На основе законов сохранения приведенных выше интегралов поверхностного слоя динамика причинной фермионной системы, описываемая уравнениями Эйлера–Лагранжа, соответствующими принципу причинного действия, может быть переписана как линейная, сохраняющая норму динамика в бозонном пространстве Фока, построенная составление решений линеаризованных уравнений поля. В так называемом голоморфном приближении временная эволюция подчиняется сложной структуре, что приводит к унитарной временной эволюции в бозонном пространстве Фока.

Фермионное состояние Фока

Если ${\mathcal {H}}$ имеет конечную размерность $f$, выбирая ортонормированный базис $u_{1},\ldots ,u_{f}$ из ${\mathcal {H}}$ и взяв клиновое произведение соответствующих волновых функций

${\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})$

дает состояние $f$-частичное фермионное пространство Фока . Ввиду тотальной антисимметризации это состояние зависит от выбора базиса ${\mathcal {H}}$ только фазовым коэффициентом. Это соответствие объясняет, почему векторы в пространстве частиц следует интерпретировать как фермионы . Это также мотивирует название причинной фермионной системы.

Основные физические принципы

Причинные фермионные системы особым образом включают в себя несколько физических принципов:

• Принцип локальной калибровки : чтобы представить волновые функции в компонентах, выбираются базисы спиновых пространств. Обозначая сигнатуру спин-скалярного произведения в $x$ к $({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x})$, псевдоортонормированный базис $({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))_{\alpha =1,\ldots ,{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}$ из $S_{x}$ дается

${\prec }{\mathfrak {e}}_{\alpha }|{\mathfrak {e}}_{\beta }{\succ }=s_{\alpha }{\,}\delta _{\alpha \beta }\quad {\text{with}}\quad s_{1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}}=1,\;\;s_{{\mathfrak {p}}_{x}+1},\ldots ,s_{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}=-1{\,}.$

Тогда волновая функция $\psi$ могут быть представлены компонентными функциями,

$\psi (x)=\sum _{\alpha =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}\psi ^{\alpha }(x){\,}{\mathfrak {e}}_{\alpha }(x){\,}.$

Свобода выбора баз $({\mathfrak {e}}_{\alpha }(x))$ независимо в каждой точке пространства-времени соответствует локальным унитарным преобразованиям волновых функций,

$\psi ^{\alpha }(x)\rightarrow \sum _{\beta =1}^{{\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {q}}_{x}}U(x)_{\beta }^{\alpha }\,\,\psi ^{\beta }(x)\quad {\text{with}}\quad U(x)\in {\text{U}}({\mathfrak {p}}_{x},{\mathfrak {q}}_{x}){\,}.$

Эти преобразования имеют интерпретацию как локальные калибровочные преобразования . Калибровочная группа определяется как группа изометрии спин-скалярного произведения. Причинное действие калибровочно-инвариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора спинорных базисов.

• Принцип эквивалентности : для явного описания пространства-времени необходимо работать с локальными координатами. Свобода выбора таких координат обобщает свободу выбора общих систем отсчета в пространственно-временном многообразии. Поэтому принцип эквивалентности соблюдается общей теории относительности . Причинное действие вообще ковариантно в том смысле, что оно не зависит от выбора координат.
• Принцип исключения Паули : фермионное состояние Фока, связанное с причинной фермионной системой, позволяет описать многочастичное состояние полностью антисимметричной волновой функцией. Это дает согласие с принципом исключения Паули .
• Принцип причинности заложен в форме причинного действия в том смысле, что точки пространства-времени, разделенные пространственно-подобным образом, не взаимодействуют.

Предельные случаи

Причинные фермионные системы имеют математически обоснованные предельные случаи, которые обеспечивают связь с обычными физическими структурами.

Лоренцева спиновая геометрия глобально гиперболического пространства-времени

Начиная с любого глобально гиперболического лоренцева спинового многообразия. $({\hat {M}},g)$ со спинорным пучком $S{\hat {M}}$, можно попасть в рамки причинно-фермионных систем, выбрав $({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})$ как подпространство пространства решений уравнения Дирака . Определение так называемого локального корреляционного оператора $F(p)$ для $p\in {\hat {M}}$ к

${\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}$

(где ${\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}$ внутренний продукт волокна $S_{p}{\hat {M}}$) и введение универсальной меры как выдвижения меры объема на ${\hat {M}}$,

$\rho =F_{*}d\mu {\,},$

получается причинная фермионная система. Чтобы операторы локальной корреляции были четко определены, ${\mathcal {H}}$ должен состоять из непрерывных участков, что обычно приводит к необходимости введения регуляризации в микроскопическом масштабе $\varepsilon$. В пределе $\varepsilon \searrow 0$, все внутренние структуры причинной фермионной системы (такие как причинная структура, связность и кривизна) переходят в соответствующие структуры на лоренцевом спиновом многообразии. Таким образом, геометрия пространства-времени полностью закодирована в соответствующих причинных фермионных системах.

Квантовая механика и классические уравнения поля

Уравнения Эйлера–Лагранжа, соответствующие принципу причинного действия, имеют четко определенный предел, если пространство-время $M:={\text{supp}}\,\rho$ причинных фермионных систем переходят в пространство Минковского . Более конкретно, рассматривается последовательность причинных фермионных систем (например, с ${\mathcal {H}}$ конечномерное, чтобы обеспечить существование фермионного состояния Фока, а также минимизаторов причинного действия), таких, что соответствующие волновые функции переходят к конфигурации взаимодействующих морей Дирака, включающих дополнительные состояния частиц или «дырки» в моря. Эта процедура, называемая пределом континуума , дает эффективные уравнения, имеющие структуру уравнения Дирака, связанного с классическими уравнениями поля . Например, для упрощенной модели, включающей три элементарные фермионные частицыво втором спиновом измерении взаимодействие достигается через классическое аксиальное калибровочное поле $A$ описывается связанными уравнениями Дирака– и Янга–Миллса

${\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}$

Взяв нерелятивистский предел уравнения Дирака, можно получить уравнение Паули или уравнение Шредингера , что дает соответствие квантовой механике . Здесь $C_{0}$ и $C_{2}$ зависят от регуляризации и определяют константу связи, а также массу покоя.

Аналогично, для системы, включающей нейтрино со спиновым измерением 4, фактически получается массивный $SU(2)$ Калибровочное поле, связанное с левой компонентой спиноров Дирака. Фермионная конфигурация стандартной модели может быть описана в спиновом измерении 16.

Уравнения поля Эйнштейна

Для только что упомянутой системы с нейтрино предел континуума также дает уравнения поля Эйнштейна , связанные со спинорами Дирака:

$R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,$

с точностью до поправок более высокого порядка в тензоре кривизны. Здесь космологическая постоянная $\Lambda$ является неопределенным, и $T_{jk}$ обозначает тензор энергии-импульса спиноров, а $SU(2)$ калибровочное поле. Гравитационная постоянная $\kappa$ зависит от длины регуляризации.

Квантовая теория поля в пространстве Минковского

Исходя из связанной системы уравнений, полученной в континуальном пределе, и разлагая по степеням константы связи, получаются интегралы, соответствующие диаграммам Фейнмана на уровне дерева. Фермионные петлевые диаграммы возникают вследствие взаимодействия с морскими состояниями, тогда как бозонные петлевые диаграммы возникают при усреднении по микроскопической (в общем случае негладкой) пространственно-временной структуре причинной фермионной системы (так называемое микроскопическое перемешивание ). Детальный анализ и сравнение со стандартной квантовой теорией поля находится в стадии разработки.

Дальнейшее чтение

• Веб-платформа по причинным фермионным системам