Классическая теория поля

Классическая теория поля — это физическая теория , которая предсказывает, как одно или несколько полей в физике взаимодействуют с материей посредством уравнений поля , без учета эффектов квантования ; Теории, включающие в себя квантовую механику, называются квантовыми теориями поля . В большинстве случаев «классическая теория поля» специально предназначена для описания электромагнетизма и гравитации , двух фундаментальных сил природы.

Физическое поле можно рассматривать как задание физической величины в каждой точке пространства и времени . Например, в прогнозе погоды скорость ветра над страной в течение дня описывается путем присвоения вектора каждой точке пространства. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра на территории в данный момент времени представляет собой векторное поле . В течение дня направления векторов меняются по мере изменения направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения электромагнитных полей Максвелла были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году, и их пришлось пересмотреть, чтобы они соответствовали этой теории. Следовательно, классические теории поля обычно делятся на нерелятивистские и релятивистские . Современные теории поля обычно выражаются с использованием математики тензорного исчисления . Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых расслоениями .

Нерелятивистские теории поля

Некоторые из простейших физических полей являются векторными силовыми полями. Исторически впервые поля были восприняты всерьез при описании Фарадея силовых линий при описании электрического поля . Затем аналогичным образом было описано гравитационное поле .

Ньютоновская гравитация

Первой полевой теорией гравитации была теория гравитации Ньютона , в которой взаимное взаимодействие двух масс подчиняется закону обратных квадратов . Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело М имеет гравитационное поле g , описывающее его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в точке r в пространстве находится путем определения силы F , которую M оказывает на небольшую пробную массу m, расположенную в точке r , и последующего деления ее на m : ^[1] $\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.$ Условие, что m намного меньше, чем M, гарантирует, что присутствие m оказывает незначительное влияние на поведение M .

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , F ( r ) определяется выражением ^[1] $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$ где ${\hat {\mathbf {r} }}$ — единичный вектор , указывающий вдоль линии от M до m , а G Ньютона — гравитационная постоянная . Следовательно, гравитационное поле M равно ^[1] $\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.$

Экспериментальное наблюдение того, что инертная масса и гравитационная масса равны с беспрецедентным уровнем точности, приводит к идентификации напряженности гравитационного поля как идентичной ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности , который ведет к общей теории относительности .

Для дискретного набора масс Mi _равно , расположенных в точках r _i , гравитационное поле в точке r, обусловленное массами, $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,$

Если вместо этого у нас есть непрерывное распределение массы ρ , сумма заменяется интегралом: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,$

Обратите внимание, что направление поля указывает от положения r к положению масс r _i ; это обеспечивается знаком минус. Короче говоря, это означает, что все массы притягиваются.

В интегральной форме закон гравитации Гаусса имеет вид $\iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM$ в то время как в дифференциальной форме это $\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}$

Следовательно, гравитационное поле g можно записать через градиент гравитационного потенциала $φ (r)$ : $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).$ следствие силы F. консервативности гравитационной Это

Электромагнетизм

Электростатика

На заряженную пробную частицу с зарядом q действует сила F, основанная исключительно на ее заряде. Мы можем аналогичным образом описать электрическое поле E, создаваемое зарядом источника Q, что $F = qE так$ : $\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.$

Используя этот закон и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно $\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.$

Электрическое поле консервативно и, следовательно, определяется градиентом скалярного потенциала $V (r)$ $\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.$

Закон Гаусса для электричества имеет интегральную форму. $\iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$ в дифференциальной форме $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.$

Магнитостатика

Постоянный ток I, текущий по пути ℓ, будет оказывать на близлежащие заряженные частицы силу, количественно отличающуюся от силы электрического поля, описанной выше. Сила, действующая со стороны I на близлежащий заряд q со скоростью v , равна $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),$ где B ( r ) — магнитное поле , которое определяется из I по закону Био–Савара : $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.$

Магнитное поле вообще не консервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать через потенциал векторный A ( r ): $\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме: $\iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,$ в то время как в дифференциальной форме это $\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$

не существует Физическая интерпретация состоит в том, что магнитных монополей .

Электродинамика

В общем, при наличии как плотности заряда ρ ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будет существовать как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла , набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B с плотностью электрического заряда (заряд на единицу объема) ρ и плотностью тока (электрический ток на единицу площади J. ) ^[2]

Альтернативно можно описать систему через ее скалярный и векторный V и A. потенциалы Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы, позволяет рассчитать V и A по ρ и J , ^{[примечание 1]} и оттуда электрические и магнитные поля определяются соотношениями ^[3] $\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Механика сплошных сред

Гидродинамика

В гидродинамике есть поля давления, плотности и скорости потока, которые связаны законами сохранения энергии и импульса. Уравнение неразрывности массы — это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы. ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ а уравнения Навье – Стокса представляют сохранение импульса в жидкости, найденное на основе законов Ньютона, примененных к жидкости: ${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$ плотность $ρ$ , давление $p$ , тензор девиаторных напряжений $τ$ жидкости, а также внешние объемные силы b если заданы . Поле скорости u — это векторное поле, которое необходимо найти.

Другие примеры

В 1839 году Джеймс МакКаллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления в «Очерке динамической теории кристаллического отражения и преломления». ^[4]

Потенциальная теория

Термин « теория потенциала » возник из-за того, что в физике XIX века считалось, что фундаментальные силы природы возникают из скалярных потенциалов , которые удовлетворяют уравнению Лапласа . Пуассон обратился к вопросу устойчивости планетных орбит , который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения от сил возмущения, и вывел уравнение Пуассона , названное его именем. Общий вид этого уравнения:

$\nabla ^{2}\phi =\sigma$

где σ — функция источника (как плотность, количество на единицу объема), а ø — скалярный потенциал, который необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, поэтому силовые линии заканчиваются на объектах, имеющих массу. Точно так же заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают линии электрического поля, а силовые линии оканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общей теореме о дивергенции , в частности, в законе Гаусса для гравитации и электричества. В случаях не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля представляют собой градиенты соответствующих потенциалов. $\mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}$ поэтому подстановка их в закон Гаусса для каждого случая дает $\nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}$

где ρ _g — плотность массы , ρ _{e —} , плотность заряда G — гравитационная постоянная и k _e = 1/4πε ₀ — электрическая силовая константа.

Между прочим, это сходство возникает из-за сходства закона тяготения Ньютона и закона Кулона .

В случае, когда нет исходного члена (например, вакуума или парных зарядов), эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа : $\nabla ^{2}\phi =0.$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферических гармоник , причем n- й член ряда можно рассматривать как потенциал, возникающий из-за 2 ^н-моменты (см. мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах необходимы только монопольные, дипольные и квадрупольные члены.

Релятивистская теория поля

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренц-ковариации, поскольку теперь она признана фундаментальным аспектом природы. Теория поля имеет тенденцию выражаться математически с использованием лагранжианов . Это функция, которая, будучи подчинена принципу действия , приводит к уравнениям поля и закону сохранения теории. Действие представляет собой скаляр Лоренца, из которого можно легко вывести уравнения поля и симметрии.

Всюду мы используем такие единицы измерения, что скорость света в вакууме равна 1, т. е. c = 1. ^{[примечание 2]}

Лагранжева динамика

Учитывая тензор поля $\phi$ , скаляр, называемый плотностью Лагранжа ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)$ может быть построен из $\phi$ и его производные.Из этой плотности можно построить функционал действия путем интегрирования по пространству-времени: ${\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.$

Где ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ — это форма объема в искривленном пространстве-времени. $(g\equiv \det(g_{\mu \nu }))$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжиана по всему пространству.

Тогда, применяя принцип действия , получаются уравнения Эйлера – Лагранжа

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.$

Релятивистские поля

Ниже описаны две наиболее известные лоренц-ковариантные классические теории поля.

Электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (отдельно). После многочисленных экспериментов было установлено, что эти два поля связаны между собой, или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля . Максвелла Теория электромагнетизма описывает взаимодействие заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрических и магнитных полей. С появлением специальной теории относительности была найдена более полная формулировка с использованием тензорных полей. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

Электромагнитный четырехпотенциал определяется как $A a = (- φ, A)$ и электромагнитный четырехток $j a = (- ρ, j)$ . Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (0,2)-ранга. $F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем ${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.$

Мы можем использовать теорию калибровочного поля , чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам ${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.$

Уравнения

Чтобы получить уравнения поля, электромагнитный тензор в лагранжевой плотности необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A , и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ поле F в уравнениях ЭЛ не меняется. Поэтому, $\partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.$

Вычисление производной плотности Лагранжа по компонентам поля ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,$ и производные компонент поля ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,$ получает уравнения Максвелла в вакууме. Исходные уравнения (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера) имеют вид $\partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.$ в то время как два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получены из того факта, что F является 4-витком A , или, другими словами, из того факта, что тождество Бьянки справедливо для тензора электромагнитного поля. ^[5] $6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.$

где запятая указывает на частную производную .

Гравитация

После того, как ньютоновская гравитация оказалась несовместимой со специальной теорией относительности , Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности . Здесь гравитация рассматривается как геометрическое явление («искривленное пространство-время »), вызванное массами, и представляет гравитационное поле математически в виде тензорного поля , называемого метрическим тензором . Уравнения поля Эйнштейна описывают, как возникает эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменена общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация рассматривается как результат искривления пространства-времени , вызванного массами. Уравнения поля Эйнштейна, $G_{ab}=\kappa T_{ab}$ описать, как эта кривизна создается материей и излучением, где G _ab — тензор Эйнштейна , $G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$ записанные в терминах тензора Риччи R _ab и скаляра Риччи $R = R ab g аб$ , $T ab$ — тензор энергии-импульса и $κ = 8 πG / c 4$ является константой. В отсутствие материи и излучения (включая источники) вакуумного поля уравнения $G_{ab}=0$ может быть получено путем варьирования действия Эйнштейна – Гильберта , $S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ относительно метрики, где g — определитель метрического тензора g ^аб. Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Альтернативная интерпретация, предложенная Артуром Эддингтоном , заключается в том, что $R$ является фундаментальным, $T$ является лишь одним из аспектов $R$ , и $\kappa$ обусловлен выбором единиц измерения.

Дальнейшие примеры

Дальнейшие примеры лоренц-ковариантных классических теорий поля:

Теория Клейна-Гордона для действительных или комплексных скалярных полей
Теория Дирака для спинорного поля Дирака
Теория Янга–Миллса для неабелева калибровочного поля

Попытки объединения

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики — это классические единые теории поля. В годы между двумя мировыми войнами идею объединения гравитации с электромагнетизмом активно продвигали несколько математиков и физиков, таких как Альберт Эйнштейн , Теодор Калуца , ^[6] Герман Вейль , ^[7] Артур Эддингтон , ^[8] Густав Мие ^[9] и Эрнст Райхенбахер. ^[10]

Ранние попытки создать такую теорию были основаны на включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности . В 1918 году аргументы в пользу первой геометризации электромагнитного поля были предложены Германом Вейлем в 1918 году. ^[11]В 1919 году идею пятимерного подхода предложил Теодор Калуца . ^[11] теория под названием «Теория Калуцы-Клейна» На основе этого была разработана . Он пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени .Существует несколько способов расширения репрезентативной структуры единой теории поля, которые рассматривались Эйнштейном и другими исследователями. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. ^[11] Первый вариант основан на смягчении условий, наложенных на исходную формулировку, второй — на введении в теорию других математических объектов. ^[11] Примером первого варианта является ослабление ограничений на четырехмерное пространство-время за счет рассмотрения многомерных представлений. ^[11] Это используется в теории Калуцы-Клейна . Во-вторых, наиболее ярким примером является концепция аффинной связи , которая была введена в общую теорию относительности главным образом благодаря работам Туллио Леви-Чивита и Германа Вейля . ^[11]

Дальнейшее развитие квантовой теории поля изменило фокус поиска единой теории поля с классического описания на квантовое. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поисков классической единой теории поля. ^[11] Квантовая теория поля предполагает объединение двух других фундаментальных сил природы : сильного и слабого ядерного взаимодействия , действующих на субатомном уровне. ^[12]^[13]

См. также

Примечания

^ Это зависит от правильного выбора калибра . φ и A не определяются однозначно ρ и J ; скорее, они определяются только с точностью до некоторой скалярной функции f ( r , t ), известной как калибровка. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора калибровки Лоренца .
^ Это эквивалентно выбору единиц измерения расстояния и времени: световых секунд и секунд или световых лет и лет. Выбор c = 1 позволяет упростить уравнения. Например, E = mc ² сводится к E = m (поскольку c ² = 1, без учета единиц измерения). Это снижает сложность выражений, сохраняя при этом внимание к основным принципам. Эту «хитрость» необходимо учитывать при выполнении реальных численных расчетов.

Ссылки

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б ^с Клеппнер, Дэвид; Коленков, Роберт. Введение в механику . п. 85.
^ Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). п. 326.
^ Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). п. 469.
^ Джеймс МакКаллах (1839) Очерк динамической теории кристаллического отражения и преломления , Труды, Королевская ирландская академия 21
^ «Идентичность Бьянки» .
^ Калуца, Теодор (1921). «О проблеме единства в физике». Зона встреч Пруссия. Академическая наука Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K .
^ Вейль, Х. (1918). «Гравитация и электричество». Сиденье. Академическая наука : 465.
^ Эддингтон, А.С. (1924). Математическая теория относительности, 2-е изд . Кембриджский университет. Нажимать.
^ Ми, Г. (1912). «Основы теории материи» . Энн. Физ . 37 (3): 511–534. Бибкод : 1912АнП...342..511М . дои : 10.1002/andp.19123420306 .
^ Райхенбахер, Э. (1917). «Основные положения теории электричества и гравитации» . Энн. Физ . 52 (2): 134–173. Бибкод : 1917АнП...357..134Р . дои : 10.1002/andp.19173570203 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Зауэр, Тилман (май 2014 г.), «Программа единой теории поля Эйнштейна», в Янссене, Мишель; Ленер, Кристоф (ред.), Кембриджский спутник Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
^ Гадзирайи Ньямбуя, Золотой (октябрь 2007 г.). «Единая теория поля - Статья I, Гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие» (PDF) . Апейрон . 14 (4): 321 . Проверено 30 декабря 2017 г.
^ Де Бур, В. (1994). «Теории Великого объединения и суперсимметрия в физике элементарных частиц и космологии» (PDF) . Прогресс в области физики элементарных частиц и ядерной физики . 33 : 201–301. arXiv : hep-ph/9402266 . Бибкод : 1994ПрПНП..33..201Д . дои : 10.1016/0146-6410(94)90045-0 . S2CID 119353300 . Проверено 30 декабря 2017 г.

Источники

Трусделл, К. ; Тупин, Р.А. (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге, Зигфрид (ред.). Основы классической механики и теории поля/Принципы классической механики и теории поля . Справочник по физике (Энциклопедия физики). Том III/1. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 226–793. Збл 0118.39702 .

Внешние ссылки

Тиде, Бо . «Теория электромагнитного поля» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2003 г. Проверено 14 февраля 2006 г.
Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспекты лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 . Бибкод : 1997gr.qc....12019C . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Бинни, Джеймс Дж. «Конспекты лекций по классическим областям» (PDF) . Проверено 30 апреля 2007 г.
Сарданашвили, Г. (ноябрь 2008 г.). «Передовая классическая теория поля». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Бибкод : 2008IJGMM..05.1163S . дои : 10.1142/S0219887808003247 . ISBN 978-981-283-895-7 . S2CID 13884729 .

[3] Это зависит от правильного выбора калибра . φ и A не определяются однозначно ρ и J ; скорее, они определяются только с точностью до некоторой скалярной функции f ( r , t ), известной как калибровка. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора калибровки Лоренца .

[6] Это эквивалентно выбору единиц измерения расстояния и времени: световых секунд и секунд или световых лет и лет. Выбор c = 1 позволяет упростить уравнения. Например, E = mc ² сводится к E = m (поскольку c ² = 1, без учета единиц измерения). Это снижает сложность выражений, сохраняя при этом внимание к основным принципам. Эту «хитрость» необходимо учитывать при выполнении реальных численных расчетов.

[kleppner85-1] Jump up to: ^а ^б ^с Клеппнер, Дэвид; Коленков, Роберт. Введение в механику . п. 85.

[griffiths326-2] Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). п. 326.

[wangsness469-4] Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). п. 469.

[5] Джеймс МакКаллах (1839) Очерк динамической теории кристаллического отражения и преломления , Труды, Королевская ирландская академия 21

[7] «Идентичность Бьянки» .

[kal-8] Калуца, Теодор (1921). «О проблеме единства в физике». Зона встреч Пруссия. Академическая наука Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K .

[9] Вейль, Х. (1918). «Гравитация и электричество». Сиденье. Академическая наука : 465.

[10] Эддингтон, А.С. (1924). Математическая теория относительности, 2-е изд . Кембриджский университет. Нажимать.

[11] Ми, Г. (1912). «Основы теории материи» . Энн. Физ . 37 (3): 511–534. Бибкод : 1912АнП...342..511М . дои : 10.1002/andp.19123420306 .

[12] Райхенбахер, Э. (1917). «Основные положения теории электричества и гравитации» . Энн. Физ . 52 (2): 134–173. Бибкод : 1917АнП...357..134Р . дои : 10.1002/andp.19173570203 .

[Tilman-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Зауэр, Тилман (май 2014 г.), «Программа единой теории поля Эйнштейна», в Янссене, Мишель; Ленер, Кристоф (ред.), Кембриджский спутник Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525

[14] Гадзирайи Ньямбуя, Золотой (октябрь 2007 г.). «Единая теория поля - Статья I, Гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие» (PDF) . Апейрон . 14 (4): 321 . Проверено 30 декабря 2017 г.

[15] Де Бур, В. (1994). «Теории Великого объединения и суперсимметрия в физике элементарных частиц и космологии» (PDF) . Прогресс в области физики элементарных частиц и ядерной физики . 33 : 201–301. arXiv : hep-ph/9402266 . Бибкод : 1994ПрПНП..33..201Д . дои : 10.1016/0146-6410(94)90045-0 . S2CID 119353300 . Проверено 30 декабря 2017 г.

[1]

[2]

[примечание 1]

[3]

[4]

[примечание 2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]