Уравнение Клейна – Гордона

Уравнение Клейна-Гордона ( уравнение Клейна-Фока-Гордона или иногда уравнение Клейна-Гордона-Фока ) — релятивистское волновое уравнение , родственное уравнению Шредингера . Оно второго порядка в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантно . Это версия релятивистского соотношения энергии и импульса, основанная на дифференциальном уравнении. $E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,$.

Заявление

Уравнение Клейна–Гордона можно записать по-разному. Само уравнение обычно относится к форме позиционного пространства, где его можно записать в терминах разделенных пространственных и временных компонентов. $(t,\mathbf {x} )$ или объединив их в четырехвекторный $x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$. Путем преобразования Фурье поля в пространство импульсов решение обычно записывается в терминах суперпозиции плоских волн энергии-импульса , энергия и импульс которых подчиняются закону дисперсии из специальной теории относительности . Здесь уравнение Клейна – Гордона дано для обоих двух общих о метрических сигнатурах . соглашений $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$.

Уравнение Клейна – Гордона в нормальных единицах с метрической сигнатурой $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$

	Позиционное пространство $x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$	Преобразование Фурье $\omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar$	Импульсное пространство $p^{\mu }=(E/c,\mathbf {p} )$
Отдельный время и пространство	$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0$	$\psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )$	$E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$
Четырехвекторная форма	$(\Box +\mu ^{2})\psi =0,\quad \mu =mc/\hbar$	$\psi (x^{\mu })=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip_{\mu }x^{\mu }/\hbar }\psi (p^{\mu })$	$p^{\mu }p_{\mu }=\pm m^{2}c^{2}$

Здесь, $\Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ волновой оператор и $\nabla ^{2}$ — оператор Лапласа . Скорость света $c$ и постоянная Планка $\hbar$ часто загромождают уравнения, поэтому их часто выражают в натуральных единицах , где $c=\hbar =1$.

Уравнение Клейна–Гордона в натуральных единицах с метрической сигнатурой $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$

	Позиционное пространство $x^{\mu }=(t,\mathbf {x} )$	Преобразование Фурье $\omega =E,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p}$	Импульсное пространство $p^{\mu }=(E,\mathbf {p} )$
Отдельный время и пространство	$\left(\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0$	$\psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )$	$E^{2}=\mathbf {p} ^{2}+m^{2}$
Четырехвекторная форма	$(\Box +m^{2})\psi =0$	$\psi (x^{\mu })=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}\psi (p^{\mu })$	$p^{\mu }p_{\mu }=\pm m^{2}$

В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна-Гордона допускает два значения ω для каждого k : одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для нестационарного случая уравнение Клейна – Гордона принимает вид

$\left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,$

что формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона . Кроме того, уравнение Клейна-Гордона также можно представить в виде:

${\hat {p}}^{\mu }{\hat {p}}_{\mu }\psi =m^{2}c^{2}\psi$

где оператор импульса имеет вид: ${\textstyle {\hat {p}}^{\mu }=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\mathrm {i} \hbar \left\{{\frac {\partial }{\partial (ct)}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}=\{{\frac {E}{c}},\mathbf {p} \}}$.

Актуальность

Уравнение следует понимать в первую очередь как классическое уравнение непрерывного скалярного поля, которое можно квантовать. В результате процесса квантования создается квантовое поле, квантами которого являются бесспиновые частицы. Его теоретическая значимость аналогична значению уравнения Дирака . Решения уравнений включают скалярное или псевдоскалярное поле . В области физики элементарных частиц могут быть включены электромагнитные взаимодействия, образующие тему скалярной электродинамики , практическая полезность таких частиц, как пионы, ограничена. Существует вторая версия уравнения комплексного скалярного поля, которая теоретически важна, — это уравнение бозона Хиггса . В области конденсированного состояния его можно использовать для многих приближений квазичастиц без спина.

Уравнение можно представить в виде уравнения Шрёдингера. В этой форме оно выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени. Решения имеют две компоненты, отражающие зарядовую степень свободы в теории относительности. Он допускает сохраняющуюся величину, но она не является положительно определенной. Поэтому волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности . Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд , а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда . Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака для каждой из четырех его компонент является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Несмотря на то, что исторически оно было изобретено как уравнение одной частицы, уравнение Клейна-Гордона не может составлять основу последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории, любая релятивистская теория предполагает создание и уничтожение частиц за пределами определенного энергетического порога.

Решение для свободных частиц

Здесь уравнение Клейна–Гордона в натуральных единицах: $(\Box +m^{2})\psi (x)=0$, с метрической сигнатурой $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)$ решается преобразованием Фурье. Вставка преобразования Фурье $$\psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)$$и использование ортогональности комплексных экспонент дает дисперсионное соотношение $$p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}$$Это ограничивает импульс теми, которые лежат на оболочке , давая решения с положительной и отрицательной энергией. $$p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.$$Для нового набора констант $C(p)$, тогда решение становится $$\psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).$$Обычно решения с положительной и отрицательной энергией решаются путем разделения отрицательных энергий и работы только с положительными энергиями. $p^{0}$: $${\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}$$На последнем этапе $B(p)\rightarrow B(-p)$ был переименован. Теперь мы можем выполнить $p^{0}$-интегрирование, извлекающее только положительную частотную часть из дельта-функции:

$${\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}$$

Обычно это принимают за общее решение свободного уравнения Клейна – Гордона. Обратите внимание: поскольку исходное преобразование Фурье содержало лоренц-инвариантные величины, такие как $p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }$ только последнее выражение также является лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна – Гордона. Если не требуется лоренц-инвариантность, можно поглотить $1/2E(\mathbf {p} )$-фактор в коэффициентах $A(p)$ и $B(p)$.

История

Уравнение было названо в честь физика Оскара Клейна. и Уолтер Гордон , который в 1926 году предположил, что оно описывает релятивистские электроны. Владимир Фок также независимо открыл это уравнение в 1926 году, вскоре после работы Кляйна. в том, что статья Кляйна была получена 28 апреля 1926 года, статья Фока была получена 30 июля 1926 года, а статья Гордона 29 сентября 1926 года. Другие авторы делали аналогичные заявления в том же году: Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль . Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака , уравнение Клейна-Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы , такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса представляет собой частицу с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица , описываемая уравнением Клейна-Гордона. Необходимы дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, бозон Хиггса является ли наблюдаемый бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.

Уравнение Клейна-Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Эрвином Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение можно найти в его записных книжках конца 1925 года, и он, судя по всему, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неправильно предсказывает тонкую структуру атома водорода, включая переоценку общей величины картины расщепления в несколько раз. ⁠ 4 n / 2 n − 1 ⁠ для n -го уровня энергии. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстановить, если квантовое число орбитального момента l заменить квантовым числом полного углового момента j . В январе 1926 года Шредингер вместо этого представил для публикации свое уравнение — нерелятивистское приближение, предсказывающее боровские уровни энергии водорода без тонкой структуры .

В 1926 году, вскоре после введения уравнения Шрёдингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей , где силы зависели от скорости , и самостоятельно вывел это уравнение. И Кляйн, и Фок использовали метод Калуцы и Кляйна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна-Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.$

Квантуя это, мы получаем нерелятивистское уравнение Шрёдингера для свободной частицы:

${\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,$

где

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla }$

— оператор импульса ( ∇ — оператор del ), а

${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

является энергетическим оператором .

Уравнение Шредингера страдает тем, что оно не является релятивистски инвариантным , а это означает, что оно несовместимо со специальной теорией относительности .

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

${\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.$

Тогда простое добавление квантово-механических операторов для импульса и энергии дает уравнение

${\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .$

Квадратный корень из дифференциального оператора можно определить с помощью преобразований Фурье , но из-за асимметрии производных по пространству и времени Дирак счел невозможным включить внешние электромагнитные поля релятивистски-инвариантным способом. Поэтому он искал другое уравнение, которое можно было бы модифицировать, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. также Введение в нелокальные уравнения ).

Вместо этого Кляйн и Гордон начали с квадрата приведенного выше тождества, т.е.

$\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},$

что при квантовании дает

$\left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,$

что упрощается до

$-\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .$

Перестановка условий дает результат

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

Поскольку из этого уравнения исключены все ссылки на мнимые числа, его можно применять как к полям с действительными значениями , так и к полям с комплексными значениями .

Переписав первые два слагаемых, используя обратную метрику Минковскогоdiag (− c ² , 1, 1, 1) и явно записывая соглашение Эйнштейна о суммировании, получаем

$-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .$

Таким образом, уравнение Клейна–Гордона можно записать в ковариантной записи. Часто это означает аббревиатуру в виде

$(\Box +\mu ^{2})\psi =0,$

где

$\mu ={\frac {mc}{\hbar }},$

и

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.$

Этот оператор называется волновым оператором .

Сегодня эта форма интерпретируется как уравнение релятивистского поля для частиц со спином -0. Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это распространяется на частицы любого спина из-за уравнений Баргмана-Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна – Гордона: делая уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна–Гордона в потенциале

Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале. $V(\psi )$ как

$\Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.$

Тогда уравнение Клейна–Гордона имеет место $V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi$.

Другой распространенный выбор потенциала, который возникает во взаимодействующих теориях, - это $\phi ^{4}$ потенциал реального скалярного поля $\phi ,$

$V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.$

сектор Хиггса

Смотрите также: сектор Хиггса

Чистый сектор бозона Хиггса Стандартной модели моделируется полем Клейна–Гордона с потенциалом, обозначаемым $H$ для этого раздела. Стандартная модель представляет собой калибровочную теорию, поэтому, хотя поле тривиально преобразуется под действием группы Лоренца, оно преобразуется как $\mathbb {C} ^{2}$-значный вектор под действием ${\text{SU}}(2)$ входит в состав калибровочной группы. Следовательно, хотя это векторное поле $H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}$, его по-прежнему называют скалярным полем, поскольку скаляр описывает его преобразование (формально представление) под группой Лоренца. Это также обсуждается ниже в разделе скалярной хромодинамики.

Поле Хиггса моделируется потенциальным

$V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}$,

которую можно рассматривать как обобщение $\phi ^{4}$ потенциал, но имеет важное отличие: у него есть круг минимумов. Это наблюдение является важным в теории спонтанного нарушения симметрии Стандартной модели.

Сохраняемый ток U(1)

Уравнение Клейна–Гордона (и действие) для комплексного поля $\psi$ признает ${\text{U}}(1)$ симметрия. То есть при преобразованиях

$\psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),$

${\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),$

уравнение Клейна – Гордона инвариантно, как и действие (см. ниже). По теореме Нётер для полей, соответствующих этой симметрии, существует ток $J^{\mu }$ определяется как

$J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).$

которое удовлетворяет уравнению сохранения $\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.$Форму сохраняющегося тока можно получить систематически, применяя теорему Нётер к ${\text{U}}(1)$ симметрия. Мы не будем здесь этого делать, а просто проверим, что этот ток сохраняется.

Из уравнения Клейна–Гордона для комплексного поля $\psi (x)$ массы $M$, записанный в ковариантной записи и в основном плюс подпись,

$(\square +m^{2})\psi (x)=0$

и его комплексно-сопряженный

$(\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.$

Умножая слева соответственно на ${\bar {\psi }}(x)$ и $\psi (x)$ (и опуская для краткости явное $x$ зависимость),

${\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,$

$\psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.$

Вычитая первое из второго, получаем

${\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,$

или в индексной записи,

${\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.$

Применяя это к производной тока $J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),$ можно найти

$\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.$

Этот ${\text{U}}(1)$ симметрия — это глобальная симметрия, но ее также можно оценить для создания локальной или калибровочной симметрии: см. ниже скалярную КЭД. Название калибровочной симметрии несколько вводит в заблуждение: на самом деле это избыточность, тогда как глобальная симметрия — это настоящая симметрия.

Лагранжева формулировка

Уравнение Клейна–Гордона также может быть получено вариационным методом, возникающим как уравнение Эйлера–Лагранжа действия

${\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,$

В натуральных единицах, с сигнатурой преимущественно минус , действия принимают простую форму.

Действие Клейна – Гордона для реального скалярного поля.

$S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)$

для реального скалярного поля массы $m$, и

Действие Клейна – Гордона для комплексного скалярного поля.

$S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)$

для комплексного скалярного поля массы $M$.

Применяя формулу для тензора энергии-импульса к плотности лагранжиана (величине внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярного поля. Это

$T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .$

и в натуральных единицах,

$T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )$

Интегрированием время-временной составляющей T ⁰⁰ во всем пространстве можно показать, что решения в виде плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не относится к уравнению Дирака и его тензору энергии-импульса.

Тензор энергии напряжения представляет собой набор сохраняющихся токов, соответствующих инвариантности уравнения Клейна – Гордона относительно сдвигов пространства-времени. $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }$. Поэтому каждый компонент сохраняется, т.е. $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0$ (это справедливо только на оболочке , то есть когда выполняются уравнения Клейна – Гордона). Отсюда следует, что интеграл от $T^{0\nu }$ в пространстве является сохраняющейся величиной для каждого $\nu$. Они имеют физическую интерпретацию полной энергии для $\nu =0$ и общий импульс для $\nu =i$ с $i\in \{1,2,3\}$.

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Принятие нерелятивистского предела ( v ≪ c ) классического поля Клейна – Гордона ψ ( x , t ) начинается с анзаца, учитывающего член энергии колебательной массы покоя ,

$\psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.$

Определение кинетической энергии $E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}$, $E'\ll mc^{2}$ в нерелятивистском пределе $v=p/m\ll c$, и, следовательно,

$i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .$

Применение этого метода дает нерелятивистский предел второй производной по времени. $\psi$,

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}$

Подставив в свободное уравнение Клейна–Гордона: $c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -m^{2}\psi$, дает

$-{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}$

что (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

$i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .$

Это классическое поле Шрёдингера .

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна – Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе v ≪ c операторы рождения и уничтожения разделяются и ведут себя как независимые квантовые поля Шрёдингера .

Скалярная электродинамика

Смотрите также: Скалярная электродинамика

Есть способ создать сложное поле Клейна-Гордона. $\psi$ взаимодействуют с электромагнетизмом калибровочно-инвариантным образом. Мы можем заменить (частную) производную калибровочно-ковариантной производной. Под местным ${\text{U}}(1)$ калибровочное преобразование, поля преобразуются как

$\psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,$

${\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},$

где $\theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})$ является функцией пространства-времени, что делает его локальным преобразованием, в отличие от константы во всем пространстве-времени, которая была бы глобальным преобразованием. ${\text{U}}(1)$ трансформация. Тонкий момент заключается в том, что глобальные преобразования могут возникать как локальные, когда функция $\theta (x)$ принимается как постоянная функция.

Хорошо сформулированная теория должна быть инвариантной относительно таких преобразований. Именно это означает, что уравнения движения и действия (см. ниже) инвариантны. Для этого используются обычные производные $\partial _{\mu }$ необходимо заменить калибровочно-ковариантными производными $D_{\mu }$, определяемый как

$D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}$

где 4-потенциал или калибровочное поле $A_{\mu }$ преобразуется при калибровочном преобразовании $\theta$ как

$A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta$.

С помощью этих определений ковариантная производная преобразуется как

$D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi$

Таким образом, в натуральных единицах уравнение Клейна – Гордона принимает вид

$D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.$

Поскольку неизмеренный ${\text{U}}(1)$ симметрия присутствует только в комплексной теории Клейна – Гордона, эта связь и продвижение к калиброванной теории. ${\text{U}}(1)$ симметрия совместима только с комплексной теорией Клейна-Гордона, но не с реальной теорией Клейна-Гордона.

В натуральных единицах и в основном с минусовой сигнатурой мы имеем

Скалярное действие КЭД

$S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)$

где $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ известен как тензор Максвелла, напряженность поля или кривизна в зависимости от точки зрения.

Эту теорию часто называют скалярной квантовой электродинамикой или скалярной КЭД, хотя все аспекты, которые мы здесь обсуждали, являются классическими.

Скалярная хромодинамика

Это можно распространить на неабелеву калибровочную теорию с калибровочной группой. $G$, где мы связываем скалярное действие Клейна–Гордона с лагранжианом Янга–Миллса . Здесь поле фактически векторнозначное, но все же описывается как скалярное поле: скаляр описывает его преобразование при преобразованиях пространства-времени , но не его преобразование под действием калибровочной группы.

Для конкретности фиксируем $G$ быть ${\text{SU}}(N)$, особая унитарная группа для некоторых $N\geq 2$. При калибровочном преобразовании $U(x)$, которую можно описать как функцию $U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),$ скалярное поле $\psi$ трансформируется как $\mathbb {C} ^{N}$ вектор

$\psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)$

$\psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)$.

Ковариантная производная

$D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi$

$D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }$

где калибровочное поле или связь преобразуются как

$A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.$

Это поле можно рассматривать как поле с матричным значением, которое действует в векторном пространстве. $\mathbb {C} ^{N}$.

Наконец, определяя напряженность или кривизну хромомагнитного поля,

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),$

мы можем определить действие.

Скалярное действие КХД

$S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi \right)$

Кляйн-Гордон об искривленном пространстве-времени

В общую теорию относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными производными , и уравнение Клейна-Гордона становится (в сигнатуре в основном плюсов )

${\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}$

или эквивалентно,

${\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,$

где г ^аб — обратный метрическому тензору , который является гравитационным потенциальным полем, g — определитель метрического тензора, ∇ _µ — ковариантная производная и Γ ^п _μν — символ Кристоффеля , который представляет собой гравитационное силовое поле .

С натуральными единицами это становится

Уравнение Клейна–Гордона об искривленном пространстве-времени для реального скалярного поля

$\nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0$

Это также допускает формулировку действия на пространственно-временном (лоренцевом) многообразии $M$. Используя абстрактную индексную нотацию и в основном плюсовую подпись, это

Действие Клейна – Гордона на искривленном пространстве-времени для реального скалярного поля

$S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)$

или

Действие Клейна – Гордона на искривленное пространство-время для комплексного скалярного поля

$S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)$

См. также

• Квантовая теория поля
• Квартическое взаимодействие
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Дирака (спин 1/2)
• Действие прока (вращение 1)
• Уравнение Рариты – Швингера (спин 3/2)
• Скалярная теория поля
• Уравнение Синус – Гордон

Ссылки

• Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание . Пергамон Пресс . ISBN  0-08-020437-6 .
• Фешбах, Х.; Вилларс, Ф. (1958). «Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2». Обзоры современной физики . 30 (1): 24–45. Бибкод : 1958РвМП...30...24Ф . дои : 10.1103/RevModPhys.30.24 .
• Гордон, Уолтер (1926). «Эффект Комптона по теории Шрёдингера». Журнал физики . 40 (1–2): 117. Бибкод : 1926ZPhy...40..117G . дои : 10.1007/BF01390840 . S2CID   122254400 .
• Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  3-5406-74578 .
• Грейнер, В.; Мюллер, Б. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3540580805 .
• Гросс, Ф. (1993). Релятивистская квантовая механика и теория поля (1-е изд.). Вайли-ВЧ . ISBN  978-0471591139 .
• Кляйн, О. (1926). «Квантовая теория и пятимерная теория относительности». Журнал физики . 37 (12): 895. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K . дои : 10.1007/BF01397481 .
• Сакураи, Джей-Джей (1967). Продвинутая квантовая механика . Эддисон Уэсли . ISBN  0-201-06710-2 .
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том. I. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-55001-7 .

Внешние ссылки

• «Уравнение Клейна – Гордона» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Клейна-Гордона» . Математический мир .
• Линейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: мир математических уравнений.
• Введение в нелокальные уравнения .