Петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации

Были предприняты попытки описать калибровочные теории в терминах расширенных объектов, таких как петли Вильсона и голономии . Петлевое представление — это квантовое гамильтоново представление калибровочных теорий в терминах петель. Цель петлевого представления в контексте теорий Янга – Миллса состоит в том, чтобы избежать избыточности, вносимой калибровочными симметриями Гаусса, позволяя работать непосредственно в пространстве физических состояний (калибровочно-инвариантных состояний Гаусса). Идея хорошо известна в контексте решеточной теории Янга – Миллса (см. калибровочную теорию решетки ). Попытки исследовать представление непрерывной петли были предприняты Гамбини и Триасом для канонической теории Янга – Миллса, однако возникли трудности, поскольку они представляли единичные объекты. Как мы увидим, формализм петель выходит далеко за рамки простого калибровочно-инвариантного описания; фактически это естественная геометрическая основа для рассмотрения калибровочных теорий и квантовой гравитации в терминах их фундаментальных физических возбуждений.

Введение Аштекаром нового набора переменных ( переменные Аштекара ) привело общую теорию относительности к тому же языку, что и калибровочные теории, и позволило применять методы петлей в качестве естественного непертурбативного описания теории Эйнштейна. В канонической квантовой гравитации трудности с использованием представления непрерывной петли устраняются пространственной общей инвариантностью диффеоморфизма теории относительности . Представление петли также обеспечивает естественное решение ограничения пространственного диффеоморфизма, устанавливая связь между канонической квантовой гравитацией и теорией узлов . Удивительно, но существовал класс состояний цикла, которые обеспечивали точные (хотя и формальные) решения исходного (неточно определенного) уравнения Аштекара Уилера-ДеВитта . Следовательно, для всех уравнений канонической квантовой общей гравитации в этом представлении было идентифицировано бесконечное множество точных (хотя бы формальных) решений! Это вызвало большой интерес к этому подходу и в конечном итоге привело к петлевой квантовой гравитации (LQG).

Представление цикла нашло применение в математике. Если топологические квантовые теории поля формулируются в терминах петель, результирующие величины должны быть так называемыми инвариантами узлов . Топологические теории поля включают только конечное число степеней свободы и поэтому точно разрешимы. В результате они дают конкретные вычислимые выражения, являющиеся инвариантами узлов. Именно это и было догадкой Эдварда Виттена. который заметил, что, вычисляя зависящие от цикла величины в Черне – Саймонсе и других трехмерных топологических квантовых теориях поля, можно получить явные аналитические выражения для инвариантов узлов. За свою работу в этом в 1990 году он был награжден Медалью Филдса . Он первый и пока единственный физик, награжденный Медалью Филдса, которую часто считают величайшей наградой в математике.

Калибровочная инвариантность теории Максвелла

Идея калибровочных симметрий была введена в теорию Максвелла. Уравнения Максвелла:

$\nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0$

где $\rho$ плотность заряда и ${\vec {J}}$ плотность тока. Последние два уравнения можно решить, записав поля через скалярный потенциал: $\phi$и векторный потенциал, ${\vec {A}}$:

${\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$.

Потенциалы однозначно определяют поля, но поля не однозначно определяют потенциалы — мы можем внести изменения:

$\phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda$

не влияя на электрические и магнитные поля, где $\Lambda ({\vec {x}},t)$ является произвольной функцией пространства-времени. Это так называемые калибровочные преобразования. Существует элегантное релятивистское обозначение: калибровочное поле есть

$A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})$

и приведенные выше калибровочные преобразования гласят:

${A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda$.

Вводится так называемый тензор напряженности поля:

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$

которая, как легко показать, инвариантна относительно калибровочных преобразований. В компонентах,

$F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}$.

Действие Максвелла без источника определяется формулой:

$S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}$.

Возможность варьировать калибровочный потенциал в разных точках пространства и времени (путем изменения $\Lambda ({\vec {x}},t)$) без изменения физики называется локальной инвариантностью. Электромагнитная теория обладает простейшим видом локальной калибровочной симметрии, называемой $U(1)$ (см. унитарную группу ). Теория, демонстрирующая локальную калибровочную инвариантность, называется калибровочной теорией. Чтобы сформулировать другие калибровочные теории, выверните приведенные выше рассуждения наизнанку. Это тема следующего раздела.

Теории связи и датчиков

Связь и теория Максвелла

Мы знаем из квантовой механики, что если мы заменим волновую функцию, $\psi (x)$, описывающее поле электрона выражением

$\psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)$

что он оставляет физические предсказания неизменными. Мы рассматриваем наложение локальной инвариантности на фазу электронного поля:

$\psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)$

Проблема в том, что производные от $\psi (x)$ нековариантны относительно этого преобразования:

$\partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)$.

Чтобы исключить второй нежелательный член, вводится новый оператор производной ${\mathcal {D}}_{\mu }$ это ковариантно. Чтобы построить ${\mathcal {D}}_{\mu }$, вводится новое поле, связь $A_{\mu }$:

${\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)$.

Затем

$({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi$

Термин $\partial _{\mu }\Omega$ точно отменяется требованием преобразования поля соединения как

$A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.$.

Тогда у нас есть это

$({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi$.

Обратите внимание, что $Eq1$ эквивалентно

$A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)$

что выглядит так же, как калибровочное преобразование калибровочного потенциала теории Максвелла. Для самого поля связи можно построить инвариантное действие. Нам нужно действие, которое имеет только две производные (поскольку действия с более высокими производными не являются унитарными). Определите количество:

$F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]$

$={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}$

$=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }$.

Уникальное действие только с двумя производными определяется формулой:

$S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}$.

Следовательно, можно вывести электромагнитную теорию из аргументов, основанных исключительно на симметрии.

Связь и калибровочная теория Янга-Миллса.

Теперь мы обобщим приведенные выше рассуждения на общие калибровочные группы. Начнем с генераторов некоторой алгебры Ли :

$[T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}$

Пусть существует фермионное поле, которое преобразуется как

$\mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)$

И снова производные $\mathbf {\Psi } (x)$ не ковариантны относительно этого преобразования. Введем ковариантную производную

$\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)$

с полем подключения, заданным

$\mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}$

Мы требуем, чтобы $\mathbf {A} _{\mu }(x)$ преобразуется как:

$\mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})$.

Определим оператор напряженности поля

$\mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}$.

Как $\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }$ является ковариантным, это означает, что $F_{\mu \nu }^{i}$ тензор также ковариантен:

$\mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}$

Обратите внимание, что $\mathbf {F} _{\mu \nu }$ инвариантен относительно калибровочных преобразований только в том случае, если ${\hat {\Omega }}$ является скаляром, то есть только в случае электромагнетизма.

Теперь мы можем построить инвариантное действие из этого тензора. И снова нам нужно действие, имеющее только две производные. Самый простой выбор — трассировка коммутатора:

$\operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })$

Уникальное действие только с двумя производными определяется формулой:

$S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}$

Это действие теории Янга-Миллса.

Петлевое представление теории Максвелла

Мы рассматриваем изменение представления в квантовой калибровочной теории Максвелла. Идея состоит в том, чтобы ввести базис состояний, помеченных циклами. $\mid \gamma \rangle$ внутренний продукт которого с состояниями связи определяется выражением

$\langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]$

Функционал цикла $W(\gamma )$ это петля Вильсона для абелевой $U(1)$ случай.

Петлевое представление теории Янга – Миллса.

Для простоты мы рассмотрим (и поскольку позже мы увидим, что это соответствующая калибровочная группа в LQG) $SU(2)$ Теория Янга – Миллса в четырех измерениях. Полевая переменная непрерывной теории – это $SU(2)$ соединение (или потенциал датчика) $A_{\mu }^{i}(x)$, где $i$ является индексом в Ли алгебре $SU(2)$. Мы можем написать для этого поля

$\mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}$

где $\tau _{i}$ являются $su(2)$ генераторы, то есть матрицы Паули, умноженные на $i/2$. обратите внимание, что в отличие от теории Максвелла связи $\mathbf {A} _{\mu }(x)$ являются матричными и не коммутируют, то есть являются неабелевыми калибровочными теориями. Это необходимо учитывать при определении соответствующего варианта голономии для $SU(2)$ Теория Янга–Миллса.

Сначала мы опишем квантовую теорию в терминах переменной связи.

Представление соединения

В представлении соединения переменная конфигурации имеет вид $A_{a}^{i}$ и его сопряженный импульс представляет собой (уплотненную) триаду ${\tilde {E}}_{i}^{a}$. Наиболее естественно рассматривать волновые функции $\Psi (A_{a}^{i})$. Это известно как представление соединения. Канонические переменные повышаются до квантовых операторов:

${\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]$

(аналогично представлению позиции ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$) и триады являются функциональными производными,

${\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}$

(аналог ${\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}$)

Голономия и петля Вильсона

Вернемся к классической теории Янга–Миллса. Калибровочно-инвариантную информацию теории можно закодировать в терминах "петлевых" переменных.

Нам понадобится понятие голономии . Голономия — это мера того, насколько различаются начальные и конечные значения спинора или вектора после параллельного переноса по замкнутому контуру. $\gamma$ ; это обозначается

$h_{\gamma }[A]$

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Голономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

$(h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).$

Для замкнутого цикла $x=y$ если мы возьмем след этого, то есть положив $\alpha =\beta$ и суммируя, получаем

$(h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }$

или

$\operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.$

Таким образом, след голономии вокруг замкнутого контура калибровочно-инвариантен. Он обозначается

$W_{\gamma }[A]$

и называется петлей Вильсона. Явный вид голономии имеет вид

$h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}$

где $\gamma$ – кривая, вдоль которой оценивается голономия, и $s$ – параметр вдоль кривой, ${\mathcal {P}}$ обозначает коэффициенты упорядочивания пути для меньших значений $s$ появиться слева и $T_{i}$ представляют собой матрицы, удовлетворяющие $su(2)$ алгебра

$[T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,$

Матрицы Паули удовлетворяют приведенному выше соотношению. Оказывается, существует бесконечно много других примеров наборов матриц, удовлетворяющих этим соотношениям, где каждый набор включает в себя $(N+1)\times (N+1)$ матрицы с $N=1,2,3,\dots$, и где ни один из них нельзя считать «разложившимся» на два или более примеров более низкого измерения. Их называют различными неприводимыми представлениями $su(2)$ алгебра. Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия помечается полуцелым числом $N/2$ согласно используемому неприводимому представлению.

Теорема Джайлза о реконструкции калибровочных потенциалов из петель Вильсона

Важной теоремой о калибровочных теориях Янга–Миллса является теорема Джайлза, согласно которой, если дать след голономии связности для всех возможных петель на многообразии, в принципе можно восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию связности. . То есть петли Вильсона составляют основу калибровочно-инвариантных функций связности. Этот ключевой результат лежит в основе петлевого представления калибровочных теорий и гравитации.

Преобразование цикла и представление цикла

Использование петель Вильсона явно решает калибровочное ограничение Гаусса. Поскольку петли Вильсона образуют базис, мы можем формально расширить любую калибровочно-инвариантную функцию Гаусса следующим образом:

$\Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]$.

Это называется преобразованием цикла. Мы можем увидеть аналогию с представлением импульса в квантовой механике. Там есть основа государств $\exp(ikx)$ помечен номером $k$ и один расширяется

$\psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).$

и работает с коэффициентами разложения $\psi (k)$.

Преобразование обратного цикла определяется формулой

$\Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].$

Это определяет представление цикла. Учитывая оператор ${\hat {O}}$ в представлении соединения,

$\Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}$

необходимо определить соответствующий оператор ${\hat {O}}'$ на $\Psi [\gamma ]$ в представлении цикла через,

$\Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}$

где $\Phi [\gamma ]$ определяется обычным обратным преобразованием цикла,

$\Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}$

Формула преобразования, задающая действие оператора ${\hat {O}}'$ на $\Psi [\gamma ]$ с точки зрения действий оператора ${\hat {O}}$ на $\Psi [A]$ затем получается путем приравнивания правой части $Eq\;2$ с RHS $Eq\;3$ с $Eq\;1$ заменен на $Eq\;3$, а именно

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],$

или

${\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],$

где ${\hat {O}}^{\dagger }$ мы имеем в виду оператора ${\hat {O}}$ но с обратным упорядочением факторов (помните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на противоположное при сопряжении). Действие этого оператора на петле Вильсона мы оцениваем как вычисление в представлении связи и переформулируем результат как манипуляцию чисто в терминах циклов (следует помнить, что при рассмотрении действия на петле Вильсона следует выбирать тот оператор, который пожелается преобразовать с противоположным порядком множителя в тот, который выбран для его действия на волновые функции $\Psi [A]$).

Петлевое представление квантовой гравитации

Основные статьи: Голономия , петля Вильсона и инвариант узла.

Переменные Аштекара–Барберо канонической квантовой гравитации

Введение переменных Аштекара превратило общую теорию относительности в тот же язык, что и калибровочные теории. В частности, именно неспособность хорошо контролировать пространство решений закона Гаусса и ограничения пространственного диффеоморфизма побудили Ровелли и Смолина рассмотреть новое представление - петлевое представление.

Чтобы справиться с ограничением пространственного диффеоморфизма, нам нужно перейти к петлевому представлению. Приведенные выше рассуждения дают физический смысл оператора ${\hat {O}}'$. Например, если ${\hat {O}}^{\dagger }$ соответствовал пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как сохранение поля связности $A$ из $W_{\gamma }[A]$ где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма на $\gamma$ вместо. Следовательно, смысл ${\hat {O}}'$ является пространственным диффеоморфизмом на $\gamma$, аргумент $\Psi [\gamma ]$.

Затем в представлении петли мы можем решить ограничение пространственного диффеоморфизма, рассматривая функции петель $\Psi [\gamma ]$ инвариантные относительно пространственных диффеоморфизмов петли $\gamma$. То есть мы конструируем то, что математики называют инвариантами узлов . Это открыло неожиданную связь между теорией узлов и квантовой гравитацией.

Петлевое представление и собственные функции геометрических квантовых операторов

Самая простая геометрическая величина – площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность $\Sigma$ характеризуется $x^{3}=0$. Площадь малого параллелограмма поверхности $\Sigma$ является произведением длин каждой стороны на время $\sin \theta$ где $\theta$ это угол между сторонами. Скажем, одно ребро задано вектором ${\vec {u}}$ а другой по ${\vec {v}}$ затем,

${\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}$

Отсюда получаем площадь поверхности $\Sigma$ быть предоставленным

$A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}$

где $\det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ и является определителем метрики, индуцированной на $\Sigma$. Это можно переписать как

$\det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.$

Стандартная формула обратной матрицы:

$q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}$

Обратите внимание на сходство этого выражения с выражением для $\det q^{(2)}$. Но в переменных Аштекара мы имеем ${\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}$. Поэтому,

$A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.$

Согласно правилам канонического квантования, мы должны продвигать триады ${\tilde {E}}_{i}^{3}$ квантовым операторам,

${\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.$

Оказывается, площадь $A_{\Sigma }$ может быть повышен до четко определенного квантового оператора, несмотря на то, что мы имеем дело с произведением двух функциональных производных и, что еще хуже, нам также приходится иметь дело с квадратным корнем. положить $N=2J$, мы говорим о пребывании в J -м представлении. Мы отмечаем, что $\sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1$. Эта величина важна в окончательной формуле спектра площади. Мы просто сформулируем результат ниже:

${\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]$

где сумма находится по всем ребрам $I$ петли Вильсона, пронизывающей поверхность $\Sigma$.

Формула объема региона $R$ дается

$V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.$

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Когда мы берем производную, и каждый раз, когда мы это делаем, мы уменьшаем касательный вектор ${\dot {\gamma }}^{a}$, когда оператор объема действует на непересекающиеся петли Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что в формуле объема учитывается антисимметричное суммирование, нам потребуются как минимум пересечения с тремя некомпланарными линиями . На самом деле оказывается, что для того, чтобы оператор объема не обращался в нуль, нужны как минимум четырехвалентные вершины.

Тождества Мандельштама: su(2) Янга – Миллса

Теперь рассмотрим петли Вильсона с пересечениями. Мы предполагаем вещественное представление, в котором калибровочная группа равна $SU(2)$. Петли Вильсона являются чрезмерно полным базисом, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Это происходит из-за того, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономии), и эти матрицы удовлетворяют тождествам, так называемым тождествам Мандельштама. Учитывая любые два $SU(2)$ матрицы $\mathbb {A}$ и $\mathbb {B}$ это легко проверить,

$\operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).$

Это означает, что для данных двух циклов $\gamma$ и $\eta$ которые пересекаются, мы будем иметь,

$W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]$

где $\eta ^{-1}$ мы имеем в виду цикл $\eta$ пройдено в противоположном направлении и $\gamma \circ \eta$ означает цикл, полученный обходом цикла $\gamma$ а затем вдоль $\eta$. См. рисунок ниже. Это называется тождеством Мандельштама второго рода. Существует тождество Мандельштама первого рода. $W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})$. Спиновые сети представляют собой определенные линейные комбинации пересекающихся петель Вильсона, предназначенные для устранения чрезмерной полноты, вносимой тождествами Мандельштама.

Графическое представление тождества Мандестама, связывающего различные петли Вильсона .

Состояния спиновой сети

Фактически спиновые сети составляют основу для всех калибровочных инвариантных функций, которые минимизируют степень сверхполноты петлевого базиса, а для трехвалентных пересечений полностью ее устраняют.

Как упоминалось выше, голономия подсказывает вам, как распространять получастицы с пробным спином. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору спиновых получастиц, прослеживающих путь в пространстве, сливающихся и разделяющихся. Они описываются спиновыми сетями. $\gamma$: ребра помечены спинами вместе с «переплетающимися точками» в вершинах, которые определяют, как суммировать различные способы перенаправления спинов. Сумма по перемаршрутизации выбрана так, чтобы форма переплетателя была инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса.

Уникальность представления цикла в LQG

Теоремы, устанавливающие уникальность представления петли, как это определено Ashtekar et al. (т.е. определенная конкретная реализация гильбертова пространства и связанных с ней операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель – реализация, которую все использовали) были даны двумя группами (Левандовский, Околов, Сальманн и Тиманн) и (Кристиан Фляйшхак). До установления этого результата не было известно, могут ли существовать другие примеры гильбертовых пространств с операторами, вызывающими ту же алгебру петель, другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор.

Теория узлов и петель в топологической теории поля

Распространенный метод описания узла (или звена , представляющего собой узлы из нескольких запутанных друг с другом компонентов) состоит в рассмотрении его проецированного изображения на плоскость, называемого диаграммой узла. Любой узел (или звено) можно нарисовать разными способами, используя диаграмму узла. Следовательно, фундаментальной проблемой теории узлов является определение того, когда два описания представляют один и тот же узел. Учитывая диаграмму узла, кто-то пытается найти способ присвоить ей инвариант узла, иногда полином, называемый полиномом узла. Две диаграммы узлов с разными полиномами, порожденные одной и той же процедурой, обязательно соответствуют разным узлам. Однако если полиномы одинаковы, это не может означать, что они соответствуют одному и тому же узлу. Чем лучше полином различает узлы, тем он эффективнее.

В 1984 году Джонс объявил об открытии нового инварианта зацепления, что вскоре привело к ошеломляющему обилию обобщений. Он нашел новый полином узлов, полином Джонса . В частности, это инвариант ориентированного узла или звена, который присваивает каждому ориентированному узлу или звену полином с целыми коэффициентами.

В конце 1980-х годов Виттен ввел термин «топологическая квантовая теория поля» для обозначения определенного типа физической теории, в которой средние значения наблюдаемых величин инвариантны относительно диффеоморфизмов.

Виттен дал эвристический вывод полинома Джонса и его обобщений из теории Черна – Саймонса . Основная идея заключается просто в том, что вакуумные средние значения петель Вильсона в теории Черна – Саймонса являются инвариантами зацепления из-за диффеоморфизм-инвариантности теории. Однако, чтобы вычислить эти средние значения, Виттену нужно было использовать связь между теорией Черна-Саймонса и конформной теорией поля, известной как модель Весса-Зумино-Виттена (или модель ВЦВ).