Jump to content

Петля Вильсона

(Перенаправлено из циклов Уилсона )

В теории поля квантовой петли Вильсона представляют собой калибровочно-инвариантные операторы, возникающие в результате параллельного переноса калибровочных переменных вокруг замкнутых петель . Они кодируют всю калибровочную информацию теории, позволяя строить представления петель , которые полностью описывают калибровочные теории в терминах этих петель. В чистой калибровочной теории они играют роль операторов порядка для ограничения , где они удовлетворяют так называемому закону площади. Первоначально сформулированные Кеннетом Г. Уилсоном в 1974 году, они использовались для построения связей и плакеток, которые являются фундаментальными параметрами в калибровочной теории решетки . [1] Петли Вильсона относятся к более широкому классу операторов петель , а другими яркими примерами являются петли Т-Хофта , которые являются магнитными двойниками петлей Вильсона, и петли Полякова , которые являются тепловой версией петель Вильсона.

Определение

[ редактировать ]
Пример основного расслоения, отображающего базовое пространственно-временное многообразие вместе с его слоями. Он также показывает, как в каждой точке волокна касательное пространство можно разделить на вертикальное подпространство, направленное вдоль волокна, и горизонтальное подпространство, ортогональное ему.
Соединение в основном пакете с пространством-временем разделяет касательное пространство в каждой точке вдоль волокна в вертикальное подпространство и горизонтальное подпространство . Кривые в пространстве-времени поднимаются до кривых главного расслоения, касательные векторы которых лежат в горизонтальном подпространстве.

Чтобы правильно определить петли Вильсона в калибровочной теории, необходимо рассмотреть формулировку расслоений калибровочных теорий. [2] Здесь для каждой точки -мерное пространство-время есть копия группы датчиков образуя так называемое волокно пучка волокон . Эти расслоения называются главными расслоениями . Локально полученное пространство выглядит так хотя в глобальном масштабе он может иметь некоторую скрученную структуру в зависимости от того, как склеены разные волокна.

Проблема, которую решают линии Вильсона, заключается в том, как сравнивать точки на волокнах в двух разных точках пространства-времени. Это аналогично параллельному транспорту в общей теории относительности , которая сравнивает касательные векторы , находящиеся в касательных пространствах в разных точках. Для главных расслоений существует естественный способ сравнения различных точек расслоения посредством введения связности , что эквивалентно введению калибровочного поля. Это связано с тем, что соединение — это способ разделить касательное пространство основного расслоения на два подпространства, известные как вертикальное и горизонтальное подпространства. [3] Первый состоит из всех векторов, направленных вдоль волокна а последний состоит из векторов, перпендикулярных волокну. Это позволяет сравнивать значения волокон в разных точках пространства-времени, соединяя их с кривыми в основном пучке, касательные векторы которого всегда находятся в горизонтальном подпространстве, поэтому кривая всегда перпендикулярна любому данному волокну.

Если стартовое волокно находится в координате с отправной точкой идентичности , чтобы затем посмотреть, как это изменится при переходе в другую координату пространства-времени , нужно рассмотреть некоторую кривую пространства-времени между и . Соответствующая кривая в главном расслоении, известная как горизонтальный лифт , представляет собой кривую такой, что и что его касательные векторы всегда лежат в горизонтальном подпространстве. Формулировка расслоения калибровочной теории показывает, что алгебры Ли калибровочное поле со значениями эквивалентно соединению, которое определяет горизонтальное подпространство, поэтому это приводит к дифференциальному уравнению для горизонтального подъема

Это имеет единственное формальное решение, называемое линией Вильсона между двумя точками.

где оператор упорядочивания путей , который не нужен для абелевых теорий. Горизонтальный подъем, начинающийся в некоторой начальной точке волокна, отличной от единичной, просто требует умножения на начальный элемент исходного горизонтального подъема. В более общем плане считается, что если затем для всех .

При локальном калибровочном преобразовании линия Вильсона преобразуется как

Это свойство калибровочного преобразования часто используется для прямого введения линии Вильсона в присутствии полей материи. преобразование в фундаментальном представлении калибровочной группы, где линия Вильсона является оператором, делающим комбинацию Калибровочный инвариант. [4] Это позволяет сравнивать поле материи в разных точках калибровочно-инвариантным способом. В качестве альтернативы линии Вильсона также можно ввести, добавив бесконечно тяжелую пробную частицу, заряженную под калибровочной группой. Его заряд образует квантованное внутреннее гильбертово пространство , которое можно проинтегрировать, получив линию Вильсона как мировую линию пробной частицы. [5] Это работает в квантовой теории поля независимо от того, есть ли в теории какое-либо материальное содержание. Однако гипотеза болот , известная как гипотеза полноты, утверждает, что в последовательной теории квантовой гравитации каждая линия Вильсона и линия Т-Хофта с определенным зарядом, согласующимся с условием квантования Дирака, должна иметь соответствующую частицу этого заряда, присутствующую в теория. [6] Разделение этих частиц путем принятия предела бесконечной массы больше не работает, поскольку это привело бы к образованию черных дыр .

След петля замкнутых линий Вильсона представляет собой калибровочно-инвариантную величину, известную как Вильсона.

Математически термин внутри следа известен как голономия , которая описывает отображение волокна в себя при горизонтальном подъеме по замкнутому контуру. Само множество всех голономий образует группу , которая для главных расслоений должна быть подгруппой калибровочной группы. Петли Вильсона удовлетворяют свойству реконструкции, при котором знание набора петель Вильсона для всех возможных петель позволяет восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию о калибровочной связи. [7] Формально набор всех петель Вильсона образует сверхполный базис решений ограничения закона Гаусса.

Множество всех линий Вильсона находится во взаимно однозначном соответствии с представлениями калибровочной группы. Это можно переформулировать на языке алгебры Ли, используя решетку весов калибровочной группы. . В этом случае типы петель Вильсона находятся во взаимно однозначном соответствии с где есть группа Вейля . [8]

Операторы гильбертового пространства

[ редактировать ]

Альтернативный взгляд на петли Вильсона состоит в том, чтобы рассматривать их как операторы, действующие в гильбертовом пространстве состояний в сигнатуре Минковского . [5] Поскольку гильбертово пространство существует в одном временном интервале, единственные петли Вильсона, которые могут действовать как операторы в этом пространстве, — это те, которые сформированы с использованием пространственноподобных петель. Такие операторы создать замкнутый контур электрического потока , в чем можно убедиться, заметив, что оператор электрического поля ненулевое значение в цикле но оно исчезает повсюду. Из теоремы Стокса следует, что пространственная петля измеряет магнитный поток через петлю. [9]

Оператор заказа

[ редактировать ]

Поскольку временные линии Вильсона соответствуют конфигурации, созданной бесконечно тяжелыми стационарными кварками, петля Вильсона связана с прямоугольной петлей. с двумя временными компонентами длины и две пространственные компоненты длины , можно интерпретировать как пару кварк -антикварк при фиксированном расстоянии. На больших временах вакуумное математическое ожидание петли Вильсона проецирует состояние с минимальной энергией , которое является потенциалом между кварками. [10] Возбужденные состояния с энергией экспоненциально подавляются со временем, поэтому математическое ожидание имеет вид

что делает петлю Вильсона полезной для расчета потенциала между парами кварков. Этот потенциал обязательно должен быть монотонно возрастающей и вогнутой функцией разделения кварков. [11] [12] Поскольку пространственноподобные петли Вильсона принципиально не отличаются от временных, кварковый потенциал действительно напрямую связан со структурой чистой теории Янга–Миллса и представляет собой явление, не зависящее от содержания материи. [13]

Теорема Элицура гарантирует, что локальные некалибровочные инвариантные операторы не могут иметь ненулевое математическое ожидание. Вместо этого необходимо использовать нелокальные калибровочно-инвариантные операторы в качестве параметров порядка для ограничения. Петля Вильсона является именно таким параметром порядка в чистой теории Янга – Миллса ограничения , где в фазе ее математическое ожидание следует закону площади. [14]

для цикла, охватывающего область . Это мотивировано потенциалом между бесконечно тяжелыми пробными кварками, который, как ожидается, на этапе конфайнмента будет расти линейно. где известно как натяжение струны. Между тем, в фазе Хиггса математическое ожидание подчиняется закону периметра.

где - длина периметра петли и является некоторой константой. Закон площади петель Вильсона можно использовать для прямой демонстрации ограничения в некоторых теориях малой размерности, например, в модели Швингера , ограничение которой обусловлено инстантонами . [15]

Решеточная формулировка

[ редактировать ]

В решеточной теории поля линии и петли Вильсона играют фундаментальную роль в формулировке калибровочных полей на решетке . Наименьшие линии Вильсона на решетке, между двумя соседними точками решетки, известны как звенья, при этом одно звено начинается с точки решетки. собираюсь в направление, обозначенное . Четыре звена вокруг одного квадрата известны как плакетка, их след образует наименьшую петлю Вильсона. [16] Именно эти плакетки используются для построения калибровочного действия решетки, известного как действие Вильсона . Большие петли Вильсона выражаются как произведения переменных связи в некотором цикле. , обозначенный [17]

Эти петли Вильсона используются для численного изучения удержания и кварковых потенциалов . Линейные комбинации циклов Вильсона также используются в качестве интерполирующих операторов, которые приводят к состояниям глюбола . [18] Затем массы глюбола можно извлечь из корреляционной функции между этими интерполяторами. [19]

Решётчатая формулировка петель Вильсона также позволяет аналитически продемонстрировать удержание в сильно связанной фазе, предполагая приближение закалки , в котором кварковые петли пренебрегаются. [20] Это делается путем разложения действия Вильсона как степенного ряда следов плакеток, где первый неисчезающий член среднего значения петли Вильсона в Калибровочная теория порождает закон площади с натяжением струны вида [21] [22]

где - константа обратной связи и — шаг решетки. Хотя этот аргумент справедлив как для абелева, так и для неабелева случая, компактная электродинамика демонстрирует удержание только при сильной связи, при этом имеет место фазовый переход в кулоновскую фазу при , оставляя теорию не ограниченной слабой связью. [23] [24] Считается, что такой фазовый переход не существует для калибровочные теории при нулевой температуре вместо этого они демонстрируют конфайнмент при всех значениях константы связи.

Характеристики

[ редактировать ]

Уравнение петли Макеенко – Мигдала

[ редактировать ]

Подобно функциональной производной , которая действует на функции функций , функции циклов допускают два типа производных, называемых производной по площади и производной по периметру. Чтобы определить первое, рассмотрим контур и еще один контур это тот же контур, но с дополнительной маленькой петлей в точке в - самолет с площадью . Тогда производная площади петлевого функционала определяется той же идеей, что и обычная производная, как нормализованная разность между функционалом двух петель [25]

Аналогично определяется производная периметра: теперь это небольшая деформация контура который в позиции имеет небольшую выступающую петлю длиной в направлении и нулевой площади. Производная периметра функционала цикла тогда определяется как

В большом N-пределе вакуумное математическое ожидание петли Вильсона удовлетворяет уравнению замкнутой функциональной формы, называемому уравнением Макеенко – Мигдала. [26]

Здесь с линия, которая не закрывается от к , причем эти две точки расположены очень близко друг к другу. Уравнение можно записать и для конечного , но в этом случае он не факторизуется и вместо этого приводит к средним значениям продуктов петель Вильсона, а не к продукту их средних значений. [27] Это приводит к возникновению бесконечной цепочки связанных уравнений для различных средних значений петли Вильсона, аналогичных уравнениям Швингера – Дайсона . Уравнение Макеенко–Мигдала решено точно в двумерном виде. теория. [28]

тождества Мандельштама

[ редактировать ]

Калибровочные группы, допускающие фундаментальные представления в терминах матрицы имеют петли Вильсона, которые удовлетворяют набору тождеств, называемых тождествами Мандельштама, причем эти тождества отражают конкретные свойства базовой калибровочной группы. [29] Тождества применяются к циклам, образованным из двух или более подциклов, причем петля, образованная первым обходом а затем ходить вокруг .

Тождество Мандельштама первого рода гласит, что , причем это справедливо для любой калибровочной группы в любом измерении. Тождества Мандельштама второго рода получаются, если отметить, что в размеры, любой объект с полностью антисимметричные индексы обращаются в нуль, а это означает, что . В фундаментальном представлении голономии, используемые для формирования петель Вильсона, имеют вид матричные представления калибровочных групп. Заключение контракта голономии с дельта-функциями дает набор тождеств между петлями Вильсона. Их можно записать в терминах объектов определяется итеративно, так что и

В этих обозначениях тождества Мандельштама второго рода имеют вид [30]

Например, для группа датчиков это дает .

Если фундаментальным представлением являются матрицы единичного определителя , то также верно, что . Например, применяя это тождество к дает

Фундаментальные представления, состоящие из унитарных матриц, удовлетворяют . Более того, хотя равенство справедливо для всех калибровочных групп в фундаментальных представлениях, причем для унитарных групп справедливо соотношение .

Перенормировка

[ редактировать ]

Поскольку петли Вильсона являются операторами калибровочных полей, регуляризация и перенормировка основных полей и связей теории Янга – Миллса не мешает петлям Вильсона требовать дополнительных поправок при перенормировке. В перенормированной теории Янга – Миллса конкретный способ перенормировки петель Вильсона зависит от геометрии рассматриваемой петли. Основные особенности: [31] [32] [33] [34]

  • Гладкая непересекающаяся кривая: она может иметь только линейные расхождения, пропорциональные контуру, которые можно удалить посредством мультипликативной перенормировки.
  • Непересекающаяся кривая с точками возврата : каждая точка возврата приводит к дополнительному локальному мультипликативному коэффициенту перенормировки. это зависит от угла закругления .
  • Самопересечения: это приводит к смешиванию операторов между циклами Вильсона, связанными с полным циклом, и подциклами.
  • Светоподобные сегменты: они приводят к дополнительным логарифмическим расхождениям.

Дополнительные приложения

[ редактировать ]

Амплитуды рассеяния

[ редактировать ]

Петли Вильсона играют роль в теории амплитуд рассеяния , где был обнаружен набор двойственностей между ними и особыми типами амплитуд рассеяния. [35] Впервые они были предложены при сильной связи с использованием соответствия AdS/CFT . [36] Например, в В суперсимметричной теории Янга – Миллса амплитуды, максимально нарушающие спиральность, разлагаются на компоненту древесного уровня и поправку на петлевом уровне. [37] Эта поправка на уровень петель не зависит от спиральности частиц, но было обнаружено, что она двойственна некоторым полигональным петлям Вильсона в больших предел, вплоть до конечных членов. Хотя эта двойственность первоначально предполагалась только в случае нарушения максимальной спиральности, есть аргументы в пользу того, что ее можно распространить на все конфигурации спиральности путем определения соответствующих суперсимметричных обобщений петли Вильсона. [38]

Компактификации теории струн

[ редактировать ]

В компактифицированных теориях состояния калибровочного поля нулевой моды, которые являются локально чистыми калибровочными конфигурациями, но глобально неэквивалентны вакууму, параметризуются замкнутыми линиями Вильсона в компактном направлении. Их наличие в компактифицированной открытой теории струн эквивалентно при Т-дуальности теории с несовпадающими D-бранами , разделения которых определяются линиями Вильсона. [39] Линии Вильсона также играют роль в орбифолдных компактификациях, где их присутствие приводит к большему контролю над нарушением калибровочной симметрии, обеспечивая лучший контроль над конечной ненарушенной калибровочной группой, а также обеспечивая механизм управления количеством мультиплетов материи, оставшихся после компактификации. [40] Эти свойства делают линии Вильсона важными для компактификаций теорий суперструн. [41] [42]

Топологическая теория поля

[ редактировать ]

В топологической теории поля среднее значение петли Вильсона не меняется при плавных деформациях петли, поскольку теория поля не зависит от метрики . [43] По этой причине петли Вильсона являются ключевыми наблюдаемыми в этих теориях и используются для расчета глобальных свойств многообразия . В измерения они тесно связаны с теорией узлов , где математическое ожидание произведения петель зависит только от структуры многообразия и от того, как петли связаны друг с другом. Это привело к знаменитой связи, сделанной Эдвардом Виттеном , когда он использовал петли Вильсона в теории Черна – Саймонса, чтобы связать их статистическую сумму с полиномами Джонса теории узлов. [44]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Уилсон, КГ (1974). «Удержание кварков» . Физ. Преподобный Д. 10 (8): 2445–2459. Бибкод : 1974PhRvD..10.2445W . дои : 10.1103/PhysRevD.10.2445 .
  2. ^ Накахара, М. (2003). «10». Геометрия, топология и физика (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 374–418. ISBN  978-0750306065 .
  3. ^ Эшриг, Х. (2011). «7». Топология и геометрия для физики . Конспект лекций по физике. Спрингер. стр. 220–222. ISBN  978-3-642-14699-2 .
  4. ^ Шварц, доктор медицины (2014). «25». Квантовая теория поля и Стандартная модель . Издательство Кембриджского университета. стр. 488–493. ISBN  9781107034730 .
  5. ^ Jump up to: а б Тонг, Д. (2018), «2» , Конспект лекций по калибровочной теории
  6. ^ Бэнкс, Т. ; Зайберг, Н. (2011). «Симметрии и струны в теории поля и гравитации». Физ. Преподобный Д. 83 : 084019. arXiv : 1011.5120 . дои : 10.1103/PhysRevD.83.084019 .
  7. ^ Джайлз, Р. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона» . Физ. Преподобный Д. 24 (8): 2160–2168. Бибкод : 1981PhRvD..24.2160G . дои : 10.1103/PhysRevD.24.2160 .
  8. ^ Офер, А.; Зайберг, Н .; Тачикава, Юдзи (2013). «Чтение между строк четырехмерных калибровочных теорий». JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Бибкод : 2013JHEP...08..115A . дои : 10.1007/JHEP08(2013)115 . S2CID   118572353 .
  9. ^ Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). «15». Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. п. 492. ИСБН  9780201503975 .
  10. ^ Роте, HJ (2005). «7». Решетчатые калибровочные теории: введение . Мировые научные конспекты лекций по физике: Том 43. Том. 82. Мировое научное издательство. стр. 95–108. дои : 10.1142/8229 . ISBN  978-9814365857 .
  11. ^ Зайлер, Э. (1978). «Верхняя граница потенциала ограничения цвета» . Физ. Преподобный Д. 18 (2): 482–483. Бибкод : 1978PhRvD..18..482S . дои : 10.1103/PhysRevD.18.482 .
  12. ^ Бачас, К. (1986). «Вогнутость кваркониевого потенциала» . Физ. Преподобный Д. 33 (9): 2723–2725. Бибкод : 1986PhRvD..33.2723B . дои : 10.1103/PhysRevD.33.2723 . ПМИД   9956963 .
  13. ^ Гринсайт, Дж. (2020). «4». Введение в проблему конфайнмента (2-е изд.). Спрингер. стр. 37–40. ISBN  978-3030515621 .
  14. ^ Макеенко Ю. (2002). «6». Методы современной калибровочной теории . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 117–118. дои : 10.1017/CBO9780511535147 . ISBN  978-0521809115 .
  15. ^ Паранджапе, М. (2017). «9». Теория и приложения инстантонных вычислений . Издательство Кембриджского университета. п. 168. ИСБН  978-1107155473 .
  16. ^ Болье, Л.; Илиопулос, Дж. ; Сенеор, Р. [на французском языке] (2017). «25». От классических полей к квантовым . Издательство Оксфордского университета. п. 720. ИСБН  978-0198788409 .
  17. ^ Монтвей, И.; Мюнстер, Г. (1994). «43». Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 105. дои : 10.1017/CBO9780511470783 . ISBN  9780511470783 . S2CID   118339104 .
  18. ^ ДеГранд, Т.; ДеТар, К. (2006). «11». Решеточные методы квантовой хромодинамики . Мировое научное издательство. стр. 232–233. Бибкод : 2006lmqc.book.....D . дои : 10.1142/6065 . ISBN  978-9812567277 .
  19. ^ Чен, Ю.; и др. (2006). «Спектр Глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках». Физ. Преподобный Д. 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Бибкод : 2006PhRvD..73a4516C . дои : 10.1103/PhysRevD.73.014516 . S2CID   15741174 .
  20. ^ Индурайн, Ф.Дж. (2006). «9». Теория кварковых и глюонных взаимодействий (4-е изд.). Спрингер. п. 383. ИСБН  978-3540332091 .
  21. ^ Гатрингер, К.; Ланг, CB (2009). «3». Квантовая хромодинамика на решетке: вводное изложение . Конспект лекций по физике 788. Спрингер. стр. 58–62. дои : 10.1007/978-3-642-01850-3 . ISBN  978-3642018497 .
  22. ^ Друфф, Дж. М.; Зубер, Дж. Б. (1983). «Методы сильной связи и среднего поля в калибровочных теориях решетки» . Отчеты по физике . 102 (1): 1–119. Бибкод : 1983PhR...102....1D . дои : 10.1016/0370-1573(83)90034-0 .
  23. ^ Лаутруп, Бельгия ; Науенберг, М. (1980). «Фазовый переход в четырехмерной компактной КЭД» . Физ. Летт. Б. 95 (1): 63–66. Бибкод : 1980PhLB...95...63L . дои : 10.1016/0370-2693(80)90400-1 .
  24. ^ Гут, А.Х. (1980). «Доказательство существования неудерживающей фазы в четырехмерной калибровочной теории решетки U (1)» . Физ. Преподобный Д. 21 (8): 2291–2307. Бибкод : 1980ФРвД..21.2291Г . дои : 10.1103/PhysRevD.21.2291 .
  25. ^ Мигдал, А.А. (1983). «Петлевые уравнения и разложение 1/N». Физ. Представитель . 102 (4): 199–290. дои : 10.1016/0370-1573(83)90076-5 .
  26. ^ Макеенко Ю.М.; Мигдал, А.А. (1979). «Точное уравнение для среднего цикла в многоцветной КХД». Физ. Летт. Б. 88 (1–2): 135–137. Бибкод : 1979PhLB...88..135M . дои : 10.1016/0370-2693(79)90131-X .
  27. ^ Нэстасе, Х. (2019). «50». Введение в квантовую теорию поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 469–472. ISBN  978-1108493994 .
  28. ^ Казаков В.А.; Костов, ИК (1980). «Нелинейные струны в двумерной U(∞) калибровочной теории» . Ядерная физика Б . 176 (1): 199–215. Бибкод : 1980НуФБ.176..199К . дои : 10.1016/0550-3213(80)90072-3 .
  29. ^ Мандельштам, С. (1968). «Правила Фейнмана для электромагнитных полей и полей Янга – Миллса из калибровочно-независимого теоретико-полевого формализма» . Физ. Преподобный . 175 (5): 1580–1603. Бибкод : 1968PhRv..175.1580M . дои : 10.1103/PhysRev.175.1580 .
  30. ^ Гамбини, Р. (2008). «3». Петли, узлы, калибровочные теории . стр. 63–67. ISBN  978-0521654753 .
  31. ^ Корчемская И.А.; Корчемский, Г.П. (1992). «О светоподобных петлях Вильсона» . Буквы по физике Б. 287 (1): 169–175. Бибкод : 1992PhLB..287..169K . дои : 10.1016/0370-2693(92)91895-G .
  32. ^ Поляков, А.М. (1980). «Калибровочные поля как клеевые кольца» . Ядерная физика Б . 164 : 171–188. Бибкод : 1980НуФБ.164..171П . дои : 10.1016/0550-3213(80)90507-6 .
  33. ^ Брандт, РА; Нери, Ф.; Сато, М. (1981). «Перенормировка функций цикла для всех циклов» . Физ. Преподобный Д. 24 (4): 879–902. Бибкод : 1981PhRvD..24..879B . дои : 10.1103/PhysRevD.24.879 .
  34. ^ Корчемский, ГП; Радюшкин, А.В. (1987). «Перенормировка петель Вильсона за пределы главного порядка» . Ядерная физика Б . 283 : 342–364. Бибкод : 1987НуФБ.283..342К . дои : 10.1016/0550-3213(87)90277-X .
  35. ^ Алдай, LF ; Раду, Р. (2008). «Амплитуды рассеяния, петли Вильсона и соответствие теории струн и калибровочной теории». Физ. Представитель . 468 (5): 153–211. arXiv : 0807.1889 . Бибкод : 2008PhR...468..153A . дои : 10.1016/j.physrep.2008.08.002 . S2CID   119220578 .
  36. ^ Алдай, LF ; Малдасена, Дж. М. (2007). «Амплитуды рассеяния глюонов при сильной связи». JHEP . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Бибкод : 2007JHEP...06..064A . дои : 10.1088/1126-6708/2007/06/064 . S2CID   10711473 .
  37. ^ Хенн, Дж. М. [на немецком языке] (2014). «4». Амплитуды рассеяния в калибровочных теориях . Спрингер. стр. 153–158. ISBN  978-3642540219 .
  38. ^ Карон-Хуот, С. [на немецком языке] (2011). «Заметки об амплитудах рассеяния / двойственности петли Вильсона». JHEP . 2011 (7): 58. arXiv : 1010.1167 . Бибкод : 2011JHEP...07..058C . дои : 10.1007/JHEP07(2011)058 . S2CID   118676335 .
  39. ^ Полчински, Дж. (1998). «8». Теория струн, том I: Введение в бозонную струну . Издательство Кембриджского университета. стр. 263–268. ISBN  978-0143113799 .
  40. ^ Ибанез, Ле; Ниллс, HP; Кеведо, Ф. (1986). «Орбифолды и линии Вильсона» . Физ. Летт. Б. 187 (1–2): 25–32. дои : 10.1016/0370-2693(87)90066-9 .
  41. ^ Полчински, Дж. (1998). «16». Теория струн, том II: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. стр. 288–290. ISBN  978-1551439761 .
  42. ^ Чой, К.С.; Ким, JE (2020). Кварки и лептоны из орбифолдированной суперструны (2-е изд.). ISBN  978-3030540043 .
  43. ^ Фрадкин, Э. (2021). «22». Квантовая теория поля: комплексный подход . Издательство Принстонского университета. п. 697. ИСБН  978-0691149080 .
  44. ^ Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса» . Коммун. Математика. Физ . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W . дои : 10.1007/BF01217730 . S2CID   14951363 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8f1922e23bdd50321b0b3f2b8f8641b0__1719983940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8f/b0/8f1922e23bdd50321b0b3f2b8f8641b0.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Wilson loop - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)