Петля Вильсона
В теории поля квантовой петли Вильсона представляют собой калибровочно-инвариантные операторы, возникающие в результате параллельного переноса калибровочных переменных вокруг замкнутых петель . Они кодируют всю калибровочную информацию теории, позволяя строить представления петель , которые полностью описывают калибровочные теории в терминах этих петель. В чистой калибровочной теории они играют роль операторов порядка для ограничения , где они удовлетворяют так называемому закону площади. Первоначально сформулированные Кеннетом Г. Уилсоном в 1974 году, они использовались для построения связей и плакеток, которые являются фундаментальными параметрами в калибровочной теории решетки . [1] Петли Вильсона относятся к более широкому классу операторов петель , а другими яркими примерами являются петли Т-Хофта , которые являются магнитными двойниками петлей Вильсона, и петли Полякова , которые являются тепловой версией петель Вильсона.
Определение
[ редактировать ]Чтобы правильно определить петли Вильсона в калибровочной теории, необходимо рассмотреть формулировку расслоений калибровочных теорий. [2] Здесь для каждой точки -мерное пространство-время есть копия группы датчиков образуя так называемое волокно пучка волокон . Эти расслоения называются главными расслоениями . Локально полученное пространство выглядит так хотя в глобальном масштабе он может иметь некоторую скрученную структуру в зависимости от того, как склеены разные волокна.
Проблема, которую решают линии Вильсона, заключается в том, как сравнивать точки на волокнах в двух разных точках пространства-времени. Это аналогично параллельному транспорту в общей теории относительности , которая сравнивает касательные векторы , находящиеся в касательных пространствах в разных точках. Для главных расслоений существует естественный способ сравнения различных точек расслоения посредством введения связности , что эквивалентно введению калибровочного поля. Это связано с тем, что соединение — это способ разделить касательное пространство основного расслоения на два подпространства, известные как вертикальное и горизонтальное подпространства. [3] Первый состоит из всех векторов, направленных вдоль волокна а последний состоит из векторов, перпендикулярных волокну. Это позволяет сравнивать значения волокон в разных точках пространства-времени, соединяя их с кривыми в основном пучке, касательные векторы которого всегда находятся в горизонтальном подпространстве, поэтому кривая всегда перпендикулярна любому данному волокну.
Если стартовое волокно находится в координате с отправной точкой идентичности , чтобы затем посмотреть, как это изменится при переходе в другую координату пространства-времени , нужно рассмотреть некоторую кривую пространства-времени между и . Соответствующая кривая в главном расслоении, известная как горизонтальный лифт , представляет собой кривую такой, что и что его касательные векторы всегда лежат в горизонтальном подпространстве. Формулировка расслоения калибровочной теории показывает, что алгебры Ли калибровочное поле со значениями эквивалентно соединению, которое определяет горизонтальное подпространство, поэтому это приводит к дифференциальному уравнению для горизонтального подъема
Это имеет единственное формальное решение, называемое линией Вильсона между двумя точками.
где — оператор упорядочивания путей , который не нужен для абелевых теорий. Горизонтальный подъем, начинающийся в некоторой начальной точке волокна, отличной от единичной, просто требует умножения на начальный элемент исходного горизонтального подъема. В более общем плане считается, что если затем для всех .
При локальном калибровочном преобразовании линия Вильсона преобразуется как
Это свойство калибровочного преобразования часто используется для прямого введения линии Вильсона в присутствии полей материи. преобразование в фундаментальном представлении калибровочной группы, где линия Вильсона является оператором, делающим комбинацию Калибровочный инвариант. [4] Это позволяет сравнивать поле материи в разных точках калибровочно-инвариантным способом. В качестве альтернативы линии Вильсона также можно ввести, добавив бесконечно тяжелую пробную частицу, заряженную под калибровочной группой. Его заряд образует квантованное внутреннее гильбертово пространство , которое можно проинтегрировать, получив линию Вильсона как мировую линию пробной частицы. [5] Это работает в квантовой теории поля независимо от того, есть ли в теории какое-либо материальное содержание. Однако гипотеза болот , известная как гипотеза полноты, утверждает, что в последовательной теории квантовой гравитации каждая линия Вильсона и линия Т-Хофта с определенным зарядом, согласующимся с условием квантования Дирака, должна иметь соответствующую частицу этого заряда, присутствующую в теория. [6] Разделение этих частиц путем принятия предела бесконечной массы больше не работает, поскольку это привело бы к образованию черных дыр .
След петля замкнутых линий Вильсона представляет собой калибровочно-инвариантную величину, известную как Вильсона.
Математически термин внутри следа известен как голономия , которая описывает отображение волокна в себя при горизонтальном подъеме по замкнутому контуру. Само множество всех голономий образует группу , которая для главных расслоений должна быть подгруппой калибровочной группы. Петли Вильсона удовлетворяют свойству реконструкции, при котором знание набора петель Вильсона для всех возможных петель позволяет восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию о калибровочной связи. [7] Формально набор всех петель Вильсона образует сверхполный базис решений ограничения закона Гаусса.
Множество всех линий Вильсона находится во взаимно однозначном соответствии с представлениями калибровочной группы. Это можно переформулировать на языке алгебры Ли, используя решетку весов калибровочной группы. . В этом случае типы петель Вильсона находятся во взаимно однозначном соответствии с где есть группа Вейля . [8]
Операторы гильбертового пространства
[ редактировать ]Альтернативный взгляд на петли Вильсона состоит в том, чтобы рассматривать их как операторы, действующие в гильбертовом пространстве состояний в сигнатуре Минковского . [5] Поскольку гильбертово пространство существует в одном временном интервале, единственные петли Вильсона, которые могут действовать как операторы в этом пространстве, — это те, которые сформированы с использованием пространственноподобных петель. Такие операторы создать замкнутый контур электрического потока , в чем можно убедиться, заметив, что оператор электрического поля ненулевое значение в цикле но оно исчезает повсюду. Из теоремы Стокса следует, что пространственная петля измеряет магнитный поток через петлю. [9]
Оператор заказа
[ редактировать ]Поскольку временные линии Вильсона соответствуют конфигурации, созданной бесконечно тяжелыми стационарными кварками, петля Вильсона связана с прямоугольной петлей. с двумя временными компонентами длины и две пространственные компоненты длины , можно интерпретировать как пару кварк -антикварк при фиксированном расстоянии. На больших временах вакуумное математическое ожидание петли Вильсона проецирует состояние с минимальной энергией , которое является потенциалом между кварками. [10] Возбужденные состояния с энергией экспоненциально подавляются со временем, поэтому математическое ожидание имеет вид
что делает петлю Вильсона полезной для расчета потенциала между парами кварков. Этот потенциал обязательно должен быть монотонно возрастающей и вогнутой функцией разделения кварков. [11] [12] Поскольку пространственноподобные петли Вильсона принципиально не отличаются от временных, кварковый потенциал действительно напрямую связан со структурой чистой теории Янга–Миллса и представляет собой явление, не зависящее от содержания материи. [13]
Теорема Элицура гарантирует, что локальные некалибровочные инвариантные операторы не могут иметь ненулевое математическое ожидание. Вместо этого необходимо использовать нелокальные калибровочно-инвариантные операторы в качестве параметров порядка для ограничения. Петля Вильсона является именно таким параметром порядка в чистой теории Янга – Миллса ограничения , где в фазе ее математическое ожидание следует закону площади. [14]
для цикла, охватывающего область . Это мотивировано потенциалом между бесконечно тяжелыми пробными кварками, который, как ожидается, на этапе конфайнмента будет расти линейно. где известно как натяжение струны. Между тем, в фазе Хиггса математическое ожидание подчиняется закону периметра.
где - длина периметра петли и является некоторой константой. Закон площади петель Вильсона можно использовать для прямой демонстрации ограничения в некоторых теориях малой размерности, например, в модели Швингера , ограничение которой обусловлено инстантонами . [15]
Решеточная формулировка
[ редактировать ]В решеточной теории поля линии и петли Вильсона играют фундаментальную роль в формулировке калибровочных полей на решетке . Наименьшие линии Вильсона на решетке, между двумя соседними точками решетки, известны как звенья, при этом одно звено начинается с точки решетки. собираюсь в направление, обозначенное . Четыре звена вокруг одного квадрата известны как плакетка, их след образует наименьшую петлю Вильсона. [16] Именно эти плакетки используются для построения калибровочного действия решетки, известного как действие Вильсона . Большие петли Вильсона выражаются как произведения переменных связи в некотором цикле. , обозначенный [17]
Эти петли Вильсона используются для численного изучения удержания и кварковых потенциалов . Линейные комбинации циклов Вильсона также используются в качестве интерполирующих операторов, которые приводят к состояниям глюбола . [18] Затем массы глюбола можно извлечь из корреляционной функции между этими интерполяторами. [19]
Решётчатая формулировка петель Вильсона также позволяет аналитически продемонстрировать удержание в сильно связанной фазе, предполагая приближение закалки , в котором кварковые петли пренебрегаются. [20] Это делается путем разложения действия Вильсона как степенного ряда следов плакеток, где первый неисчезающий член среднего значения петли Вильсона в Калибровочная теория порождает закон площади с натяжением струны вида [21] [22]
где - константа обратной связи и — шаг решетки. Хотя этот аргумент справедлив как для абелева, так и для неабелева случая, компактная электродинамика демонстрирует удержание только при сильной связи, при этом имеет место фазовый переход в кулоновскую фазу при , оставляя теорию не ограниченной слабой связью. [23] [24] Считается, что такой фазовый переход не существует для калибровочные теории при нулевой температуре вместо этого они демонстрируют конфайнмент при всех значениях константы связи.
Характеристики
[ редактировать ]Уравнение петли Макеенко – Мигдала
[ редактировать ]Подобно функциональной производной , которая действует на функции функций , функции циклов допускают два типа производных, называемых производной по площади и производной по периметру. Чтобы определить первое, рассмотрим контур и еще один контур это тот же контур, но с дополнительной маленькой петлей в точке в - самолет с площадью . Тогда производная площади петлевого функционала определяется той же идеей, что и обычная производная, как нормализованная разность между функционалом двух петель [25]
Аналогично определяется производная периметра: теперь это небольшая деформация контура который в позиции имеет небольшую выступающую петлю длиной в направлении и нулевой площади. Производная периметра функционала цикла тогда определяется как
В большом N-пределе вакуумное математическое ожидание петли Вильсона удовлетворяет уравнению замкнутой функциональной формы, называемому уравнением Макеенко – Мигдала. [26]
Здесь с линия, которая не закрывается от к , причем эти две точки расположены очень близко друг к другу. Уравнение можно записать и для конечного , но в этом случае он не факторизуется и вместо этого приводит к средним значениям продуктов петель Вильсона, а не к продукту их средних значений. [27] Это приводит к возникновению бесконечной цепочки связанных уравнений для различных средних значений петли Вильсона, аналогичных уравнениям Швингера – Дайсона . Уравнение Макеенко–Мигдала решено точно в двумерном виде. теория. [28]
тождества Мандельштама
[ редактировать ]Калибровочные группы, допускающие фундаментальные представления в терминах матрицы имеют петли Вильсона, которые удовлетворяют набору тождеств, называемых тождествами Мандельштама, причем эти тождества отражают конкретные свойства базовой калибровочной группы. [29] Тождества применяются к циклам, образованным из двух или более подциклов, причем петля, образованная первым обходом а затем ходить вокруг .
Тождество Мандельштама первого рода гласит, что , причем это справедливо для любой калибровочной группы в любом измерении. Тождества Мандельштама второго рода получаются, если отметить, что в размеры, любой объект с полностью антисимметричные индексы обращаются в нуль, а это означает, что . В фундаментальном представлении голономии, используемые для формирования петель Вильсона, имеют вид матричные представления калибровочных групп. Заключение контракта голономии с дельта-функциями дает набор тождеств между петлями Вильсона. Их можно записать в терминах объектов определяется итеративно, так что и
В этих обозначениях тождества Мандельштама второго рода имеют вид [30]
Например, для группа датчиков это дает .
Если фундаментальным представлением являются матрицы единичного определителя , то также верно, что . Например, применяя это тождество к дает
Фундаментальные представления, состоящие из унитарных матриц, удовлетворяют . Более того, хотя равенство справедливо для всех калибровочных групп в фундаментальных представлениях, причем для унитарных групп справедливо соотношение .
Перенормировка
[ редактировать ]Поскольку петли Вильсона являются операторами калибровочных полей, регуляризация и перенормировка основных полей и связей теории Янга – Миллса не мешает петлям Вильсона требовать дополнительных поправок при перенормировке. В перенормированной теории Янга – Миллса конкретный способ перенормировки петель Вильсона зависит от геометрии рассматриваемой петли. Основные особенности: [31] [32] [33] [34]
- Гладкая непересекающаяся кривая: она может иметь только линейные расхождения, пропорциональные контуру, которые можно удалить посредством мультипликативной перенормировки.
- Непересекающаяся кривая с точками возврата : каждая точка возврата приводит к дополнительному локальному мультипликативному коэффициенту перенормировки. это зависит от угла закругления .
- Самопересечения: это приводит к смешиванию операторов между циклами Вильсона, связанными с полным циклом, и подциклами.
- Светоподобные сегменты: они приводят к дополнительным логарифмическим расхождениям.
Дополнительные приложения
[ редактировать ]Амплитуды рассеяния
[ редактировать ]Петли Вильсона играют роль в теории амплитуд рассеяния , где был обнаружен набор двойственностей между ними и особыми типами амплитуд рассеяния. [35] Впервые они были предложены при сильной связи с использованием соответствия AdS/CFT . [36] Например, в В суперсимметричной теории Янга – Миллса амплитуды, максимально нарушающие спиральность, разлагаются на компоненту древесного уровня и поправку на петлевом уровне. [37] Эта поправка на уровень петель не зависит от спиральности частиц, но было обнаружено, что она двойственна некоторым полигональным петлям Вильсона в больших предел, вплоть до конечных членов. Хотя эта двойственность первоначально предполагалась только в случае нарушения максимальной спиральности, есть аргументы в пользу того, что ее можно распространить на все конфигурации спиральности путем определения соответствующих суперсимметричных обобщений петли Вильсона. [38]
Компактификации теории струн
[ редактировать ]В компактифицированных теориях состояния калибровочного поля нулевой моды, которые являются локально чистыми калибровочными конфигурациями, но глобально неэквивалентны вакууму, параметризуются замкнутыми линиями Вильсона в компактном направлении. Их наличие в компактифицированной открытой теории струн эквивалентно при Т-дуальности теории с несовпадающими D-бранами , разделения которых определяются линиями Вильсона. [39] Линии Вильсона также играют роль в орбифолдных компактификациях, где их присутствие приводит к большему контролю над нарушением калибровочной симметрии, обеспечивая лучший контроль над конечной ненарушенной калибровочной группой, а также обеспечивая механизм управления количеством мультиплетов материи, оставшихся после компактификации. [40] Эти свойства делают линии Вильсона важными для компактификаций теорий суперструн. [41] [42]
Топологическая теория поля
[ редактировать ]В топологической теории поля среднее значение петли Вильсона не меняется при плавных деформациях петли, поскольку теория поля не зависит от метрики . [43] По этой причине петли Вильсона являются ключевыми наблюдаемыми в этих теориях и используются для расчета глобальных свойств многообразия . В измерения они тесно связаны с теорией узлов , где математическое ожидание произведения петель зависит только от структуры многообразия и от того, как петли связаны друг с другом. Это привело к знаменитой связи, сделанной Эдвардом Виттеном , когда он использовал петли Вильсона в теории Черна – Саймонса, чтобы связать их статистическую сумму с полиномами Джонса теории узлов. [44]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Уилсон, КГ (1974). «Удержание кварков» . Физ. Преподобный Д. 10 (8): 2445–2459. Бибкод : 1974PhRvD..10.2445W . дои : 10.1103/PhysRevD.10.2445 .
- ^ Накахара, М. (2003). «10». Геометрия, топология и физика (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 374–418. ISBN 978-0750306065 .
- ^ Эшриг, Х. (2011). «7». Топология и геометрия для физики . Конспект лекций по физике. Спрингер. стр. 220–222. ISBN 978-3-642-14699-2 .
- ^ Шварц, доктор медицины (2014). «25». Квантовая теория поля и Стандартная модель . Издательство Кембриджского университета. стр. 488–493. ISBN 9781107034730 .
- ^ Jump up to: а б Тонг, Д. (2018), «2» , Конспект лекций по калибровочной теории
- ^ Бэнкс, Т. ; Зайберг, Н. (2011). «Симметрии и струны в теории поля и гравитации». Физ. Преподобный Д. 83 : 084019. arXiv : 1011.5120 . дои : 10.1103/PhysRevD.83.084019 .
- ^ Джайлз, Р. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона» . Физ. Преподобный Д. 24 (8): 2160–2168. Бибкод : 1981PhRvD..24.2160G . дои : 10.1103/PhysRevD.24.2160 .
- ^ Офер, А.; Зайберг, Н .; Тачикава, Юдзи (2013). «Чтение между строк четырехмерных калибровочных теорий». JHEP . 2013 (8): 115. arXiv : 1305.0318 . Бибкод : 2013JHEP...08..115A . дои : 10.1007/JHEP08(2013)115 . S2CID 118572353 .
- ^ Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). «15». Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. п. 492. ИСБН 9780201503975 .
- ^ Роте, HJ (2005). «7». Решетчатые калибровочные теории: введение . Мировые научные конспекты лекций по физике: Том 43. Том. 82. Мировое научное издательство. стр. 95–108. дои : 10.1142/8229 . ISBN 978-9814365857 .
- ^ Зайлер, Э. (1978). «Верхняя граница потенциала ограничения цвета» . Физ. Преподобный Д. 18 (2): 482–483. Бибкод : 1978PhRvD..18..482S . дои : 10.1103/PhysRevD.18.482 .
- ^ Бачас, К. (1986). «Вогнутость кваркониевого потенциала» . Физ. Преподобный Д. 33 (9): 2723–2725. Бибкод : 1986PhRvD..33.2723B . дои : 10.1103/PhysRevD.33.2723 . ПМИД 9956963 .
- ^ Гринсайт, Дж. (2020). «4». Введение в проблему конфайнмента (2-е изд.). Спрингер. стр. 37–40. ISBN 978-3030515621 .
- ^ Макеенко Ю. (2002). «6». Методы современной калибровочной теории . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 117–118. дои : 10.1017/CBO9780511535147 . ISBN 978-0521809115 .
- ^ Паранджапе, М. (2017). «9». Теория и приложения инстантонных вычислений . Издательство Кембриджского университета. п. 168. ИСБН 978-1107155473 .
- ^ Болье, Л.; Илиопулос, Дж. ; Сенеор, Р. [на французском языке] (2017). «25». От классических полей к квантовым . Издательство Оксфордского университета. п. 720. ИСБН 978-0198788409 .
- ^ Монтвей, И.; Мюнстер, Г. (1994). «43». Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 105. дои : 10.1017/CBO9780511470783 . ISBN 9780511470783 . S2CID 118339104 .
- ^ ДеГранд, Т.; ДеТар, К. (2006). «11». Решеточные методы квантовой хромодинамики . Мировое научное издательство. стр. 232–233. Бибкод : 2006lmqc.book.....D . дои : 10.1142/6065 . ISBN 978-9812567277 .
- ^ Чен, Ю.; и др. (2006). «Спектр Глюбола и матричные элементы на анизотропных решетках». Физ. Преподобный Д. 73 (1): 014516. arXiv : hep-lat/0510074 . Бибкод : 2006PhRvD..73a4516C . дои : 10.1103/PhysRevD.73.014516 . S2CID 15741174 .
- ^ Индурайн, Ф.Дж. (2006). «9». Теория кварковых и глюонных взаимодействий (4-е изд.). Спрингер. п. 383. ИСБН 978-3540332091 .
- ^ Гатрингер, К.; Ланг, CB (2009). «3». Квантовая хромодинамика на решетке: вводное изложение . Конспект лекций по физике 788. Спрингер. стр. 58–62. дои : 10.1007/978-3-642-01850-3 . ISBN 978-3642018497 .
- ^ Друфф, Дж. М.; Зубер, Дж. Б. (1983). «Методы сильной связи и среднего поля в калибровочных теориях решетки» . Отчеты по физике . 102 (1): 1–119. Бибкод : 1983PhR...102....1D . дои : 10.1016/0370-1573(83)90034-0 .
- ^ Лаутруп, Бельгия ; Науенберг, М. (1980). «Фазовый переход в четырехмерной компактной КЭД» . Физ. Летт. Б. 95 (1): 63–66. Бибкод : 1980PhLB...95...63L . дои : 10.1016/0370-2693(80)90400-1 .
- ^ Гут, А.Х. (1980). «Доказательство существования неудерживающей фазы в четырехмерной калибровочной теории решетки U (1)» . Физ. Преподобный Д. 21 (8): 2291–2307. Бибкод : 1980ФРвД..21.2291Г . дои : 10.1103/PhysRevD.21.2291 .
- ^ Мигдал, А.А. (1983). «Петлевые уравнения и разложение 1/N». Физ. Представитель . 102 (4): 199–290. дои : 10.1016/0370-1573(83)90076-5 .
- ^ Макеенко Ю.М.; Мигдал, А.А. (1979). «Точное уравнение для среднего цикла в многоцветной КХД». Физ. Летт. Б. 88 (1–2): 135–137. Бибкод : 1979PhLB...88..135M . дои : 10.1016/0370-2693(79)90131-X .
- ^ Нэстасе, Х. (2019). «50». Введение в квантовую теорию поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 469–472. ISBN 978-1108493994 .
- ^ Казаков В.А.; Костов, ИК (1980). «Нелинейные струны в двумерной U(∞) калибровочной теории» . Ядерная физика Б . 176 (1): 199–215. Бибкод : 1980НуФБ.176..199К . дои : 10.1016/0550-3213(80)90072-3 .
- ^ Мандельштам, С. (1968). «Правила Фейнмана для электромагнитных полей и полей Янга – Миллса из калибровочно-независимого теоретико-полевого формализма» . Физ. Преподобный . 175 (5): 1580–1603. Бибкод : 1968PhRv..175.1580M . дои : 10.1103/PhysRev.175.1580 .
- ^ Гамбини, Р. (2008). «3». Петли, узлы, калибровочные теории . стр. 63–67. ISBN 978-0521654753 .
- ^ Корчемская И.А.; Корчемский, Г.П. (1992). «О светоподобных петлях Вильсона» . Буквы по физике Б. 287 (1): 169–175. Бибкод : 1992PhLB..287..169K . дои : 10.1016/0370-2693(92)91895-G .
- ^ Поляков, А.М. (1980). «Калибровочные поля как клеевые кольца» . Ядерная физика Б . 164 : 171–188. Бибкод : 1980НуФБ.164..171П . дои : 10.1016/0550-3213(80)90507-6 .
- ^ Брандт, РА; Нери, Ф.; Сато, М. (1981). «Перенормировка функций цикла для всех циклов» . Физ. Преподобный Д. 24 (4): 879–902. Бибкод : 1981PhRvD..24..879B . дои : 10.1103/PhysRevD.24.879 .
- ^ Корчемский, ГП; Радюшкин, А.В. (1987). «Перенормировка петель Вильсона за пределы главного порядка» . Ядерная физика Б . 283 : 342–364. Бибкод : 1987НуФБ.283..342К . дои : 10.1016/0550-3213(87)90277-X .
- ^ Алдай, LF ; Раду, Р. (2008). «Амплитуды рассеяния, петли Вильсона и соответствие теории струн и калибровочной теории». Физ. Представитель . 468 (5): 153–211. arXiv : 0807.1889 . Бибкод : 2008PhR...468..153A . дои : 10.1016/j.physrep.2008.08.002 . S2CID 119220578 .
- ^ Алдай, LF ; Малдасена, Дж. М. (2007). «Амплитуды рассеяния глюонов при сильной связи». JHEP . 6 (6): 64. arXiv : 0705.0303 . Бибкод : 2007JHEP...06..064A . дои : 10.1088/1126-6708/2007/06/064 . S2CID 10711473 .
- ^ Хенн, Дж. М. [на немецком языке] (2014). «4». Амплитуды рассеяния в калибровочных теориях . Спрингер. стр. 153–158. ISBN 978-3642540219 .
- ^ Карон-Хуот, С. [на немецком языке] (2011). «Заметки об амплитудах рассеяния / двойственности петли Вильсона». JHEP . 2011 (7): 58. arXiv : 1010.1167 . Бибкод : 2011JHEP...07..058C . дои : 10.1007/JHEP07(2011)058 . S2CID 118676335 .
- ^ Полчински, Дж. (1998). «8». Теория струн, том I: Введение в бозонную струну . Издательство Кембриджского университета. стр. 263–268. ISBN 978-0143113799 .
- ^ Ибанез, Ле; Ниллс, HP; Кеведо, Ф. (1986). «Орбифолды и линии Вильсона» . Физ. Летт. Б. 187 (1–2): 25–32. дои : 10.1016/0370-2693(87)90066-9 .
- ^ Полчински, Дж. (1998). «16». Теория струн, том II: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. стр. 288–290. ISBN 978-1551439761 .
- ^ Чой, К.С.; Ким, JE (2020). Кварки и лептоны из орбифолдированной суперструны (2-е изд.). ISBN 978-3030540043 .
- ^ Фрадкин, Э. (2021). «22». Квантовая теория поля: комплексный подход . Издательство Принстонского университета. п. 697. ИСБН 978-0691149080 .
- ^ Виттен, Э. (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса» . Коммун. Математика. Физ . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W . дои : 10.1007/BF01217730 . S2CID 14951363 .