Действие Вильсона

В решетчатой ​​теории поля представляет действие Вильсона собой дискретную формулировку действия Янга-Миллса , составляющую основу калибровочной теории решетчатой ​​структуры . Вместо использования алгебры Ли со значениями калибровочных полей в качестве фундаментальных параметров теории вместо этого используются поля связей со значениями групп , которые соответствуют наименьшим линиям Вильсона на решетке . В современных симуляциях чистой калибровочной теории действие обычно модифицируется путем введения операторов более высокого порядка посредством улучшения Symanzik, что значительно уменьшает ошибки дискретизации. Это действие было представлено Кеннетом Уилсоном в его основополагающей статье 1974 года: начало изучения решеточной теории поля.

Ссылки и плакетки

Решетчатая калибровочная теория формулируется в терминах элементов компактной калибровочной группы, а не в терминах калибровочных полей со значениями алгебры Ли. $A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}$, где $T^{a}$ групп являются генераторами . Линия Вильсона, описывающая параллельный перенос элементов группы Ли в пространстве-времени по пути. $C$, определяется через калибровочное поле выражением

$W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},$

где ${\mathcal {P}}$ — оператор упорядочивания путей . Дискретизация пространства-времени в виде решетки с точками, индексированными вектором $n$калибровочное поле принимает значения только в этих точках $A_{\mu }(n)$. Для первого заказа в шаге решетки $a$ наименьшие возможные линии Вильсона, между двумя соседними точками, известны как связи.

$U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),$

где ${\hat {\mu }}$ является единичным вектором в $\mu$ направление. Поскольку при первом порядке оператор упорядочивания путей выпадает, связь связана с дискретизированным калибровочным полем соотношением $U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}$. Это фундаментальные переменные калибровочной теории решеточной калибровочной теории с мерой интеграла по путям (математика) по связям, заданным мерой Хаара в каждой точке решетки.

Работая в некотором представлении калибровочной группы, ссылки имеют матричное значение и ориентированы . Ссылки противоположной направленности определяются так, чтобы произведение ссылки из $n$ к $n+{\hat {\mu }}$ со ссылкой в ​​противоположном направлении равна тождеству, что в случае ${\text{SU}}(N)$ калибровочные группы означает, что $U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }$. При калибровочном преобразовании $\Omega (n)$, связь преобразуется так же, как и линия Вильсона

$U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.$

Наименьшая нетривиальная петля полей связей на решетке известна как плакетка , образованная из четырех звеньев вокруг квадрата в решетке. $\mu$- $\nu$ самолет

$U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.$

След в плакетки — это калибровочно-инвариантная величина, аналогичная петле Вильсона континууме . Используя формулу BCH и выражение калибровочного поля решетки для переменной связи, плакетку можно записать в наименьшем порядке по шагу решетки в терминах дискретизированного тензора напряженности поля.

$U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.$

Действие решетчатого калибра

Путем изменения масштаба калибровочного поля с помощью калибровочной связи $g$ и работаем в представлении с индексом $\rho$, определенный через ${\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}$, действие Янга–Миллса в континууме можно переписать как

$S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],$

где тензор напряженности поля представляет собой алгебру Ли со значением $F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}$. Поскольку плакеты связывают переменные связи с дискретизированным тензором напряженности поля, это позволяет с их помощью построить решеточную версию действия Янга–Миллса. Это действие Вильсона, заданное в виде суммы по всем плакеткам одной ориентации на решетке.

$S={\frac {1}{g^{2}\rho }}\sum _{n}\sum _{\mu <\nu }{\text{Re}}\ {\text{tr}}[1-U_{\mu \nu }(n)].$

Это сводится к дискретизированному действию Янга – Миллса с решетчатыми артефактами, поступающими в определенном порядке. ${\mathcal {O}}(a^{2})$.

Эта акция далеко не уникальная. Калибровочное действие решетки может быть построено из любой дискретизированной петли Вильсона. Пока петли соответствующим образом усредняются по ориентациям и перемещениям в пространстве-времени, чтобы обеспечить правильную симметрию , действие снова сводится к непрерывному результату. Преимущество использования плакеток заключается в их простоте и в том, что это действие хорошо подходит для программ улучшения, используемых для уменьшения артефактов решетки.

Улучшение Симанзика

Действие Вильсона ${\mathcal {O}}(a^{2})$ Ошибки можно уменьшить за счет улучшения Symanzik, в результате которого к действию добавляются дополнительные операторы более высокого порядка для отмены этих артефактов решетки. Существует множество операторов более высокого порядка, которые можно добавить к действию Вильсона, соответствующему различным циклам ссылок. Для ${\text{SU}}(N)$ калибровочные теории, действие Люшера – Вейса использует $2\times 1$ прямоугольники $U_{rt}$ и параллелограммы $U_{pg}$ образован из связей вокруг куба

$S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),$

где $\beta =2N/g^{2}$ - константа обратной связи и $\beta _{rt}$ и $\beta _{pg}$ — это коэффициенты, которые настроены для минимизации артефактов решетки.

Значение двух префакторов можно вычислить либо с помощью действия для моделирования известных результатов и настройки параметров для минимизации ошибок, либо путем их расчета с использованием улучшенной теории возмущений головастика . Для случая ${\text{SU}}(3)$ калибровочной теории, последний метод дает

$\beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},$

где $u_{0}$ значение средней ссылки и $\alpha _{s}$ - квантовой хромодинамики константа тонкой структуры

$u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu })}{3.06839}}.$